高校数学I 三角形の面積公式—垂線の位置を分けて二辺と間の角から面積を求める｜武蔵野個別指導塾

鈍角で垂線の足が辺の外に出る場合も、高さを取り出し、二辺とその間の角から三角形の面積へ進みます。

よくあるのは、三角形の図に斜めの辺と角が書かれているのを見て、高1の高校生が、その辺と間にはない角を面積の式に組み合わせる場面です。公式に数を入れる前に、その角をはさむ2辺を指でたどってみましょう。垂線が辺の外に落ちる図でも、高さを底辺までの垂直な距離として見ると、同じ式を使えます。

どの長さと角を組にするか

面積を求める問題では、2辺とその間の角が与えられる場合があります。底辺と高さを直接かける代わりに、斜めの辺から高さを作り、三角形の面積に戻します。角が鈍角なら、垂線の足を辺の内側に無理に描かず、直線を延長します。

また、面積と一方の辺、間の角から、もう一方の辺を求める場合もあります。このときは正の長さとして式を解き、得た値から高さと面積を作り直します。別の問いでは、与えられた角が2辺の間にないこともあります。見た目で掛け算を始めず、頂点と辺の対応を確認することが出発点です。

学習指導要領の範囲では、三角比を図形の計量に活用します。ここでは2辺とその間の角を使い、3辺のみから面積を出す方法には進みません。

垂線の足を探す

三角形ABCで、角Aの向かいの辺BCをa、角Bの向かいの辺CAをb、角Cの向かいの辺ABをc、面積をSとします。bとcは角Aをはさむ2辺です。三角形なので各辺は正、角Aは0度より大きく180度より小さい角です。

図1のように、BCを底辺にするとは限りません。ここではABを底辺cとし、Cから直線ABに下ろした垂線の足をHとします。高さは線分CHの長さです。Hが辺ABの外にあっても、Cと直線ABの距離はCHで測ります。

図1の左ではAが鋭角で、直角三角形ACHからCH = b sin Aです。HがBの先にある場合も、HはAから見て同じ向きにあり、この式は変わりません。Aが直角ならHはAと重なり、CH = bです。sin 90度 = 1なので、この場合もCH = b sin Aです。

図1の右ではAが鈍角です。HはAの外側にあり、直角三角形ACHで使う鋭角は180度 − Aです。補角の正弦は等しいので、次のように高さが求まります。

CH = b sin(180度 - A)
   = b sin A

いずれの場合も、底辺かける高さを2で割ると、次の式になります。

S = c・CH/2
  = bc sin A/2

図1で足が外にあるときも、この式は三角形全体を含む三角形から外側の三角形を引くことで確かめられます。両者の高さは共通で、底辺の差がABだからです。高さが斜めの辺そのものになるのは、その辺が底辺に垂直な場合です。

同じ考えで、角Bを使うなら辺BAとBC、角Cを使うなら辺CAとCBを選びます。面積の単位は長さがcmならcm²です。角度の値と辺の長さを足すことはせず、長さ2つと正弦を掛けてから2で割ります。

図が示す条件を点検する

2辺と間の角が指定されているなら、その2辺を頂点から描いて三角形を作れます。角が0度や180度なら2辺は同一直線上に並び、面積のある三角形にはなりません。したがって公式を使う前に、問題の角が0度より大きく180度より小さいこと、辺の長さが正であることを確かめます。この範囲では正弦も正なので、面積は正になります。

一方、与えられた角が2辺の間にない場合には、そのままこの公式に代入できません。図の辺に長さを書き込み、角の両側にある線分の名前を読み取ります。必要な辺がまだ不明なら、別の条件を使ってその辺や高さを求める段階が必要です。情報が足りない図に勝手な長さを補うと、別の三角形を解くことになります。

底辺の選び方を変えると高さも変わります。ABを底辺とした高さはCから直線ABへの距離、ACを底辺とした高さはBから直線ACへの距離です。前者はb sin A、後者はc sin Aで、どちらも面積はbc sin A/2です。等しい面積が得られるのは、同じ三角形を2通りに測っているからです。

基本例題：高さを先に書く

三角形ABCでAB = 10 cm、AC = 6 cm、角A = 30度です。面積を整数で、単位を付けて求めてください。

図2のようにCからABに垂線を下ろし、その足をHとします。与えられた2辺は角Aをはさむので、高さにはACと角Aを使えます。直角三角形ACHで、斜辺ACに対する角Aの向かいの辺がCHです。

図2ではHがABの上にあります。sin 30度 = 1/2を用いると、計算は次の通りです。

CH/6 = sin 30度
CH/6 = 1/2
CH = 3 cm
S = 10・3/2
  = 15 cm²

公式へ直接代入しても同じです。10・6・(1/2)/2 = 15となります。高さ3 cmを元の図に戻すと、斜辺6 cmの半分であり、底辺10 cmと組にして15 cm²を再現します。式の中の1/2は正弦の値と面積の半分という別々の役割を持つため、両方を書き残しましょう。

もし30度をはさまない別の2辺を掛けたなら、同じ計算にはなりません。角の頂点Aから出る辺がABとACであることを確かめてから代入します。図が回転しても、この対応は変わりません。

標準例題：足が外側にあるとき

三角形PQRでPQ = 8 cm、PR = 7 cm、角QPR = 120度です。面積を根号を含む形で、単位を付けて求めてください。

Rから直線PQに下ろした垂線の足をHとします。角QPRが鈍角なので、HはPから見てQと反対側にあります。角RPHは60度です。高さは正の長さであり、補角の正弦を使います。

RH = 7 sin 60度
   = 7√3/2 cm
S = 8・(7√3/2)/2
  = 14√3 cm²

元の条件に戻して確かめます。直角三角形PRHの斜辺は7 cmで、PH = 7/2 cmです。したがってPH² + RH² = 49/4 + 147/4 = 49となり、斜辺7 cmと合います。角RPHは60度なので、角QPRはその補角の120度です。底辺8 cmと高さ7√3/2 cmから面積14√3 cm²が再現されます。

高さに7 cos 120度を使うと負の値が出ます。cosは底辺方向の位置を表すのに役立ちますが、ここで必要なのは垂直方向の距離です。距離は正として取り、鈍角の正弦を使います。

発展例題：面積から辺へ戻す

三角形DEFでDE = 9 cm、角EDF = 150度、面積が18 cm²です。DFの長さを整数で、単位を付けて求めてください。

DFをx cmとします。xは正です。角Dをはさむ辺はDEとDFなので、sin 150度 = sin 30度 = 1/2を用いて次の式を立てます。

18 = 9・x・sin 150度/2
18 = 9x/4
72 = 9x
x = 8

DF = 8 cmです。Fから直線DEへの高さは8・(1/2) = 4 cmとなります。底辺9 cmに戻すと9・4/2 = 18 cm²です。鈍角なので垂線の足はDの外側にありますが、高さの正の値は変わりません。角と面積から辺を求めるときも、未知数を置いた段階で角をはさむ辺を確認すると、何を割るべきかが明確になります。

誤った組を図で直す

三角形ABCでAB = 10 cm、AC = 6 cm、角A = 30度の基本例題に戻ります。図3のように、辺BCを底辺と考えながら、ABとACの間の30度を、別の辺の組にそのまま使う誤りを考えます。例えばBCの長さを求めた後、10・BC・sin 30度/2とする式は面積を表しません。

図3で30度をはさむのはABとACです。ABとBCを使うなら、その間の角はBでなければなりません。辺BCの長さが正しくても、角の対応が違うため式全体は誤りです。基本例題で高さから出した15 cm²と照らし合わせる前に、まず辺と角の対応が成立しているかを見る必要があります。

修正するときは、まず角の頂点に印を付け、そこから伸びる2辺をたどります。次に10・6・sin 30度/2と書きます。BCを底辺に使いたい場合は、Aから直線BCへの高さ、またはABとBCの間の角を別に求める必要があります。底辺は自由に選べますが、対応する高さや角まで自由に取り替えることはできません。

もう一つの失敗は、鈍角で足を辺の中に描いてしまうことです。頂点で鈍角を作ってから垂線を引き、足が外に出たら辺を延長します。絵に収めるために角を鋭角へ変えると、元の条件を失います。延長線でできる鋭角を使ったときは、元の角との和が180度かを確かめてください。

手を動かす5問

次の問題はそれぞれ独立した三角形です。長さの単位はcm、面積の単位はcm²とします。根号が残るときは根号を含む形で答えてください。

1. 三角形JKLでJK = 12、JL = 5、角KJL = 90度です。面積を整数で求めてください。
2. 三角形MNPでMN = 4、MP = 9、角NMP = 60度です。面積を求めてください。
3. 三角形RSTでRS = 6、RT = 8、角SRT = 135度です。面積を求めてください。
4. 三角形UVWでUV = 7、角VUW = 30度、面積が14です。UWの長さを整数で求めてください。
5. 三角形XYZでXY = 5、XZ = 10、角YXZ = 120度です。XYを底辺とした高さと面積をそれぞれ求めてください。

解答と確かめ

1. 角Jが直角なので、JLは底辺JKに垂直です。高さは5です。

S = 12・5/2
  = 30 cm²

底辺12と高さ5を戻すと30 cm²です。直角ではsin 90度 = 1なので、2辺と間の角の式からも同じ結果になります。

2. 角Mをはさむ辺はMNとMPです。sin 60度 = √3/2を用います。

S = 4・9・(√3/2)/2
  = 9√3 cm²

MNを底辺とすると、高さは9√3/2です。4・(9√3/2)/2 = 9√3となり、元の2辺と角から作った高さで面積を再現します。

3. 角Rは鈍角です。Tから直線RSへの垂線の足はRの外側にあり、補角45度を使えます。

sin 135度 = sin 45度
          = √2/2
S = 6・8・(√2/2)/2
  = 12√2 cm²

高さは8・√2/2 = 4√2です。底辺6に戻すと6・4√2/2 = 12√2 cm²です。補角45度と135度の和も180度で、足の位置と合います。

4. UW = x cmと置きます。角Uをはさむ2辺から式を立てます。

14 = 7・x・(1/2)/2
14 = 7x/4
56 = 7x
x = 8

UW = 8 cmです。高さは8・sin 30度 = 4 cmなので、7・4/2 = 14 cm²となり、与えられた面積に戻ります。長さも正です。

5. 角Xが120度なので、Zから直線XYへの高さは補角60度を使います。

高さ = 10 sin 60度
     = 5√3 cm
S = 5・5√3/2
  = 25√3/2 cm²

足からXまでの長さは10 cos 60度 = 5 cmです。高さとの二乗和は25 + 75 = 100で、斜辺XZ = 10 cmに合います。底辺5 cmと高さ5√3 cmを掛けて半分にすると、求めた面積に戻ります。

手元に残す要点

• 角をはさむ2辺を選んでから、S = bc sin A/2を使います。
• 高さは底辺を含む直線への垂直な距離です。
• 鈍角では垂線の足が辺の延長上に出ます。
• 求めた辺や高さを底辺かける高さの式に戻します。

つまずいた式を見直す

積に並んだ2辺が角の頂点から出ているかを、図に印を付けて確かめましょう。合っていれば、次に高さを別の行に書きます。高さが負になった場合は符号のある横方向の長さと距離を取り違えていないか、面積が2倍になった場合は最後の割る2があるかを調べます。

個別指導で確認するなら、完成した答えだけでなく、垂線の足をどこに置いたかと、どの角を直角三角形で使ったかを見せてください。図と式の対応を説明できると、図が反転した問題でも自分で組を選べます。式が合っているか迷ったら、底辺を変えた場合の高さも描き、それぞれの積が同じ面積を表すか比較しましょう。単位まで書き込むと、長さと面積の取り違えにも気づけます。面積の式は、選んだ底辺と、それに垂直な高さを結び付けています。