高校数学I 三角形の鋭角鈍角判定—最長辺の二乗と残り二辺の二乗の和を比較する｜武蔵野個別指導塾

最長辺が入れ替わる位置で場合を分け、三辺の成立範囲と二乗の比較から、鋭角・直角・鈍角の境界を求めます。

よくあるのは、高1の高校生が3辺のうち最長でない辺を選び、その辺の二乗が残る2辺の二乗の和より小さいので、鋭角三角形と判定する場面です。計算自体が正しくても、比べた角が最大の角でなければ、別の角が鈍角である可能性が残ります。辺の長さを並べ、三角形が成立するかを先に確かめてから、最大の角を調べましょう。

辺から何が判断できるか

3本の長さが与えられ、角度を求めずに三角形の種類を答える問題があります。また、1辺が文字で表され、その値によって鋭角、直角、鈍角のどれになるかを分ける問題もあります。後者では最長辺が途中で入れ替わることがあり、同じ式を無条件に使うと範囲を落とします。

もう一つの問いは、そもそも3本で三角形を作れるかです。例えば短い2辺の和が最長辺以下なら、端を結んでも面積のある三角形にはなりません。分類の答えを出す前に、長さと成立条件の両方を点検します。

最大の角に注目する理由

鋭角三角形は3つの内角がすべて90度未満、直角三角形は1つの内角が90度、鈍角三角形は1つの内角が90度より大きい三角形です。内角は正で和が180度なので、直角や鈍角は2つ以上ありません。最大の内角が90度未満なら、残りの角も90度未満です。

3辺を短い順に a、b、c とし、0 < a ≤ b ≤ c とします。三角形が成立する条件は a + b > c です。他の2つの和については、正の長さとこの順序から b + c > a、c + a > b が成り立ちます。等号の場合は3点が一直線上に並び、三角形には含めません。

最長辺 c の向かいの角を C とします。三角形では長い辺に大きい角が向かい合うので、C は最大の角です。同じ長さの最長辺が複数あれば、それらに向かい合う角も等しく、どちらを C にしても最大です。図1のように、辺と向かいの角を組にしてから比べます。

余弦定理を使うと、成立する三角形で次の式が成り立ちます。

c² = a² + b² - 2ab cos C
cos C = (a² + b² - c²)/(2ab)

分母 2ab は正です。したがって分子の符号が cos C の符号を決めます。内角 C は0度より大きく180度より小さいため、cos C が正なら鋭角、0なら直角、負なら鈍角です。図1の記号を使うと、判定は次のようにまとまります。

等号は境界として独立に扱います。不等号に等号を足すと、直角三角形を鋭角や鈍角の側に混ぜてしまいます。この判定は成立する三角形を前提にするので、例えば 2、3、6 のような長さには適用しません。6² > 2² + 3² であっても、2 + 3 < 6 なので鈍角三角形ではなく、三角形自体が成立しません。

基本例題：数を並べて比較する

3辺の長さが 5、6、8 の三角形について、鋭角、直角、鈍角のいずれかを答えてください。

まず 5、6、8 は正で、最長辺は 8 です。成立条件を確認します。

5 + 6 = 11 > 8

よって三角形が成立します。図2のように長さ 8 の辺に向かい合う角を見ます。

8² = 64
5² + 6² = 25 + 36
5² + 6² = 61
64 > 61

最長辺の二乗の方が大きいので、答えは鈍角三角形です。図2の最大角が鈍角で、他の2角は内角和から鋭角です。確かめとして、最大角を C とすると余弦定理から次の値を得ます。

cos C = (5² + 6² - 8²)/(2・5・6)
cos C = -3/60
cos C = -1/20

負の値は鈍角という結論と一致します。また、この余弦を余弦定理に戻すと、向かいの辺の二乗は 61 − 60・(-1/20) = 64 です。正の長さは 8 で、与えられた辺に戻ります。図は形の確認に役立ちますが、見た目だけで角が90度を超えるかを決めず、二乗を比較します。

標準例題：変わる辺を最長と決めない

3辺の長さが 4、7、x です。三角形が成立する x の範囲を求め、成立する場合を鋭角、直角、鈍角に分類してください。範囲は不等号と根号で正確に表します。

まず x は正の長さです。3つの三角不等式から成立範囲を出します。

4 + 7 > x
4 + x > 7
7 + x > 4

最初の2つから x < 11、x > 3 です。最後の式も x > 3 のもとで成立します。したがって成立範囲は 3 < x < 11 です。両端では一直線になるので含めません。

最長辺が変わる x = 7 を境に調べます。まず 3 < x ≤ 7 では 7 が最長です。等しい場合の x = 7 もここに含めます。

7² と 4² + x² を比較
49 と 16 + x² を比較
49 - (16 + x²) = 33 - x²

x は正なので、x < √33 なら 33 − x² > 0、x = √33 なら 0、x > √33 なら負です。√33 は 3 と 7 の間にあります。よってこの範囲では、3 < x < √33 で鈍角、x = √33 で直角、√33 < x ≤ 7 で鋭角です。

次に 7 < x < 11 では x が最長です。

x² と 4² + 7² を比較
x² と 65 を比較

7 < √65 < 11 です。したがって 7 < x < √65 で鋭角、x = √65 で直角、√65 < x < 11 で鈍角です。まとめると次の通りです。

• 鋭角三角形：√33 < x < √65
• 直角三角形：x = √33 または x = √65
• 鈍角三角形：3 < x < √33 または √65 < x < 11
• 三角形が成立しない：x ≤ 3 または x ≥ 11

最後の行には正でない x も含めています。正でない値は辺の長さにならず、正でも両端とその外側では三角不等式を満たしません。x = 7 は2つの最長辺が等しい場合で、49 < 16 + 49 なので鋭角です。根号の境界は、33 + 16 = 49、65 = 16 + 49 と元の辺の二乗に戻して確かめられます。どちらも成立範囲の内部です。

発展例題：条件を重ねる

3辺の長さが 6、10、t です。三角形が成立し、かつ鈍角三角形となる t の範囲を、根号を用いて正確に求めてください。

辺の正値と三角不等式を先に処理します。

6 + 10 > t
6 + t > 10
10 + t > 6

これらから成立範囲は 4 < t < 16 です。最長辺は t ≤ 10 では 10、t > 10 では t です。境界 t = 10 はどちらの長さを最長に選んでも同じ判定になります。

4 < t ≤ 10 のとき、鈍角となる条件は次です。

10² > 6² + t²
100 > 36 + t²
64 > t²

t は正ですから t < 8 です。成立範囲と重ねると 4 < t < 8 です。t = 8 は等号なので直角であり、鈍角には含めません。

10 < t < 16 のとき、今度は t が最長です。

t² > 6² + 10²
t² > 136
t > 2√34

2√34 は 10 より大きく 16 より小さいので、ここから 2√34 < t < 16 を得ます。答えは 4 < t < 8 または 2√34 < t < 16 です。

直角の境界では 6² + 8² = 10²、6² + 10² = (2√34)² です。いずれも辺の和が最長辺を超えるので、境界は実際に成立する直角三角形です。一方、t = 4 と t = 16 は辺の和が等しくなるため、直角の境界ではなく成立の境界です。両端に近い値で鈍角となる理由は、三角形が細くなり、最大角が直線の角に近づくことからも想像できます。

誤答を直す：小さい辺を調べても結論は出ない

辺が 3、4、6 の場合を考えます。成立条件は 3 + 4 > 6 です。図3のように、誤って辺 3 の向かいの角を調べると、次の比較になります。

3² = 9
4² + 6² = 52
9 < 52

この計算から言えるのは、辺 3 の向かいの角が鋭角ということです。そこから三角形全体が鋭角とは言えません。最大角を調べるため、最長辺 6 で比較し直します。

6² = 36
3² + 4² = 25
36 > 25

したがって、この三角形は鈍角三角形です。図3では辺 6 に向かい合う角に注目します。最初の比較も間違った計算ではありませんが、別の問いに答えています。どの辺の向かいの角を調べた式かを書き添えると、計算結果と結論のずれを見つけられます。

直角の見落としにも注意します。二乗の差が 0 なら「小さい」でも「大きい」でもありません。また、最長辺を確認していても、三角形の成立前に判定すると、一直線の3点や、端が届かない3本の棒まで分類してしまいます。順番は成立、最長、比較です。

自分で試す5問

いずれも辺の長さに単位は付けません。種類は鋭角、直角、鈍角から選び、成立しない場合はその旨を答えてください。文字の範囲は根号と不等号を使って正確に表します。

1. 3辺が 7、9、11 のとき、三角形の種類を求めてください。
2. 3辺が 9、12、15 のとき、三角形の種類を求めてください。
3. 3辺が 4、5、10 のとき、三角形が成立するか調べてください。
4. 3辺が 5、8、y のとき、三角形が成立し、直角三角形となる y をすべて求めてください。
5. 3辺が 3、5、z のとき、三角形が成立し、鋭角三角形となる z の範囲を求めてください。

5問の答えと道筋

1の解答

7 + 9 = 16 > 11
11² = 121
7² + 9² = 49 + 81
7² + 9² = 130
121 < 130

三角形は成立し、最長辺の二乗が残りの和より小さいので鋭角三角形です。差は 130 − 121 = 9 で正です。余弦定理に戻すと最大角の余弦は 9/(2・7・9) = 1/14 で、正という結論が一致します。

2の解答

9 + 12 = 21 > 15
15² = 225
9² + 12² = 81 + 144
9² + 12² = 225

成立し、二乗が等しいので直角三角形です。直角をはさむ辺が 9、12 なら三平方の定理から向かいの辺は √225 = 15 です。元の長さに戻り、正の値であることも確認できます。

3の解答

4 + 5 = 9 < 10

短い2辺の和が最長辺に届かないので成立しません。二乗を比較して鈍角と答える操作は、この場合には使えません。2本を一直線に伸ばしても長さ 9 にしかならず、長さ 10 の両端を結べないからです。

4の解答

成立条件は次の通りです。

5 + 8 > y
5 + y > 8
8 + y > 5
3 < y < 13

3 < y ≤ 8 では 8 が最長なので、直角となる条件は次です。

8² = 5² + y²
64 = 25 + y²
y² = 39
y = √39

正の値を選びます。3 < √39 < 8 なので、この場合の範囲内です。次に 8 < y < 13 では y が最長です。

y² = 5² + 8²
y² = 89
y = √89

8 < √89 < 13 なのでこちらも成立します。答えは y = √39、√89 です。元の条件に戻すと、前者は 25 + 39 = 64、後者は 25 + 64 = 89 であり、それぞれの最長辺を向かいとする直角が得られます。y = 8 のときは 64 < 25 + 64 なので直角ではありません。

5の解答

三角形の成立条件は 2 < z < 8 です。2 < z ≤ 5 では 5 が最長なので、鋭角の条件を立てます。

5² < 3² + z²
25 < 9 + z²
16 < z²
4 < z

z は正ですから、この範囲では 4 < z ≤ 5 です。次に 5 < z < 8 では z が最長です。

z² < 3² + 5²
z² < 34
z < √34

5 < √34 < 8 なので、この範囲の答えは 5 < z < √34 です。合わせて 4 < z < √34 です。端の z = 4 では 3² + 4² = 5²、z = √34 では 3² + 5² = z² となり、どちらも直角なので含めません。例えば範囲内の z = 5 を元の辺に戻すと、3 + 5 > 5 かつ 5² < 3² + 5² で、成立と鋭角の両方を満たします。

手元に残す要点

辺の長さが正かを確かめ、短い2辺の和と最長辺を比べます。 成立したら最長辺の向かいの角を最大角として扱います。 最長辺の二乗が他の二乗の和より小さい、等しい、大きい場合を分けます。 文字の辺が最長かどうかで式が変わるときは、範囲を分けて最後に合わせます。 成立の境界と直角の境界は別に調べます。

途中のどこで迷ったかを見つける

式は合うのに結論がずれる場合は、比較した辺に印を付け、その向かいの角が最大かを図で確かめます。文字の問題で答えの範囲が欠ける場合は、最長辺の交代点と等号の点を数直線に置き、各区間が成立条件の内側かを見ると整理できます。端点を入れるか迷ったら、元の辺の長さに戻して、一直線か、直角か、条件を満たすかを順に調べます。

個別指導で確認するときも、完成した答えだけでなく、最初に書いた三角不等式と、最大角に対応させた辺を見せてください。そこで判断が正しければ、二乗の計算の誤りと条件の読み違いを切り分けられます。最大角を支える最長辺が、三角形の種類を決める手がかりです。