高校数学I 三角比と相似—相似な直角三角形から辺の比が一定になる理由を説明する｜武蔵野個別指導塾

図を回転しても斜辺・対辺・隣辺を選べるように、基準角と頂点の対応を確かめ、相似から辺の比が一定となる理由をたどります。

よくあるのは、直角三角形の図を回転させたとき、さっきまで下にあった辺をそのまま隣辺と呼んでしまう場面です。辺の名前は紙の上下ではなく、どの角を基準にするかで決まります。直角の向かいを先に見つけ、残る2辺を基準角との位置関係で分ければ、図の向きが変わっても迷いにくくなります。相似な図形を重ねる見方から、その比が大きさに依存しない理由までたどります。

図の向きを変えて問われること

直角三角形の3辺が示されたとき、ある鋭角の正弦、余弦、正接をそれぞれどの辺の比で表すかが問われます。辺の長さを見ていきなり分数を書くと、基準角に触れる辺を分子にするか、向かいの辺を分子にするかを取り違えがちです。まず角と辺の対応を図に書き込みます。

別の問いでは、大きさの異なる2つの直角三角形に同じ鋭角があり、一方の辺の比をもう一方に移せる理由を説明します。数が比例していると確かめるだけでは、どんな大きさでも同じになる説明にはなりません。2組の角が等しいことから相似を示し、対応する辺の比を使います。

さらに、2つの比が等しいという主張の誤りを探す問題もあります。同じ比の名前でも基準角が違えば、対応する辺を選び直す必要があります。学習範囲として、ここでは鋭角の三角比を相似と結び付けます。特別な角の値の導出や鈍角への拡張は扱いません。

基準角から3辺に名前を付ける

直角三角形では、直角の向かい側の辺を斜辺と呼びます。斜辺は基準に選ぶ鋭角を変えても変わりません。残りの2辺のうち、基準角の向かいにある辺を対辺、基準角をはさむ斜辺以外の辺を隣辺と呼びます。対辺と隣辺は、どの鋭角を基準にするかによって入れ替わります。

図1のように、三角形ABCはCが直角で、Aを基準角とします。ABが斜辺、BCが対辺、CAが隣辺です。辺の向きが水平か垂直かでは判定しません。図を回しても、直角の向かいとAの向かいを順番に探せば同じ辺に戻ります。

図1でAをθとすると、鋭角θの三角比は次のように定義します。辺の長さは正なので、ここで分母は0になりません。

sin θ = 対辺 / 斜辺 = BC / AB
cos θ = 隣辺 / 斜辺 = CA / AB
tan θ = 対辺 / 隣辺 = BC / CA

この定義が角θに対して一意に決まることを確かめます。CとFが直角で、角Aと角Dがともにθである三角形ABCとDEFを考えます。2組の角がそれぞれ等しいので、三角形ABCと三角形DEFは相似です。対応順はAとD、BとE、CとFです。したがってABとDE、BCとEF、CAとFDがそれぞれ対応します。

相似比を正の数kとすると、DE = k・AB、EF = k・BC、FD = k・CAです。よってEF / DE = BC / AB、FD / DE = CA / AB、EF / FD = BC / CAとなります。どの辺も同じ倍率で変わるので、対応する2辺の比では倍率が消えます。この説明は、辺の具体的な長さを決めなくても成り立ちます。

同じθという条件は欠かせません。直角であることだけでは、もう1組の角が等しいといえず、相似とも限りません。また、辺の比を移すには分子どうし、分母どうしがそれぞれ対応している必要があります。相似の記号の頂点順と、式の辺の順を照らし合わせてから計算します。

基本例題: 形を回しても同じ比

直角三角形ABCで角Cは直角、AC = 8、BC = 6、AB = 10、角A = θです。別の直角三角形DEFで角Fは直角、角D = θ、DE = 15です。EF、FDの長さと、sin θ、cos θ、tan θをそれぞれ分数または整数で求めてください。長さの単位はすべてcmです。

図2のように2つの図を違う向きに置きます。直角CとF、角AとDが対応するため、残る角BとEも対応します。三角形ABCと三角形DEFは2組の角がそれぞれ等しいので相似です。ABとDEはともに斜辺で、拡大率は次の通りです。

DE / AB = 15 / 10
= 3 / 2
EF = BC・(3 / 2)
= 6・(3 / 2)
= 9
FD = CA・(3 / 2)
= 8・(3 / 2)
= 12

角Aについて、BCが対辺、CAが隣辺、ABが斜辺です。そこで定義から次の値を得ます。

sin θ = BC / AB
= 6 / 10
= 3 / 5
cos θ = CA / AB
= 8 / 10
= 4 / 5
tan θ = BC / CA
= 6 / 8
= 3 / 4

答えはEF = 9 cm、FD = 12 cm、sin θ = 3/5、cos θ = 4/5、tan θ = 3/4です。検算では、9² + 12² = 15²で直角三角形の辺として整合し、9/15 = 6/10、12/15 = 8/10です。15 cmの斜辺と同じ角という元の条件に戻しても、対辺と隣辺の比が一致します。図2の右側では辺が別の向きですが、Fの直角とDの角から対応を選び直せます。

標準例題: 対応をたどって未知の辺を決める

直角三角形PQRで角Rは直角、PQ = 13 cm、PR = 12 cm、QR = 5 cmです。直角三角形XYZで角Zは直角、角X = 角Q、XZ = 15 cmです。YZとXYをcmの整数で求め、2つの三角形が相似である理由を述べてください。

基準にするのはPではなくQです。Qに対して、PRが対辺、QRが隣辺、PQが斜辺です。Xに対してはYZが対辺、XZが隣辺、XYが斜辺です。角Qと角X、直角Rと直角Zがそれぞれ等しいので、残るPとYも対応し、三角形QRPと三角形XZYは相似です。

XZ / QR = 15 / 5
= 3
YZ = PR・3
= 12・3
= 36
XY = PQ・3
= 13・3
= 39

答えはYZ = 36 cm、XY = 39 cmです。与えられたXZは隣辺なので、斜辺13に15/13を掛ける方法は使えません。対応の確認では、15/39 = 5/13、36/39 = 12/13となり、角Qを基準とする元の2辺の比が再現されます。15² + 36² = 39²も成り立ち、直角という条件とも矛盾しません。

発展例題: 比から形を復元し、成立を吟味する

鋭角θを含む直角三角形で、θの対辺と隣辺の長さの比が5:12、周の長さが90 cmです。3辺の長さをcmの整数で求め、別の直角三角形でも同じθなら同じ比になる理由を述べてください。

比の共通の倍率を正の数tと置くと、対辺は5t cm、隣辺は12t cmです。三平方の定理から斜辺をh cmとして次のように求めます。

h² = (5t)² + (12t)²
= 25t² + 144t²
= 169t²
h = 13t

長さは正でtも正なので、h = -13tは採用しません。周の長さの条件に3辺を戻します。

5t + 12t + 13t = 90
30t = 90
t = 3
5t = 15
12t = 36
13t = 39

対辺15 cm、隣辺36 cm、斜辺39 cmです。15 + 36 + 39 = 90で周の条件に戻り、15² + 36² = 39²なので直角の条件とも一致します。対辺と隣辺の比も15:36 = 5:12です。別の直角三角形に同じθがあれば、直角とθの2組の角が等しいので相似となり、対応する対辺と隣辺の比は同じです。

逆に、対辺と隣辺の比が5:12という条件だけなら、tは正の数のまま定まらず、長さを1組に決められません。周の長さが加わって初めて倍率が定まります。また周が0以下なら、正の長さを持つ三角形は成立しません。式の解を出すだけでなく、正の長さとして元の条件に戻せるかを確認します。

誤った辺の選択を直す

図3の直角三角形ABCで角Cは直角、角Aをθとします。「図を横に倒すとCAが向かい側に見えるから、sin θ = CA / AB」とした答案を考えます。誤りは計算の約分ではなく、対辺の選択です。対辺は角Aに接していないBCで、CAはAに接する斜辺以外の辺です。

図3のように紙の向きを変えても頂点のつながりは変わりません。直角Cの向かいのABを斜辺と定め、Aの向かいのBCを対辺として、sin θ = BC / ABと直します。CA / ABはこのθのcosです。Aから辺を指でたどり、Aに触れない辺を探すと図の傾きに頼らず判定できます。

もう一つの失敗は、相似な2つの図で分子は対応させたのに、分母には対応しない辺を選ぶことです。例えば斜辺どうしで倍率を求めたなら、その倍率を掛ける先は求めたい辺に対応する辺です。式を書く前に頂点の対応を縦に並べ、両端の文字が対応するか確認してください。相似の根拠が直角だけの場合も、もう1組の角が等しいかを調べ直します。

練習: 辺と角の対応を自分で探す

次の5問はそれぞれ独立した直角三角形です。長さの単位はcmです。比の答えは既約分数または整数で表してください。

1. 三角形ABCは角Cが直角で、AB = 17、AC = 15、BC = 8です。角Aをθとするとき、sin θ、cos θ、tan θを求めてください。
2. 三角形DEFは角Fが直角、DE = 25、DF = 7、EF = 24です。角Eを基準に対辺と隣辺を答え、sin Eとtan Eを求めてください。
3. 三角形GHIとJKLはそれぞれ角I、角Lが直角で、角G = 角Jです。GH = 10、GI = 6、HI = 8、JL = 9のとき、KLとJKを求めてください。
4. 鋭角αを含む直角三角形で、αの対辺と隣辺の比は7:24、周の長さは112です。3辺の長さを求めてください。
5. 三角形MNOは角Oが直角で、MN = 29、MO = 20、NO = 21です。角Mについて「tan M = 20/21」とする答えを点検し、正しいtan Mと、辺の選び方を答えてください。

練習の解答と戻し方

1の解答

角Aの対辺はBC、隣辺はAC、斜辺はABです。よって定義にそれぞれ代入します。

sin θ = BC / AB = 8 / 17
cos θ = AC / AB = 15 / 17
tan θ = BC / AC = 8 / 15

答えは順に8/17、15/17、8/15です。8² + 15² = 17²で直角の条件を満たします。各分数を元の辺の長さに戻すと、分子と分母がそれぞれ指定した対辺、隣辺、斜辺になります。

2の解答

角Eに接しないDFが対辺、角Eをはさむ斜辺以外のEFが隣辺です。DEは直角の向かいなので斜辺です。

sin E = DF / DE = 7 / 25
tan E = DF / EF = 7 / 24

答えは対辺DF、隣辺EF、sin E = 7/25、tan E = 7/24です。7² + 24² = 25²となり、与えられた3辺は直角の条件に合います。分数を辺の長さに掛け戻すと、25・(7/25) = 7、24・(7/24) = 7で、いずれも対辺DFに戻ります。

3の解答

角GとJ、直角IとLが対応するので、2組の角がそれぞれ等しく、三角形GHIとJKLは相似です。GとJ、HとK、IとLの順に対応します。

JL / GI = 9 / 6
= 3 / 2
KL = HI・(3 / 2)
= 8・(3 / 2)
= 12
JK = GH・(3 / 2)
= 10・(3 / 2)
= 15

答えはKL = 12 cm、JK = 15 cmです。9² + 12² = 15²で角Lは直角に合い、9/15 = 6/10、12/15 = 8/10です。元の図の対応する2辺の比を復元できるため、指定された角Gと角Jの対応とも整合します。

4の解答

正の倍率をuと置くと、対辺は7u、隣辺は24uです。斜辺をvとします。

v² = (7u)² + (24u)²
= 49u² + 576u²
= 625u²
v = 25u
7u + 24u + 25u = 112
56u = 112
u = 2

答えは対辺14 cm、隣辺48 cm、斜辺50 cmです。正の長さを選んでいます。14 + 48 + 50 = 112、14:48 = 7:24、14² + 48² = 50²なので、周、辺の比、直角の条件にそれぞれ戻ります。周が与えられなければuは決まらず、個々の長さも決まりません。

5の解答

角Mに接しないNOが対辺、斜辺MN以外で角Mに接するMOが隣辺です。したがって20/21は隣辺を対辺で割っており、正接の分子と分母が逆です。

tan M = NO / MO
= 21 / 20

答えは21/20です。20² + 21² = 29²で与えられた直角三角形の辺に矛盾はありません。また20・(21/20) = 21となり、隣辺から対辺の長さに戻せます。図を回転してもM、N、Oの接続は変わらないので、この選び方も変わりません。

手元に残す要点

• 斜辺は直角の向かい、対辺は基準角の向かいです。
• 隣辺は基準角をはさむ斜辺以外の辺です。
• 同じ鋭角を持つ直角三角形は相似で、対応する辺の比が等しくなります。
• 比を移す前に、頂点と辺の対応をそろえます。
• 答えは正の長さ、直角、元の比や周に戻して点検します。

辺の名前で止まったら、角に触れない辺を指して対辺と書けるか確かめます。式で止まったら、分子と分母が図のどの辺かを一つずつ結びます。個別指導の場でも、回転した図に同じ印を付け、相似の頂点順と比の式を並べて説明できるかを見ると、図の読み違いと比例計算の間違いを分けて確認できます。角を基準に置けば、図の向きに左右されず辺の対応を追えます。