高校数学B 推定に必要な標本数—誤差の上限から平方と整数への切り上げを判断する｜武蔵野個別指導塾

誤差の上限と信頼係数から、母平均と母比率の調査に必要な人数を求め、切り上げの理由から標本数を設計します。

よくあるのは、高2が調査の人数を計算し、小数になった結果をいつもの四捨五入で整数にする場面です。ところが、求めた小数は必要人数の下限です。下に丸めると、計画した誤差の上限を満たさないことがあります。調査を始める前に人数を決める問題では、不等式の向きと整数の条件を最後まで持ち歩きます。

どんな問いに分けるか

母平均の推定では、既知の母標準偏差と許したい誤差から人数を決める型があります。与えられた信頼係数に対応する正の係数を使い、区間の中心から端までの距離が指定値以下になるようにします。もう1つは、人数を増やしたときに誤差が何倍になるかを比較する型です。人数を2倍にしても、誤差は半分にはなりません。

母比率の推定では、調査前には母比率がわからないことが課題です。そこで比率がどの値でも成り立つ上限を使えば、保守的な人数を設計できます。ただし、人数の計算が正しくても、抽出に偏りがあれば母集団を適切に代表するとは限りません。標本数と抽出方法は別々に点検します。

誤差の幅を式にする

母平均を m、既知の母標準偏差を σ、標本数を n とします。母集団から独立に同じ分布に従う標本を取り、母集団が正規分布に従う場合を考えます。標本平均 X̄ の標準偏差は σ/√n です。母集団が正規とは限らない場合も、n が十分大きく標本平均の正規近似が適切なら、以下を近似として使えます。

信頼係数に対応する正の係数を c とすると、母平均の区間の中心から端までの距離は cσ/√n です。この距離を誤差の上限 e 以下にしたいとします。σ、c、e は正、n は正の整数です。区間全体の長さはこの距離の2倍なので、「幅」が全長か片側かを問題文で確認します。

図1のように、まず片側の距離を取り出して不等式を作ります。両辺が正なので平方して向きを変えず、n について整理できます。

cσ/√n ≦ e
cσ ≦ e√n
(cσ/e)² ≦ n

人数の下限は左辺の (cσ/e)² です。この値以上となる整数のうち最小のものを選び、下限自体が整数ならその値を採用します。小数なら次の整数に上げます。信頼係数は区間を作る手続を同じ条件で繰り返したとき、母平均を含む区間の割合を表します。決まった母平均が、観測後の区間の中を動くという意味ではありません。

母比率 p の場合、独立な試行から得る標本比率の標準偏差は √(p(1-p)/n) です。十分大きな標本で正規近似を用いる設計では、片側の誤差を c√(p(1-p)/n) と見積もります。p が未知なら、次の式が使えます。

p(1-p) = 1/4 - (p - 1/2)²
p(1-p) ≦ 1/4

したがって、どの p に対しても計算上の誤差は c/(2√n) 以下です。この上限から人数を定める方法は、p が 1/2 から離れている場合には必要人数を大きめに見積もります。また、端に近い p では正規近似そのものが不十分な場合があります。人数の式は、近似の妥当性まで保証するものではありません。

設計の条件を読み替える

誤差の指定が「未満」なら、等号を含む「以下」と異なります。例えば下限がちょうど整数になっても、その整数は未満の条件を満たしません。下限より大きい次の整数を選び、元の不等式で確認します。一方、下限が整数ではないときは、その直上の整数が「以下」でも「未満」でも候補です。問題に書かれた境界の言葉を省かないことが、整数選びの出発点です。

また、母標準偏差ではなく母分散が与えられたときは、非負の平方根を取ってから σ として使います。標本数を求める式に分散をそのまま入れると、単位も結果も合わなくなります。長さを測るなら標準偏差と誤差はいずれも長さの単位、分散はその単位の二乗です。比率では 5% を 0.05 と直して計算し、最後に割合の尺度を揃えます。

調査できる人数に上限がある場合、要求された誤差を満たせないこともあります。そのときは人数の上限を公式に戻し、達成できる誤差を求めます。小さい値に丸めて条件を満たしたことにするのではなく、誤差や調査方法を再検討する必要があります。

基本例題：測定の人数を決める

ある測定値の母集団は正規分布に従い、母標準偏差は既知で 6 cm です。独立に同じ分布から標本を取ります。母平均の両側信頼区間について、条件として与えられた信頼係数に対応する係数を 2 とします。中心から端までの距離を 1 cm 以下にする最小の標本数を整数で求めてください。

まず、距離の公式に係数、標準偏差、上限を入れます。図2の左右の距離はそれぞれ同じで、区間の全長ではなく片側を 1 cm 以下にします。

2・6/√n ≦ 1
12 ≦ √n
144 ≦ n

正の両辺を平方したので、不等号の向きはそのままです。144 は整数で、条件の境界も含むため、最小の標本数は 144 個です。実際に戻すと 12/√144 = 1 cm となり、上限にちょうど届きます。143 個なら √143 < 12 なので 12/√143 > 1 cm です。前の整数が失敗することまで確かめれば、最小という結論を支えられます。

ここで係数 2 は問題の条件です。信頼係数と係数の対応を自分で選ぶ問題なら、使う表の定義を確認してから係数を決めます。表の読み取りと人数の不等式は別の段階です。

標準例題：小数の下限を整数にする

ある部品の長さの母集団は正規分布に従い、母標準偏差は既知で 5 mm です。独立な同分布の標本を取り、条件として与えられた信頼係数に対応する係数を 2 とします。母平均の区間の片側の誤差を 3 mm 以下にする最小の標本数を整数で求めてください。

2・5/√n ≦ 3
10/3 ≦ √n
100/9 ≦ n

100/9 は 11 と 12 の間なので、最小の整数は 12 個です。11 個では条件を満たしません。実際、両辺が正なので、10/√12 ≦ 3 は 100 ≦ 108 と同値です。一方、10/√11 ≦ 3 は 100 ≦ 99 と同値で、こちらは成り立ちません。

小数で約 11.1 と書いた後に四捨五入すると 11 になりますが、それは下限未満です。計算結果が整数に近い場合にも、近似した小数を先に丸めず、可能なら分数のままで隣の整数と比較します。例えば下限が 12 よりわずかに大きいときは、12 では条件を満たせません。

発展例題：未知の比率に備える

独立な同分布の標本から、ある条件を満たす割合 p を推定します。十分大きな標本で正規近似を用いることとし、条件として与えられた信頼係数に対応する係数は 2 です。p は調査前に未知です。計算上の片側の誤差が、どの p でも 0.04 以下となるように、p(1-p) の上限を使った最小の標本数を求めてください。

p(1-p) ≦ 1/4
2√(p(1-p)/n) ≦ 1/√n
1/√n ≦ 0.04
25 ≦ √n
625 ≦ n

各行の理由は、平方が非負であること、平方根の単調性、誤差の上限の要求、正の数での変形、平方です。設計上の最小人数は 625 人です。p = 1/2 では誤差の式が上限と一致し、625 人なら 1/25 = 0.04 です。624 人では √624 < 25 なので、p = 1/2 のとき上限を超えます。したがって、この上限を使った条件の下で 625 人は最小です。

ただし、これは正規近似による設計です。調査後に得た標本比率を代入して作る区間の幅は標本によって変動し、その実際の被覆率がどの p でも指定値以上になると断定する計算ではありません。成功や失敗が極端に少ない場合には近似の使用を改めて吟味します。調査の偏りや回答漏れも、この式からは解消できません。

間違えた人数を直す

図3のように、標準例題で下限 100/9 を約 11.1 として 11 個と答える誤りを考えます。理由は、小数を整数に直す目的を見失い、最も近い整数を選んだからです。必要なのは最も近い整数ではなく、下限以上で最小の整数です。

図3では 11 は下限より左、12 は右にあります。元の誤差に代入すると、11 個は上限を超え、12 個は上限以下です。この代入は、計算機で求めた小数の表示桁に頼らず、条件に戻って結果を確認する方法です。

別の失敗は、誤差を半分にするために人数を2倍にすることです。標準偏差は n ではなく √n で割ります。人数を4倍にすれば √n が2倍になり、片側の誤差は半分です。また、全長を片側の距離と取り違えると、人数を誤ります。全長が 2e 以下という条件なら、片側を e 以下として式に入れます。

練習問題

各問の母平均の標本は独立に同じ分布から取り、母集団は正規分布、母標準偏差は既知とします。各問で示した係数は、問題の条件として与える信頼係数に対応するものです。近似値が必要な場合も、整数の判定には正確な式を使ってください。

1. 質量の母標準偏差は 4 g、係数は 2 です。母平均の区間の片側の誤差を 2 g 以下にする最小の標本数を整数で求めてください。
2. 時間の母標準偏差は 7 秒、係数は 2 です。母平均の区間の片側の誤差を 5 秒以下にする最小の標本数を整数で求めてください。
3. 長さの母標準偏差は 9 cm、係数は 2 です。母平均の区間の全長を 6 cm 以下にする最小の標本数を整数で求めてください。
4. 独立な同分布の標本で未知の母比率を推定します。十分大きな標本で正規近似を使い、係数を 2 とします。p(1-p) の上限を使って、どの p でも計算上の片側の誤差を 0.05 以下にする最小の標本数を整数で求めてください。
5. 同じ母標準偏差と信頼係数を使う母平均の推定で、標本数を 49 個から 196 個に増やします。片側の誤差は元の何倍か、分数で求めてください。

練習問題の答えと解き方

1

2・4/√n ≦ 2
4 ≦ √n
16 ≦ n

よって 16 個です。16 個では片側の誤差は 8/4 = 2 g です。15 個では √15 < 4 なので誤差は 2 g より大きく、最小性も確認できます。

2

2・7/√n ≦ 5
14/5 ≦ √n
196/25 ≦ n

196/25 は 7 と 8 の間なので、答えは 8 個です。8 個の誤差が 5 秒以下であることは、正の数を平方した 196 ≦ 25・8 = 200 で確認できます。7 個なら 196 > 25・7 = 175 で、上限を超えます。

3

全長が 6 cm 以下なので、片側の距離は 3 cm 以下です。片側の公式にこの値を入れます。

2・9/√n ≦ 3
6 ≦ √n
36 ≦ n

答えは 36 個です。片側は 18/6 = 3 cm、全長は 6 cm です。35 個では片側が 3 cm を超え、全長も 6 cm を超えます。

4

2√(p(1-p)/n) ≦ 1/√n
1/√n ≦ 0.05
20 ≦ √n
400 ≦ n

答えは 400 人です。p = 1/2 では 400 人の計算上の誤差は 1/20 = 0.05 です。399 人では同じ p で 1/√399 > 0.05 です。これは与えられた近似の下での設計であり、偏った抽出の修正にはなりません。

5

元の誤差 = cσ/√49 = cσ/7
新しい誤差 = cσ/√196 = cσ/14
新しい誤差 / 元の誤差 = (cσ/14)/(cσ/7) = 1/2

答えは 1/2 倍です。人数は 4 倍、平方根は 2 倍なので、元の式に戻しても誤差は半分になります。母標準偏差自体は人数を増やしても変わりません。

覚えておくこと

母平均の片側の誤差は cσ/√n です。 必要人数の下限を求め、下限以上の最小の整数を選びます。 母比率が未知なら p(1-p) ≦ 1/4 で保守的に設計できます。 近似の条件と抽出の偏りは、人数とは別に点検します。

つまずきを見分ける

答えが出たら、まず元の誤差の式に代入して上限を満たすかを尋ねます。満たしていても最小とは限らないので、1つ少ない整数も試します。最初から大きな整数を選ぶ生徒には、境界が整数の場合と整数の間の場合を並べ、等号を含むかを確かめます。

個別に式を確認するときは、σ と σ² のどちらが与えられたか、片側と全長のどちらを比較するか、母集団が正規か大標本の近似かを順に言葉にしてもらいます。母比率なら、1/4 が比率そのものではなく p(1-p) の上限であることも確認します。必要な人数は、誤差の条件へ戻して初めて確かな整数になります。