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高校数学B 二項分布の正規近似—平均と分散を引き継いで整数の範囲を面積に直す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学B 統計的な推測を掘り下げる

成功側と失敗側の期待回数を確かめ、整数の端を半分ずらして二項分布の正規近似を使う。

よくあるのは、高2の生徒が、成功する確率が極端に小さいのに、試行回数が多いという理由だけで正規近似を使う場面です。成功の回数がほとんど0に集まる場合、左右に広がる釣鐘形の曲線をそのまま当てはめてよいとは限りません。まず成功と失敗のそれぞれがどの程度起こるかを見て、その後に求めたい整数の範囲を曲線の下の面積へ移します。

問われ方を見分ける

1つ目は、独立な試行を繰り返すとき、成功回数が一定の範囲に入る確率を近似する型です。二項分布の平均と分散を求め、正規分布へ引き継ぎます。区間の両端を標準化し、標準正規分布の面積に直します。

2つ目は、成功回数がある値以上、または以下になる確率を求める型です。「超える」はその整数を含まず、「以上」は含みます。回数の集合を一度書いてから端を決めれば、片側の面積を取り違えにくくなります。

3つ目は、近似を使う条件を吟味し、適切でない場合に正確な二項分布の計算へ戻る型です。成功確率が毎回同じか、試行は独立か、成功と失敗の期待回数はともに十分大きいかを順番に調べます。問題が指定する場合は連続補正の有無にも従います。

離れた整数から連続した面積へ

各試行で成功する確率が一定の p、試行回数が n で、試行どうしが独立のとき、成功回数 X は二項分布 B(n, p) に従います。X の期待値は np、分散は np(1-p)、標準偏差は √(np(1-p)) です。p は0と1の間にあり、以下で標準化するときは分散が正になる 0 < p < 1 を考えます。

np と n(1-p) がともに十分大きい場合、X の分布を平均 np、分散 np(1-p) の正規分布で近似できます。正規分布の第2の数は分散です。標準化で割るのはその平方根なので、分散をそのまま分母に入れないようにします。図1のように、成功側と失敗側の両方を確かめてから、平均と分散を対応させます。

図1の2つの条件は、分布が一方の端に強く偏る場合を避けるための確認です。「十分大きい」に単一の厳密な境界があるわけではなく、必要な精度にも左右されます。問題に基準があればそれに従い、基準がなければ両方の大きさを示したうえで近似の妥当性を考えます。n が大きくても np が小さければ、試行数だけから近似の精度は保証できません。

X は整数値を取る一方、近似に使う正規確率変数 Y は連続した値を取ります。整数 k に対応する幅1の区間を k-0.5 から k+0.5 と考え、複数の整数に対応する区間をつなぐ操作を連続補正といいます。例えば整数 a 以上 b 以下なら、連続補正を使う近似では a-0.5 ≦ Y ≦ b+0.5 とします。端点での確率は連続分布では0なので、不等号に等号が付くかどうかは面積を変えません。

一方、補正なしの指示なら端を a と b のまま移します。連続補正の有無で計算値は変わり、どちらも二項分布の厳密値ではありません。問題で指定されないときは、採用した方法を明示して答えます。補正は近似を改善するための方法ですが、個々の事象について必ず誤差が小さくなると断定するものではありません。

以下の表の値は、Z が標準正規分布 N(0, 1) に従うときの P(0 ≦ Z ≦ z) です。例題と練習の答えは、表にある小数第5位までの値を使い、その加減の結果を小数第5位まで示します。近似の誤差と表の丸めがあるため、5桁すべてが二項分布の厳密な確率と一致するという意味ではありません。

z	0.90	1.04	1.10	1.50	2.00	2.50
P(0 ≦ Z ≦ z)	0.31594	0.35083	0.36433	0.43319	0.47725	0.49379

基本例題：両端の整数を含む

表裏が同じ確率で出るコインを独立に225回投げます。表の回数を X とするとき、98回以上127回以下となる確率を、連続補正を使った正規近似で求めてください。答えは上の表を用いて小数第5位まで示します。

各回の表の確率は 1/2 で一定で、各回は独立です。したがって X は B(225, 1/2) に従います。成功と失敗の期待回数はいずれも 225/2 = 112.5 で、ともに十分大きいため、ここでは正規近似を使います。

E(X) = 225・1/2 = 112.5
V(X) = 225・1/2・1/2 = 56.25
√V(X) = 7.5

平均と分散をそれぞれ引き継ぎ、Y は N(112.5, 56.25) に従うとします。98から127までの各整数を幅1の区間で覆うので、図2のように連続補正後の両端は97.5と127.5です。

図2の中央の線は平均112.5、色の付いた範囲は求める面積です。Z = (Y − 112.5)/7.5 とすると、正規分布の標準化によって Z は N(0, 1) に従います。下端と上端を同じ平均と標準偏差で移します。

(97.5 - 112.5)/7.5 = -15/7.5 = -2
(127.5 - 112.5)/7.5 = 15/7.5 = 2

標準正規分布は0を中心に左右対称なので、左半分と右半分は同じ面積です。表の 2.00 の行と 0.00 の列の値を使うと、次のようになります。

P(98 ≦ X ≦ 127) ≒ P(97.5 ≦ Y ≦ 127.5)
                         = P(-2 ≦ Z ≦ 2)
                         = 2・P(0 ≦ Z ≦ 2)
                         = 2・0.47725
                         = 0.95450

答えは約 0.95450 です。両端を元に戻すと 112.5 − 2・7.5 = 97.5、112.5 + 2・7.5 = 127.5 です。これらはそれぞれ98の半分手前、127の半分先なので、求める整数を取り落としていません。

標準例題：平均より右側の区間

ある装置を独立に400回作動させ、各回に印が現れる確率は一定で 0.2 とします。印が現れる回数を X とするとき、92回以上96回以下となる確率を、連続補正を使わない正規近似で求めてください。答えは表を使い小数第5位まで示します。

独立で確率が一定なので X は B(400, 0.2) に従います。成功の期待回数は 400・0.2 = 80、失敗の期待回数は 400・0.8 = 320 で、ともに十分大きいと考えます。失敗側も確かめてから計算に進みます。

E(X) = 400・0.2 = 80
V(X) = 400・0.2・0.8 = 64
√V(X) = 8

Y を N(80, 64) に従う確率変数とし、Z = (Y − 80)/8 と置きます。補正なしという条件に従い、92と96をそのまま端点にして標準化します。

(92 - 80)/8 = 1.50
(96 - 80)/8 = 2
P(92 ≦ X ≦ 96) ≒ P(92 ≦ Y ≦ 96)
                       = P(1.50 ≦ Z ≦ 2)
                       = P(0 ≦ Z ≦ 2) - P(0 ≦ Z ≦ 1.50)
                       = 0.47725 - 0.43319
                       = 0.04406

答えは約 0.04406 です。2つの端点は、80 + 8・1.50 = 92、80 + 8・2 = 96 と元に戻ります。求めた面積は中心から2までの面積の一部で、0.47725より小さいので、引き算の向きも合っています。

この計算では92回と96回の端を広げていません。補正を使うなら91.5と96.5に移しますが、その標準化後の値が手元の表にない場合、補間して精密な値を作ることはしません。補正の有無は、答えの数字とセットで示す必要があります。

発展例題：近似を使えないときに戻る

独立な100回の試行で、各回の成功確率は一定で 0.01 です。成功回数を X とします。成功が1回以上起こる確率を求め、正規近似の条件を調べてください。答えは整数の累乗を含む式で正確に示します。

X は B(100, 0.01) です。100回という試行数だけを見て判断せず、成功と失敗の期待回数を別々に調べます。

np = 100・0.01 = 1
n(1-p) = 100・0.99 = 99

成功の期待回数が1なので、両方が十分大きいという条件を満たすとはいえません。この場合は正規近似に頼らず、余事象を使って二項分布の確率を正確に求められます。1回以上の反対は、成功が0回という事象です。

P(X = 0) = (99/100) の 100 乗
P(X ≧ 1) = 1 - P(X = 0)
             = 1 - (99/100) の 100 乗

各回に失敗する確率は 99/100 で、独立だから0回の確率はその100個の積です。答えを元の事象に戻すと、成功0回と成功1回以上は重ならず、合わせて全結果です。したがって2つの確率の和は1になります。

同様に、試行が4回で成功確率が 1/2 の場合は成功と失敗の期待回数がともに2です。X ≦ 1 の厳密な確率は、0回と1回を足して 1/16 + 4/16 = 5/16 です。連続補正をした正規近似では平均2、標準偏差1で、境界1.5を標準化した -0.5 より左の面積になります。この場合は近似条件が弱く、厳密値とのずれを無視できると決めつけてはいけません。小さい n では二項分布に直接戻る判断が役立ちます。

誤答を直す：整数の端をどちらへ動かすか

基本例題で「98回以上127回以下」を連続補正するとき、誤って 98.5 ≦ Y ≦ 126.5 とする答案を考えます。図3のように両端を内側へ動かすと、98と127に対応する幅を途中で切ってしまいます。

誤りの原因は、整数の値そのものを端として扱い、端の整数も含むという条件を面積に移していないことです。98に対応する区間は97.5から98.5、127に対応する区間は126.5から127.5です。図3の正しい範囲のように、これらを両端まで含む 97.5 ≦ Y ≦ 127.5 に直します。

片側の場合も回数を並べると判断できます。例えば k 以上は k, k+1, … なので下端は k-0.5、k より大きいは k+1, k+2, … なので下端は k+0.5 です。逆に k 以下は上端 k+0.5、k 未満は上端 k-0.5 です。まず等号を含む整数の集合を確定し、それから半分だけ動かします。

もう1つの誤りは、N(112.5, 56.25) の56.25で端点の差を割ることです。56.25は分散なので、標準偏差の7.5に直します。分母を確認してから逆変換すれば、端が97.5と127.5へ戻るかを点検できます。

練習問題

各問題の試行は独立で、各回の成功確率は一定です。正規近似を指定した問題では成功と失敗の期待回数がともに十分大きいものとして、前の表を用い、小数第5位まで示してください。問題5は正確な式で答えます。

色の違う面が同じ確率で出る独立な札を100回引き、毎回戻します。赤い面の回数を X とします。赤い面の確率が 1/2 のとき、46回以上55回以下の確率を連続補正を使って求めてください。
ある信号が各回に点灯する確率は 1/2 です。900回のうち点灯が480回以上となる確率を、連続補正を使わずに求めてください。
表裏が同じ確率の円板を625回投げます。表が326回以上出る確率を、連続補正を使って求めてください。
ある仕分け機で印が付く確率は 0.64 です。400回のうち印が付く回数が232回以下となる確率を、連続補正を使わずに求めてください。
各回の成功確率が 1/20 の試行を20回行います。成功の期待回数と失敗の期待回数を求め、正規近似の条件を吟味してください。さらに成功が0回となる確率を正確な式で求めてください。

練習の答えと解き方

1. 両端を補正する

赤い面の回数 X は B(100, 1/2) に従います。成功と失敗の期待回数はいずれも50です。平均と分散、標準偏差を順に求めます。

E(X) = 100・1/2 = 50
V(X) = 100・1/2・1/2 = 25
√V(X) = 5

Y を N(50, 25)、Z を (Y − 50)/5 とします。46と55を含めるため、補正後は45.5から55.5です。

(45.5 - 50)/5 = -0.90
(55.5 - 50)/5 = 1.10
P(46 ≦ X ≦ 55) ≒ P(-0.90 ≦ Z ≦ 1.10)
                       = P(0 ≦ Z ≦ 0.90) + P(0 ≦ Z ≦ 1.10)
                       = 0.31594 + 0.36433
                       = 0.68027

答えは約 0.68027 です。50 − 0.90・5 = 45.5、50 + 1.10・5 = 55.5 と戻り、赤い面の回数の両端を覆っています。

2. 右側の面積を取る

点灯回数 X は B(900, 1/2) で、成功と失敗の期待回数はいずれも450です。平均は450、分散は 900・1/2・1/2 = 225、標準偏差は15です。Y を N(450, 225)、Z = (Y − 450)/15 とします。

(480 - 450)/15 = 2
P(X ≧ 480) ≒ P(Y ≧ 480)
                  = P(Z ≧ 2)
                  = 0.5 - P(0 ≦ Z ≦ 2)
                  = 0.5 - 0.47725
                  = 0.02275

答えは約 0.02275 です。補正なしの指定なので端を480のまま使いました。450 + 15・2 = 480 と戻り、平均より右の一部なので確率は0.5より小さくなります。

3. 以上の境界を半分下げる

表の回数 X は B(625, 1/2) で、成功と失敗の期待回数はそれぞれ312.5です。平均312.5、分散156.25、標準偏差12.5の正規分布を使います。326以上は326から始まるため、連続補正後の下端は325.5です。

(325.5 - 312.5)/12.5 = 13/12.5 = 1.04
P(X ≧ 326) ≒ P(Z ≧ 1.04)
                  = 0.5 - P(0 ≦ Z ≦ 1.04)
                  = 0.5 - 0.35083
                  = 0.14917

答えは約 0.14917 です。312.5 + 1.04・12.5 = 325.5 と戻り、326の半分手前から右側を取っています。端を326.5にすると326に対応する幅が抜けるため、この事象には合いません。

4. 左側の面積を取る

印の回数 X は B(400, 0.64) です。成功の期待回数は256、失敗の期待回数は144で、ともに十分大きいと考えます。平均と分散を求めます。

E(X) = 400・0.64 = 256
V(X) = 400・0.64・0.36 = 92.16
√V(X) = 9.6

Y を N(256, 92.16)、Z = (Y − 256)/9.6 とします。補正なしの指定なので、上端は232のまま標準化します。

(232 - 256)/9.6 = -24/9.6 = -2.50
P(X ≦ 232) ≒ P(Z ≦ -2.50)
                  = 0.5 - P(0 ≦ Z ≦ 2.50)
                  = 0.5 - 0.49379
                  = 0.00621

答えは約 0.00621 です。256 − 2.50・9.6 = 232 と戻り、平均より左の裾の面積です。左側の半分から中心と2.50の間を引くので、結果は0以上0.5以下です。

5. 条件を満たさない場合

X は B(20, 1/20) に従います。期待回数をそれぞれ計算します。

np = 20・1/20 = 1
n(1-p) = 20・19/20 = 19

成功側が1なので、両側とも十分大きいという条件を満たすとはいえません。正規近似で押し切らず、0回という事象を各回の失敗の積に戻します。

P(X = 0) = (19/20) の 20 乗
P(X ≧ 1) = 1 - (19/20) の 20 乗

求める答えは (19/20) の 20 乗です。成功が0回と1回以上の確率の和は1に戻り、それぞれ0以上1以下です。試行数が増えても、成功の確率がさらに小さければ成功側の期待回数は小さいままになりえます。

覚えておくこと

まず独立性と成功確率の一定を確かめ、二項分布を立てます。
np と n(1-p) の両方が十分大きいとき、平均と分散を正規分布へ引き継ぎます。
連続補正は整数の集合を決めてから端を半分動かし、有無を明示します。
標準化の分母は分散ではなく標準偏差です。
表にない値を作らず、近似が不適切な場合は二項分布に戻ります。

つまずきの見分け方と個別指導での確認

計算が始まらないときは、まず何を成功と数えるか、1回の確率は一定かを言葉にしてみます。途中から数字が合わないときは、分布の第2の数と標準偏差を別の行に書き、平方すると分散に戻るか確かめます。例えば分散64なら、標準化の分母8を二乗して64に戻します。

個別指導では、近似の式を書く前に np と n(1-p) をそれぞれ求めてもらい、片方が小さいときに何が問題かを説明してもらいます。端点の混乱には、条件を満たす最初と最後の整数を書き、その前後の半分までを図に描く方法が有効です。表の値が手元にないときも、どの面積を求めるかを式で残せるか確認します。整数を数える確率と曲線の面積を結ぶには、条件と境界の両方を読む目が欠かせません。