高校数学B 二項分布の和—成功確率の一致と独立を確かめて回数をまとめる｜武蔵野個別指導塾

二つの成功回数を合計するとき、確率の一致と独立を点検し、異なる場合の分布表から二項分布の和を見直します。

よくあるのは、高2の生徒が成功率の違う二つの箱から札を引き、成功回数を合計するときに、試行回数だけを足して一つの二項分布にしてしまう場面です。箱ごとの試行回数がわかっていても、それだけでは合計の分布は決まりません。各回の成功の確率が等しいか、結果どうしが独立かを先に調べます。条件がそろわない場合も、起こりうる組を表にすれば合計の確率を求められます。

どの場面で回数をまとめるか

問いの型は大きく3つあります。第一に、共通の成功確率を持つ独立な試行を二つの組に分けて数え、合計の分布や確率を求める型です。区切りを消して試行回数を足せるため、合計に対して二項分布を使えます。成功の意味は二つの組で同じ種類の出来事として定め、各回に成功か失敗かの二通りを対応させます。

第二に、成功確率が違う二つの組の合計を求める型です。確率を適当に平均して代入する前に、各組の回数の組合せを列挙します。合計が同じになる複数の組は、それぞれの確率を足します。第三に、成功確率は同じでも結果が連動する型です。周辺の分布が同じという情報と、二つの回数が独立という情報は別です。独立が与えられなければ、積を使えるとは限りません。

一つにまとめるための条件

1回ごとの試行で、注目する結果を成功、それ以外を失敗と呼びます。各回が互いに独立で、成功確率が常に p である n 回の試行の成功回数 X は二項分布 B(n, p) に従います。n は正の整数、p は 0 以上 1 以下です。独立とは、一方の結果がもう一方の結果の確率を変えないことです。復元して引く場合でも、各回の引き方が同じで互いに影響しないことを確認します。

X が B(m, p)、Y が B(n, p) に従い、X と Y が独立なら、X + Y は B(m + n, p) に従います。図1のように、試行として構成できる場合は、境目を消して m + n 回と見られます。また、回数の分布とその独立性が与えられている場合にも同じ結論が成り立ちます。単に両方が二項分布に従うことから、独立性まではわかりません。

図1のように、回数を足す前に「独立」と「共通の p」の両方を確かめます。理由を確率の式でも見てみます。合計が k 回となるのは、X = i かつ Y = k − i となる場合の集まりです。範囲外の回数の確率を 0 として、独立性から次のように書けます。

P(X + Y = k) = Σ[i=0..k] P(X = i)P(Y = k - i)
= Σ[i=0..k] C(m,i)C(n,k-i)pᵏ(1-p)の(m+n-k)乗
= C(m+n,k)pᵏ(1-p)の(m+n-k)乗

ここで C(a,b) は a 個から b 個を選ぶ組合せの数で、範囲外では 0 とします。最後の等式は、m 個と n 個から合計 k 個を選ぶ方法を、前の組から i 個選ぶ場合に分けて数えたものです。右辺は B(m + n, p) の確率です。p が 0 または 1 の端でも、成功回数はそれぞれ常に 0 または m + n となり、結論は同じです。

この説明では成功確率が一致するため、各項から同じ p の積を取り出せました。確率が違うとその形にまとめられません。ただし、条件を満たさなければ和が二項分布でないと直ちに断定するのも危険です。上の定理は十分な条件を述べています。条件が欠ける場面では、その場の分布を計算して判定します。

基本例題：同じ確率の試行をつなぐ

赤い札を引く確率が 1/3 の箱から、引いた札を戻してよく混ぜる操作を3回行います。別の箱でも赤い札を引く確率は 1/3 で、同様に2回引きます。5回の結果は互いに独立です。前の3回の赤い札の回数を X、後の2回を Y とします。X + Y がちょうど2となる確率を既約分数で求めてください。

まず、両方の組で赤い札を成功と定めます。各回の成功確率は 1/3 で、5回の結果は互いに独立です。したがって X は B(3, 1/3)、Y は B(2, 1/3) に従い、X と Y も独立です。図2のように境目を消すと、合計は独立な5回の成功回数になります。

図2のように、5回のうち成功する2回の選び方は C(5,2) 通りです。どの選び方でも、成功2回と失敗3回の確率の積は同じです。S = X + Y とおくと、次のように計算します。

S は B(5, 1/3) に従う
P(S = 2) = C(5,2)・(1/3)²・(2/3)³
= 10・(1/9)・(8/27)
= 80/243

C(5,2) = 10 は成功位置の選び方です。確率の積は独立性によります。確認として元の組に分けると、(X, Y) = (0, 2), (1, 1), (2, 0) の3通りです。それぞれの確率は 8/243、48/243、24/243 であり、合計は 80/243 に戻ります。両組に2回の成功をどう振り分けたかが、二項分布の係数にまとめられています。

標準例題：成功確率が異なる場合

二つの装置をそれぞれ1回動かします。独立に動作し、装置 A の成功確率は 1/4、装置 B の成功確率は 2/3 です。成功した装置の台数 S の分布を既約分数で求め、S が B(2, p) に従う p があるか調べてください。

独立なので、各組の確率は積で求めます。A の失敗確率は 3/4、B の失敗確率は 1/3 です。0台は両方失敗、2台は両方成功、1台は片方ずつ成功する二通りです。

P(S = 0) = (3/4)・(1/3) = 1/4
P(S = 1) = (1/4)・(1/3) + (3/4)・(2/3)
= 1/12 + 1/2 = 7/12
P(S = 2) = (1/4)・(2/3) = 1/6

合計は 3/12 + 7/12 + 2/12 = 1 です。3つとも負ではなく、起こりうる成功台数 0、1、2 を尽くしています。もし B(2, p) に従うなら、その平均は 2p です。一方、元の場面での平均は各装置の成功確率の和なので 1/4 + 2/3 = 11/12 です。このため p = 11/24 に限られます。

その p を使うと、2台とも成功する確率は (11/24)² = 121/576 となります。実際は 1/6 = 96/576 なので一致しません。よって、そのような p はありません。平均を合わせた確率を使っても、分布全体が合う保証はありません。

発展例題：独立でないときの合計

ある操作の成功確率は 2/5 です。1回目が成功なら2回目も必ず成功し、1回目が失敗なら2回目も必ず失敗します。各回の成功をそれぞれ1、失敗を0とし、回数を X、Y とします。合計 S の分布を既約分数で求め、B(2, 2/5) と比較してください。

2回目の結果は1回目と同じなので、各回の成功確率はどちらも 2/5 です。しかし X = 1 のとき Y = 1 が確実であり、Y の成功確率は元の 2/5 のままではありません。よって X と Y は独立ではありません。

P(S = 0) = P(X = 0, Y = 0) = 3/5
P(S = 1) = 0
P(S = 2) = P(X = 1, Y = 1) = 2/5

合計は 1 で、1回だけ成功する組は条件上起こりません。一方、独立な2回の成功確率が 2/5 なら、B(2, 2/5) で1回成功する確率は 2・(2/5)・(3/5) = 12/25 です。0 と異なるので、今回の S はその分布ではありません。共通の成功確率を見つけても、結果が連動していないか別に点検する必要があります。

誤答を分解して直す

標準例題で「2回の成功確率の平均は 11/24 だから、S は B(2, 11/24)」とするのが誤答です。平均を用いると成功台数の期待値は一致しますが、2回とも成功する確率まで一致するとは限りません。図3のように、両方の成功を元の確率の積で求めて比較します。

図3のように、元の確率 1/6 と、平均した確率を二乗した 121/576 は異なります。違いは計算の丸めではありません。修正するには、まず成功と失敗の組を列挙し、独立なら各組で確率を掛け、同じ合計に対応する組を足します。独立でないときは積を使わず、同時に起こる確率を条件から求めます。

たとえば、独立でないのに周辺確率だけを掛けて発展例題の両方成功を 4/25 とするのも誤りです。実際は最初の成功がそのまま次の成功を決めるため 2/5 です。分布が与えられていない場合、独立かどうかも同時確率も不明なら、数値を決めず情報が足りないと判断します。

練習問題

次の5問では、確率は既約分数で答えてください。回数の分布を問うときは、起こりうる各値とその確率を示してください。

1. 青い札が出る確率 1/2 の独立な試行を4回と2回行います。合計の青い札の回数の分布と、ちょうど1回となる確率を求めてください。
2. 独立な2回の試行で、成功確率は順に 1/5、3/4 です。成功回数の分布を求めてください。
3. 二つの回数 X、Y は独立で、それぞれ B(2, 1/4)、B(3, 1/4) に従います。X + Y が0となる確率を求めてください。
4. 1回の操作の成功確率は 1/3 です。2回目は1回目と必ず反対の結果になります。2回の成功回数の分布を求め、各回の成功確率が等しいか調べてください。
5. 独立な2回の試行で、成功確率は順に 1/3、2/3 です。成功回数の平均を求め、B(2, 1/2) と同じ分布か判定してください。

練習の答えと解き方

1

6回とも成功確率が 1/2 で互いに独立なので、合計を T とすると T は B(6, 1/2) に従います。k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 に対し、次の式で各値の確率を求めます。

P(T = k) = C(6,k)・(1/2)ᵏ・(1/2)の(6-k)乗
= C(6,k)/64

順に 1/64、3/32、15/64、5/16、15/64、3/32、1/64 です。特に P(T = 1) = 6/64 = 3/32 です。分子の和は 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 なので、全確率は1です。6回のどれを成功に選ぶかで、元の独立試行に戻しても同じ数になります。

2

両方失敗、片方成功、両方成功に分けます。失敗確率は順に 4/5、1/4 です。独立なので各場合の確率を掛けます。

P(0) = (4/5)・(1/4) = 1/5
P(1) = (1/5)・(1/4) + (4/5)・(3/4)
= 1/20 + 12/20 = 13/20
P(2) = (1/5)・(3/4) = 3/20

合計は 4/20 + 13/20 + 3/20 = 1 です。1回成功の二つの組が互いに重ならず、両方を足したことも場面に戻して確かめられます。

3

X と Y は独立で、成功確率が共通の 1/4 です。したがって和は B(5, 1/4) に従います。0回成功するのは5回とも失敗する場合です。

P(X + Y = 0) = (3/4)の5乗
= 243/1024

元の二組に戻すと、X = 0 の確率は 9/16、Y = 0 の確率は 27/64 です。独立性から積をとると 243/1024 となり、同じ結果です。

4

1回目の成功確率は 1/3、失敗確率は 2/3 です。2回目は反対なので、その成功確率は 2/3 です。成功と失敗が必ず1回ずつ起こり、合計を U とすると次の分布になります。

P(U = 0) = 0
P(U = 1) = 1
P(U = 2) = 0

各回の成功確率は等しくありません。また一方の結果が他方を決めるので独立でもありません。成功確率 1/3 の場合と失敗確率 2/3 の場合を合わせると 1 になり、どちらも U = 1 に戻ります。

5

成功回数を V とします。独立性より、両方失敗と両方成功の確率を積で求めます。片方成功は残る二つの組です。

P(V = 0) = (2/3)・(1/3) = 2/9
P(V = 1) = (1/3)・(1/3) + (2/3)・(2/3) = 5/9
P(V = 2) = (1/3)・(2/3) = 2/9
E(V) = 0・(2/9) + 1・(5/9) + 2・(2/9) = 1

確率の和は 1 です。B(2, 1/2) の場合、2回成功する確率は (1/2)² = 1/4 です。元の 2/9 と異なるので同じ分布ではありません。平均は各回の成功確率の和 1/3 + 2/3 = 1 とも一致しますが、それだけでは分布を決められません。

覚えておくこと

独立な B(m, p) と B(n, p) の和は B(m + n, p) です。
成功確率が異なるときは、回数の組ごとの確率を足します。
共通の成功確率があっても、独立性を別に確認します。
条件が足りないときは、分布を決めつけず同時確率を調べます。

つまずきの見分け方

式に B(m + n, p) と書けても、その p が各回で共通である理由を言えない場合は、箱や装置ごとに成功確率を書き出します。値が異なるなら、どの組が合計1回に対応するかを列挙してから、掛け算と足し算の役割を分けます。結果が連動する問題では、片方が成功した後のもう片方の確率が変わるかを確かめます。

個別指導では、まず P(X + Y = 1) = P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 0) と書けるかを見ます。その後、各項を周辺確率の積に直せる根拠として独立性を説明してもらいます。最後に確率の総和が1か、元の場面で不可能な回数に0が付いているかを調べます。条件と分布表を往復すると、二項分布の和を使える範囲が見えてきます。