高校数学B 和の記号Σと項数—開始番号と終了番号を読んで展開した和へ戻す｜武蔵野個別指導塾

Σの開始番号と終了番号を読んで各項を展開します。定数を足す回数と、条件から上端を決める手順を確かめてみましょう。

よくあるのは、高2の高校生がΣの下端が1以外でも、上端がnなら項数はn個だと数える場面です。たとえば途中の番号から始まる和では、最初の番号より前の項は含まれません。上端の値をそのまま個数とする前に、両端を含めて何回足すかを調べましょう。ここでは有限個の項の和を扱い、記号の意味から展開と項数を結びつけます。

どこを読めばよいか

Σを含む問いには、記号を展開する問題、展開された式をΣで表す問題、文字を含む和から項数や条件を求める問題があります。どの場合も、最初に注目するのはΣの下と上に書かれた番号です。その番号を右側の式に順に入れて、出てきた値を足します。

下端が1なら1からnまでの整数はn個です。しかし、下端が別の整数なら、その前にある番号を数から除きます。さらに、番号の数と和の値は異なります。たとえば各項が負でも、項数は負になりません。各項が0でも、項そのものは指定された回数だけあります。

式の形を見てすぐ公式へ進むと、最後の項や定数を足す回数を見落としがちです。まず最初と最後に入る番号を書き、その間を1ずつ進めるという約束を確かめます。端が文字の場合は、始点と終点の大小も条件として読み取ります。

Σは足す手順を短く書いたもの

整数m、nについてm ≤ nとし、番号kに対応する値をaₖとします。このとき

Σ[k=m..n] aₖ = aₘ + aₘ₊₁ + … + aₙ

です。kはmから始まり、1ずつ増えてnで終わります。両端を含むので、項数はn − m + 1個です。n − mは始点から終点までの番号の差であり、間の進み方の回数です。初めの1項を加えると個数になります。

図1のように、番号の間の移動と番号そのものの個数を分けて数えると、最後の1個を忘れにくくなります。m = nなら移動は0回ですが、aₘが1項あります。これはn − m + 1 = 1とも一致します。

Σの中で動くkは、和を記述するための添字です。たとえば同じ範囲ならΣ[k=m..n] aₖとΣ[j=m..n] aⱼは同じ和です。kをjに変えても、各番号に対応する項は変わりません。ただし、和の外で別の意味を持つ文字と混同しない名前を選びます。外側にあるnやmは、この和の端を指定する文字です。

各項が定数cなら、m ≤ nのときΣ[k=m..n] c = c(n − m + 1)です。cが負や0でも項数の考え方は同じです。cが0のとき和は0ですが、項が存在しないという意味ではありません。和の中の定数は1回だけ現れるのではなく、番号ごとに現れます。

m > nの場合は、上の展開や項数の式をそのまま使いません。必要なら、足す項がない和を空の和と呼び、その値を0と定義できます。この約束を使うときは明記します。定義なしに逆向きに番号をたどることや、負の個数を数えることはしません。

展開と記号を行き来する

たとえばb₄ + b₅ + b₆を短く書くなら、番号が4から6まで続くのでΣ[k=4..6] bₖです。逆にこの記号を開けば、b₄、b₅、b₆の3項に戻ります。bの右下にある番号が変わるのであり、b₄を3回足すわけではありません。項の値がたまたま等しい場合も、番号の異なる3項として数えます。

一方、番号が4、6、8のように飛ぶ和は、単に下端4、上端8と書くと5項になり、元の3項と一致しません。記号を作った後は、最初と最後だけでなく途中の番号も展開して照合します。項数の公式は、整数の番号を1ずつ進める今回の書き方に対して使います。

和の中に2種類の項がある場合も、同じ番号について作った値を先に足してから全体を足せます。有限個の和なので、各番号の項を同じ種類どうしにまとめ直せます。ただし、片方の和の端だけを変えれば、対応する項が欠けます。分けた後も、両方に同じ範囲が付いているかを確認してください。

たとえば同じ番号に対する2つの値をまとめるとき、初めの番号から最後の番号まで対応が途切れないかも重要です。各和が何項あるかをそれぞれ確認すれば、定数を余分に加えた行や、端の項を落とした行を見つけられます。和の値を計算する前の点検として役立ちます。

基本例題：番号を入れてから足す

例題1。Σ[k=3..7] (2k − 1)を展開し、その値を整数で求めてください。

下端3、上端7は整数で、3 ≤ 7です。番号を1ずつ入れ、各項を計算します。

Σ[k=3..7] (2k - 1)
= (2・3 - 1) + (2・4 - 1) + (2・5 - 1) + (2・6 - 1) + (2・7 - 1)
= 5 + 7 + 9 + 11 + 13
= 45

項数は7 − 3 + 1 = 5個です。図2のように、5つの番号が5つの項に対応します。最初の値5や最後の値13は項の値であり、番号そのものとは区別します。

図2で両端の番号を確かめ、真ん中の番号も順に追うと、展開に抜けがないと確認できます。別の計算として、初項5、末項13、項数5の等差数列の和を使えば、(5 + 13)・5/2 = 45です。この方法では等差であることと項数を確認してから公式を使います。項数を上端の7と取り違えると、存在しない2項分まで計算してしまいます。

標準例題：定数を足す回数を残す

例題2。nを4以上の整数とします。Σ[k=4..n] (k + 3)を、Σ[k=1..n] kを用いず、nの式で表してください。

4からnまでの整数はn − 3個です。定数3もその回数だけ足されます。まず各項を番号の部分と定数の部分に分けます。

Σ[k=4..n] (k + 3)
= (4 + 5 + … + n) + 3(n - 3)

4からnまでの和は、初項4、末項n、項数n − 3の等差数列の和です。n = 4でも1項の和としてこの式を使えます。

4 + 5 + … + n = (4 + n)(n - 3)/2
Σ[k=4..n] (k + 3)
= (n + 4)(n - 3)/2 + 3(n - 3)
= (n - 3)(n + 10)/2

n = 4を代入すると7です。元の和も4 + 3の1項で7になり、端が一致する場合も合います。たとえばn = 6なら元の和は7 + 8 + 9 = 24で、式も3・16/2 = 24です。これらは計算の点検であり、文字nについての導出の代わりではありません。

別の方法として、1からnまでの和から1、2、3を引くこともできます。ただし、その場合も定数3はn回ではなくn − 3回足します。項の一部を分ける操作と、足す番号の範囲を変える操作は別々に追うことが重要です。

発展例題：項数から終了番号を決める

例題3。整数pは6以上とします。Σ[k=6..p] (k − 2)の項数が8個のとき、pと和をそれぞれ整数で求めてください。

下端と上端をともに含むため、項数はp − 6 + 1です。8個という条件を式にして解きます。

p - 6 + 1 = 8
p - 5 = 8
p = 13

13は6以上なので、最初の条件を満たします。番号は6から13までの8個です。各項は4から11までの整数となり、和を求められます。

Σ[k=6..13] (k - 2)
= 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11
= (4 + 11)・8/2
= 60

答えを問題に戻すと、13 − 6 + 1 = 8で、指定された個数に一致します。直接足しても60です。項数の式からpを求めた後、得られたpが下端以上の整数かを確認してから和を計算します。

もし項数が1個と指定されれば、p = 6です。上端と下端が同じなので、和は6 − 2 = 4となります。一方、項数が0個という条件では、p ≥ 6のもとでは該当するpはありません。空の和を認める設定に変更する場合は、範囲と約束を別に示す必要があります。

間違いを項ごとに直す

Σ[k=3..7] (2k − 1)について、上端が7だから7項として「番号の和を2倍し、1を7回引く」と考える誤りを見ます。下端が3である以上、番号1と2に対応する項は足されません。7という値は終了番号で、項数ではありません。

図3のように、対象の番号は3から7までの5個です。したがって、定数の部分を分けるなら次のようにします。

Σ[k=3..7] (2k - 1)
= 2(3 + 4 + 5 + 6 + 7) - 5
= 2・25 - 5
= 45

定数を1回だけ引く間違いも、7回引く間違いも、展開して各項に付く「- 1」を数えると修正できます。項数を数えずに公式だけを動かしたときは、両端と、その間の番号を書き戻しましょう。

また、添字だけをkからjへ変える場合、上端や項の対応は変わりません。これに対し、番号そのものを別の式に置き換える場合は範囲も確認する必要があります。文字の名前を変える操作と、番号をずらす操作を同じものとして扱わないようにします。

練習問題

各問の和は、添字を下端から上端まで1ずつ動かして作ります。答えは指定された形で書いてください。

1. Σ[k=2..5] (3k + 2)を展開し、和を整数で求めてください。
2. Σ[j=8..12] (-4)の項数と和を、それぞれ整数で求めてください。
3. nを5以上の整数とします。Σ[k=5..n] (k + 1)をnの式で表してください。
4. qを9以上の整数とします。Σ[k=9..q] 2の和が14のとき、qを整数で求めてください。
5. 整数aについて、Σ[k=a..16] 5の項数が4個です。aと和をそれぞれ整数で求めてください。

練習問題の答えと解き方

1の答え

2 ≤ 5なので、2から5までの4個の番号を代入します。

Σ[k=2..5] (3k + 2)
= (3・2 + 2) + (3・3 + 2) + (3・4 + 2) + (3・5 + 2)
= 8 + 11 + 14 + 17
= 50

最初の項は8、最後の項は17です。項数も5 − 2 + 1 = 4で、展開した項の個数と一致します。

2の答え

8から12までの番号は12 − 8 + 1 = 5個です。各項は-4なので、

Σ[j=8..12] (-4)
= (-4) + (-4) + (-4) + (-4) + (-4)
= -20

答えは項数5、和-20です。添字の名前jは足す値を変えず、負の値を5回足すことが和の負号につながります。

3の答え

n ≥ 5より、項数はn − 4です。5からnまでの整数の和と、1を足す部分を分けます。

Σ[k=5..n] (k + 1)
= (5 + n)(n - 4)/2 + (n - 4)
= (n - 4)(n + 7)/2

n = 5なら元の和は6の1項で、式も1・12/2 = 6です。n = 7なら元の和は6 + 7 + 8 = 21で、式も3・14/2 = 21です。一般のnでは等差数列の和と項数を用いた上の変形が根拠です。

4の答え

q ≥ 9なので項数はq − 8です。各項が2であることから、

2(q - 8) = 14
q - 8 = 7
q = 15

15は9以上の整数です。9から15まで7項あり、2を7回足すと14なので、元の条件に戻しても一致します。

5の答え

4個の項があるためa ≤ 16で、項数は16 − a + 1です。

16 - a + 1 = 4
17 - a = 4
a = 13
Σ[k=13..16] 5 = 5・4 = 20

13から16までの番号は13、14、15、16の4個です。それぞれの項が5なので、元の和も5 + 5 + 5 + 5 = 20です。答えはa = 13、和20です。

要点を手元に残す

m ≤ nなら、mからnまでの項数はn − m + 1です。
定数は項数回足し、添字の名前を変えても和は変わりません。
端が逆順のときは、空の和の約束を確認します。

手が止まった箇所を確かめる

展開が合わないときは、下端を代入した項と上端を代入した項を先に書き、その間を1ずつ埋めてみましょう。項数が合わなければ、番号の差と番号の個数を別に数えます。定数の係数が合わなければ、展開した各項にその定数がいくつ現れるかを見ます。

個別指導で確かめるなら、途中式のどの行で添字、項の値、項数が入れ替わったかを示すと、修正する場所が明確になります。端が文字の場合は、最初に許される値を入れて1項の和に戻るかも点検します。Σの下端と上端を読み取ることから、足し算の全体像が見えてきます。