高校数学II 常用対数と最高位の数字—小数部分を数の範囲へ戻して先頭の数字を判定する｜武蔵野個別指導塾

常用対数の小数部分から1以上10未満の倍率を求め、最高位の数字を絞ります。近似の幅が境界をまたぐ場合も吟味します。

よくあるのは、高2が大きな整数の常用対数を計算し、その小数部分をそのまま最高位の数字として書いてしまう場面です。小数部分が0.4付近だから先頭は4、と考えたくなるかもしれません。しかし対数は、10を何乗すると元の数になるかを表します。元の数の先頭を知るには、指数から数の範囲へ戻す一手が必要です。

先頭を問われたら何を見るか

整数を全部書き出さずに先頭の1桁を求める問題では、常用対数の整数部分と小数部分の役割を分けます。整数部分は10の何乗の近くにあるかを示し、小数部分はその10の累乗に何倍するかを決めます。どちらか一方を元の数字と読み違えると、桁数も先頭も混ざります。

出方には、累乗の常用対数から先頭を求める型、小数部分が与えられて先頭を求める型、与えられた近似値の精度で判定できるか調べる型があります。どの型も、底が10の対数の増加と、不等式の端点が入るかどうかを使います。底10は正で1ではなく、ここで対数を取る数は正です。

学習指導要領の数学IIには対数の意味と性質、用語として常用対数が挙げられています。ここでは正整数の最高位を中心に扱い、桁数は先頭を位置づける補助として使います。対数の値は問題で指定された範囲を使い、境界があいまいな場合には無理に数字を決めません。

小数部分を元の数に戻す

正整数Nに対し、常用対数を整数mと0以上1未満の小数部分fに分けます。常用対数は底10の対数で、以下ではlog₁₀ Nと書きます。

log₁₀ N = m + f
0 ≤ f < 1
N = 10の(m + f)乗
N = 10のm乗 ・ 10のf乗

対数の定義と指数法則を用いました。0 ≤ f < 1なので、10のf乗は1以上10未満です。したがって、この数の整数部分がNの最高位の数字に対応します。たとえば10のf乗が3以上4未満なら、Nは10のm乗の3倍以上4倍未満です。mは正整数Nなら0以上で、Nは3に続いてm桁分の数字を持つ範囲にあります。

図1のように、小数部分はまず1以上10未満の倍率へ戻します。最高位の候補は1から9までで、倍率がちょうど3なら3、ちょうど4なら4です。左側に等号を含み、右側には含めないことが境界の約束です。

図1の倍率をAとすると、数字dが最高位である条件は次のように表せます。dは1以上9以下の整数です。

d ≤ A < d + 1
log₁₀ d ≤ f < log₁₀(d + 1)

底10の対数は増加するため、不等号の向きは変わりません。d = 1では左端がlog₁₀ 1 = 0、d = 9では右端がlog₁₀ 10 = 1です。f = 0ならA = 1で、最高位は1です。逆にf = 1は小数部分の範囲に含まれず、整数部分を1増やしてf = 0に直します。

境界の比較には注意が要ります。近似値を小数第3位まで書いたとしても、真の値が最後の位の前後にあり得ます。比較する2つの範囲が重なれば、その情報だけでは大小を決められません。桁数が決まっても最高位が決まるとは限らず、追加の精度が必要です。

基本例題：累乗の先頭を挟む

問題：正整数2²⁰の最高位の数字を整数で求めます。ただし、0.30102 < log₁₀ 2 < 0.30104を使ってよいものとします。必要なら2²⁰を直接計算して確かめます。

2は正なので対数が取れます。まず累乗の性質で対数を20倍し、与えられた範囲をそのまま運びます。

log₁₀(2²⁰) = 20 log₁₀ 2
6.0204 < log₁₀(2²⁰) < 6.0208

6 < log₁₀(2²⁰) < 7なので整数部分は6、小数部分fは0.0204 < f < 0.0208です。ここでfを数字の0と読むのではなく、log₁₀ 1 = 0とlog₁₀ 2の間にあることを確かめます。

0 = log₁₀ 1 < f
f < 0.0208 < 0.30102 < log₁₀ 2
1 < 10のf乗 < 2

よって最高位は1です。図2のように、対数の小数部分が0とlog₁₀ 2の間にあることから、倍率は1と2の間にあります。6は倍率ではなく10の累乗の指数です。

図2の判定を元の整数に戻すと、10⁶ < 2²⁰ < 2・10⁶です。実際に2²⁰ = 1048576なので、1000000以上2000000未満という条件を満たし、先頭は1です。近似から得た範囲と整数そのものの両方が一致します。近似値の中央だけを20倍するより、上下の端を別々に計算すると境界を越えないことが見えます。

標準例題：境界を二つ使って数字を決める

問題：正整数3¹²の最高位の数字を整数で求めます。0.47712 < log₁₀ 3 < 0.47713、0.69896 < log₁₀ 5 < 0.69898、0.77814 < log₁₀ 6 < 0.77816を使ってよいものとします。

真数3、5、6はすべて正で、底10も条件を満たします。3¹²の対数を挟みます。

log₁₀(3¹²) = 12 log₁₀ 3
5.72544 < log₁₀(3¹²) < 5.72556

整数部分は5で、小数部分fは0.72544より大きく0.72556より小さい数です。境界の値自体も範囲で与えられているので、最も不利な端どうしを比較します。

log₁₀ 5 < 0.69898 < 0.72544 < f
f < 0.72556 < 0.77814 < log₁₀ 6
log₁₀ 5 < f < log₁₀ 6
5 < 10のf乗 < 6

答えは5です。元の数に戻せば5・10⁵ < 3¹² < 6・10⁵です。直接計算すると3¹² = 531441で、確かに500000と600000の間にあります。最高位が5になる範囲は本来、左端を含む5・10⁵以上6・10⁵未満です。この問題では両端とも厳密な不等式で挟めたので、端点上かどうかを別に調べる必要はありません。

別の考え方では、最初からlog₁₀(5・10⁵)とlog₁₀(6・10⁵)を境界にします。前者は5 + log₁₀ 5、後者は5 + log₁₀ 6です。小数部分を取り出す方法と同じ比較であり、元の整数の範囲を直接意識したいときに便利です。

発展例題：精度が足りるかを判定する

問題：正整数Nの常用対数は5.6989より大きく5.6991より小さいとします。計算に用いる範囲として0.69896 < log₁₀ 5 < 0.69898を与え、候補の検証には0.69896 < log₁₀(499999/100000) < 0.69898も使えるものとします。最高位が一意に定まるかを答え、定まらない場合は異なる最高位を持つ整数を1つずつ挙げてください。

整数部分は5なので、Nは100000以上1000000未満です。しかし小数部分fは0.6989 < f < 0.6991で、log₁₀ 5の範囲をまたいでいます。したがって、この比較だけでは5・10⁵の下か上かが決まりません。範囲が重なることは判定手順が失敗した理由ですが、実際に両方の整数が条件を満たすことも示します。

0.6989 < log₁₀ 5 < 0.6991
10の5.6989乗 < 500000 < 10の5.6991乗

500000は条件を満たし、最高位は5です。一方、499999については、下端との間に余裕があることを次の整数比較で示せます。与件からlog₁₀ 5 > 0.69896なので、下端との差は0.00006より大きいです。ここで10の0.00006乗 > 1.000002を使わずに済むよう、代わりに別の候補を厳密に構成します。

499999については、0.69896 < log₁₀(499999/100000) < 0.69898を検証用の追加値として使います。真数は正です。

5.69896 < log₁₀ 499999 < 5.69898
5.6989 < log₁₀ 499999 < 5.6991

499999の最高位は4で、500000の最高位は5です。よって与えられた情報から1つには決められません。追加された範囲は499999が条件を満たす検証用の値であり、Nそのものに新たな制約を加えていません。実際の問題で追加の値がないときも、境界の両側に条件を満たす整数があるかを確認してから「決められない」と結論します。

この例の整数部分は5です。最高位を5と確定するには、小数部分fがlog₁₀ 5以上log₁₀ 6未満に収まることを示します。追加情報を使う際も、最初に与えた対数の範囲との共通部分があるかを調べます。片側の境界を越えただけで次の境界を忘れないことが、精度不足の問題を扱う鍵です。

誤答を元の範囲で直す

ここでは正の実数Nに範囲を広げ、log₁₀ N = 7.4という条件から最高位を4と答えてしまう誤りを考えます。原因は、指数の小数部分0.4を十進表記の最初の数字として読んだことです。0.4は倍率そのものではありません。

正しくはN = 10⁷・10の0.4乗です。10の0.4乗の範囲を調べるため、0.3979 < log₁₀ 2.5 < 0.3980、0.4771 < log₁₀ 3と与えられたとします。2.5も3も正で、底は10です。

log₁₀ 2.5 < 0.3980 < 0.4
0.4 < 0.4771 < log₁₀ 3
2.5 < 10の0.4乗 < 3

したがって最高位は2です。図3のように、0.4から直接4へ進む矢印は使わず、倍率を挟んでから整数部分を読みます。

図3では上段が誤り、下段が修正です。2.5・10⁷ < N < 3・10⁷なので、元の数の先頭は2です。小数部分だけを見て答えた場合でも、この元の範囲に戻す確認を加えれば食い違いを発見できます。

もう1つの誤りは、f = log₁₀ 4で最高位を3とすることです。このとき倍率はちょうど4なので、正しくは4です。境界より小さい側の区間には右端を含めません。与えられた数が境界そのものか、近似範囲が境界をまたぐかを区別してください。

練習：問題を先に解く

各問の対数は底10です。指定した範囲は厳密な不等式として使用します。最高位は整数で答え、判定できない場合はその理由を述べてください。

1. log₁₀ N = 8である正整数Nの最高位と桁数を整数で求めてください。
2. 正整数Nについてlog₁₀ N = 4 + f、log₁₀ 7 ≤ f < log₁₀ 8です。最高位を求め、Nの範囲を整数の不等式で表してください。
3. 0.60205 < log₁₀ 4 < 0.60207、0.90308 < log₁₀ 8 < 0.90310を使い、4⁷の最高位を求めてください。
4. 0.84509 < log₁₀ 7 < 0.84511、0.77814 < log₁₀ 6 < 0.77816、0.90308 < log₁₀ 8 < 0.90310を使い、7⁵の最高位を求めてください。
5. 正整数Nについて、3 + log₁₀ 9 ≤ log₁₀ N < 4です。最高位とNの範囲を求め、右端が含まれない理由を述べてください。

解答と解き方

1. 対数の定義からN = 10⁸ = 100000000です。最高位は1、桁数は9です。整数部分8を桁数とすると1つ少なくなります。元の整数は10⁸以上10⁹未満なので、9桁という答えと一致します。

2. 底10の増加から7 ≤ 10のf乗 < 8です。したがって70000 ≤ N < 80000で、最高位は7です。左端の70000は条件を満たし、右端の80000は小数部分がlog₁₀ 8となって条件から外れます。等号の位置を対数の式から数の式まで保ちます。

3. 4は正なので累乗の対数の性質を使います。

log₁₀(4⁷) = 7 log₁₀ 4
4.21435 < log₁₀(4⁷) < 4.21449

この小数部分fは0より大きく0.21449より小さい値です。log₁₀ 4 = 2log₁₀ 2を使い、fとlog₁₀ 2を比較します。log₁₀ 4 > 0.60205なのでlog₁₀ 2 > 0.301025です。よって小数部分はlog₁₀ 2より小さく、最高位は1です。4⁷ = 16384で、10000以上20000未満を直接確認できます。与えられたlog₁₀ 8はこの解法では不要です。

4. 7は正で、次の範囲を得ます。

log₁₀(7⁵) = 5 log₁₀ 7
4.22545 < log₁₀(7⁵) < 4.22555

小数部分は0.22545と0.22555の間です。7 > 2なのでlog₁₀ 7 > log₁₀ 2ですが、それだけでは上側を示せません。与件のlog₁₀ 8 = 3 log₁₀ 2を使えば、log₁₀ 2 > 0.301026…です。したがって小数部分は0以上log₁₀ 2未満で、最高位は1です。7⁵ = 16807なので、10000以上20000未満という判定と一致します。log₁₀ 6の値は不要です。

5. 9とNは正で底10は1より大きいので、対数の増加から9000 ≤ N < 10000です。最高位は9です。右端10000ではlog₁₀ N = 4となり、問題の厳密な不等式に反します。左端9000は等号を満たすため含みます。例えば9000も9999も条件に合い、どちらも先頭は9です。

覚えておくこと

常用対数の小数部分fは、倍率10のf乗に戻して読む。 最高位dはlog₁₀ d ≤ f < log₁₀(d + 1)で決まる。 左端を含み右端を含まない。近似の範囲が境界をまたげば精度を再確認する。

どこで止まったかを見分ける

個別指導では、まず生徒に「整数部分と小数部分が元の数の何に対応するか」を言葉で説明してもらいます。次に、先頭が6の整数を10の累乗で挟み、両端の等号を書けるかを確かめます。最後に近似値を点ではなく範囲として書き、比較が重なった場合に結論を急がないかを見ます。小数部分から倍率への橋を自分で渡れれば、最高位の判定は式と元の整数の両方で確かめられます。