高校数学II 指数不等式の基本—底が1より小さいときの不等号を図と式で確かめる｜武蔵野個別指導塾

底が1/3の不等式で向きが逆になる理由を追い、等号の有無を元の式に戻して解の端点に反映します。

指数を比べる式を解いていると、底が1未満でも不等号をそのまま残し、答えを逆側に書いてしまう場面があります。たとえば底が1/3なら、指数が大きいほど値は小さくなります。数を1つ入れると誤りに気づけますが、試した数だけでは解の範囲全体を決められません。底をそろえ、増減を使い、端点を元の式に戻すところまで順に考えましょう。

何を比べればよいか

指数不等式では、未知数が指数に入った数の大小を調べます。代表的な出方は、定数を累乗に直して指数と数を比べる型、両辺の底をそろえて2つの指数式を比べる型、指数に二次式があり最後に二次不等式を解く型です。最後の型でも指数関数の値を別の文字に置き換える必要はありません。

準備として、正の底の指数法則と一次・二次不等式を使います。変形の途中では、数の大小と指数の大小のどちらを書いているのかを区別します。特に、底をそろえた直後に向きを決めず、底が1より大きいか小さいかを先に書くと、判断の根拠が残ります。

学習範囲には指数関数の変化とグラフが含まれます。ここでは指数どうしの比較を扱い、指数関数の値を置き換えて解く二次不等式には進みません。

底と増減が決める向き

指数関数 y = aのx乗は、a > 0、a ≠ 1のとき実数xに対して定義され、値は常に正です。a > 1ならxが増えると値も増え、0 < a < 1ならxが増えると値は減ります。底が1なら値は常に1なので、指数の大小から値の大小を読み取る方法は使えません。底が正であることと1ではないことを確かめてから比較します。

実数の指数をA、Bとします。a > 1なら、aのA乗 > aのB乗とA > Bは同値です。一方、0 < a < 1なら、aのA乗 > aのB乗とA < Bは同値です。等号つきの不等号も同じ増減に従います。等しい値になるのはA = Bのときですから、等号がある場合は境界を含め、ない場合は含めません。

図1のように、底が1より大きい場合と小さい場合では、指数の増加に対する値の動きが反対です。例えば底が1/3なら、指数0、1、2に対する値は順に1、1/3、1/9です。指数が右へ進むと値が下がることを、この3点でも確認できます。

図1の表は、底の大小を比べる表ではなく、同じ底の中で指数を比べるための表です。底が異なるまま指数だけを見ることはできません。たとえば底を逆数に直す際は、正の底について aの(-x)乗 = 1/(aのx乗) を使い、指数の符号まで変えてから比較します。

また、正の数に逆数を取ると大小は逆になりますが、これは「底が1未満なら必ず記号を逆に書く」という操作の理由を隠してしまいがちです。指数関数自体が減少するという事実に戻れば、左右の指数がどんな式でも判断できます。元の不等号が「≤」の場合には、大小の向きは逆になっても等号は残ります。

基本例題：境界を含むか確かめる

次の不等式を解き、解を不等式の形で表してください。

(1/3)の(2x-1)乗 ≤ 1/27

底1/3は正で1未満です。右辺も同じ底で表すと、1/27 = (1/3)³です。そこで、指数関数が減少することを使います。

(1/3)の(2x-1)乗 ≤ (1/3)³
2x - 1 ≥ 3
2x ≥ 4
x ≥ 2

2行目で向きが逆になり、等号は残ります。以後は一次不等式を解いています。最後に正の2で割ったので、この段階では不等号の向きは変わりません。指数を比べる段階での向きの反転と、負の数で割るときの反転は別々に考えます。

図2のように、境界x = 2では両辺がともに1/27で等しくなります。x = 3なら左辺は1/243で右辺より小さく、x = 1なら左辺は1/3で右辺より大きくなります。この3点は端点とその両側の確認です。範囲全体については、上の同値変形と減少性によって説明しています。

図2で端点を塗ったのは元の式に等号があるためです。もし元の記号が「<」なら境界で等しくなるx = 2は入りません。図の端点を白丸に変え、答えはx > 2です。等号の違いは境界値を実際に元の式へ入れると見分けられます。

標準例題：異なる底をそろえる

次の不等式を解き、解を不等式の形で表してください。

9の(x+1)乗 > (1/3)の(x-2)乗

左辺の9と右辺の1/3はともに正で、どちらも3の累乗です。共通の底を3にすれば1より大きい底で比べられます。指数法則を用いて、両辺を次のように直します。

9の(x+1)乗 > (1/3)の(x-2)乗
3の(2x+2)乗 > 3の(-x+2)乗
2x + 2 > -x + 2
3x > 0
x > 0

底3は1より大きいので、指数どうしの不等号は元と同じ向きです。境界x = 0では元の両辺が9となり、等号を含まないので解には入りません。x = 1では左辺81、右辺3で成立し、x = -1では左辺1、右辺27で成立しません。端点と両側の確認は、求めた方向と一致します。

別の方法として底を1/3にそろえることもできます。左辺は(1/3)の(-2x-2)乗です。この底は1未満なので、比較は -2x − 2 < x − 2 となり、同じx > 0に至ります。底の選択は自由ですが、指数を書き換える操作と、増減から向きを決める操作を混ぜないことが重要です。

負の指数に直す際に、定数項を落とすと別の不等式になります。括弧全体に負号がかかることを見てから展開すると、-2(x+1) = -2x − 2です。どちらの底を選んでも、最後に元の両辺の境界値が一致するかを確認できます。

発展例題：指数に二次式があるとき

次の不等式を解き、解を不等式の形で表してください。

(1/2)の(x²-3x)乗 < 1/16

底1/2は正で1未満、右辺は(1/2)⁴です。指数関数が減少するので、左辺の値が小さい条件は左の指数が大きい条件です。

(1/2)の(x²-3x)乗 < (1/2)⁴
x² - 3x > 4
x² - 3x - 4 > 0
(x - 4)(x + 1) > 0
x < -1 または x > 4

最後は積が正になる範囲です。2つの因数がともに負になるx < -1と、ともに正になるx > 4を合わせます。境界の-1と4では積が0なので、厳密な不等号の解に入りません。二次式の値が正になる範囲が2つに分かれることも、指数の比較とは別に判断します。

元の式に戻すと、x = -1とx = 4のどちらでも指数は4で、両辺は1/16です。x = -2では指数10で左辺は1/1024、x = 0では指数0で左辺は1、x = 5では指数10で左辺は1/1024です。各境界と、それで分けた3区間の代表点で、元の条件と答えが一致します。

右辺を16の負の1乗と見ても同じですが、指数4に直してから比較すると境界の二次方程式が見えます。正負を調べる区間の順序を取り違えたときは、因数の符号を各区間で確認してください。代表点の計算は符号表の照合に役立ちますが、代表点の間も同じ符号となる理由は、因数が零になる点で区切ったことにあります。

誤答から向きを立て直す

次の不等式を考えます。

(1/4)の(x+1)乗 > 1/16

右辺を正しく(1/4)²に直しても、その後に誤ってx + 1 > 2と書くと、答えをx > 1としてしまいます。しかしx = 2を元の式に入れると、左辺は1/64で、1/16より大きくありません。図3のように、指数が2より大きい側では、値が1/16より小さくなるのです。

原因は、底が1より大きい場合の増加を、底が1/4の場合にも当てはめたことです。底の範囲を確認して比較し直します。

(1/4)の(x+1)乗 > (1/4)²
x + 1 < 2
x < 1

図3の正しい側でx = 0を試すと、1/4 > 1/16です。境界x = 1では両辺が等しいため含めません。両側の値を確かめることに加え、底1/4の減少性を使えば、その側全体が解であるといえます。

もう1つの誤りは、指数比較の向きを正しく変えた後、負の係数で割るときの反転を忘れることです。例えば指数の比較で -2x ≥ 6 が出たなら、両辺を-2で割ってx ≤ -3です。指数関数の減少による反転と、一次不等式の計算による反転をそれぞれの行に書くと、どちらかを落としにくくなります。

解の範囲を読む順序

不等号が向きを変える場面をまとめるときは、記号の見た目よりも、左右の量の意味に注目します。底が1未満で左の値が右より小さければ、左の指数は右より大きくなければなりません。左右を入れ替えて書いた場合には、不等号も同時に入れ替わります。答案では途中の式を省かず、どちら側の指数を比べたのか追えるようにします。

解が2つの範囲に分かれたときは、その間の範囲を誤って含めないよう「または」で結びます。等号が許される問題でも、指数を比べる式が等しくなる点だけが境界に入ります。境界以外の代表点は、含むかどうかではなく解の方向を調べるために使います。両者の役割を分ければ、数直線から不等式の形へ戻すときも迷いにくくなります。

練習問題

次の5問を解き、いずれも解を不等式の形で表してください。境界を含むかも答えに反映します。

1. 5の(x-1)乗 ≥ 125
2. (1/5)の(x+2)乗 < 1/25
3. 8の(x-1)乗 ≤ (1/2)の(x+1)乗
4. (1/7)の(2-3x)乗 ≥ 7
5. (1/3)の(x²-x)乗 ≤ 1/81

解答と解き方

1. 底5は1より大きく、125 = 5³です。増加するので指数の向きは保たれます。

5の(x-1)乗 ≥ 5³
x - 1 ≥ 3
x ≥ 4

x = 4では両辺が125ですから端点を含みます。x = 5では左辺625、x = 3では25であり、境界の両側の向きも合います。

2. 底1/5は正で1未満、1/25 = (1/5)²です。減少するので指数の向きを反転します。

(1/5)の(x+2)乗 < (1/5)²
x + 2 > 2
x > 0

x = 0では両辺が1/25で、等号がないので含みません。x = 1では左辺1/125、x = -1では1/5となり、元の大小と解の向きが一致します。

3. 底を2にそろえます。2は1より大きく、指数の比較では向きが変わりません。

2の(3x-3)乗 ≤ 2の(-x-1)乗
3x - 3 ≤ -x - 1
4x ≤ 2
x ≤ 1/2

境界x = 1/2では元の両辺がともに1/(2√2)です。x = 0では左辺1/8、右辺1/2で成立し、x = 1では左辺1、右辺1/4で成立しません。元の2つの底へ戻して確認します。

4. 7 = (1/7)の(-1)乗です。底1/7は1未満なので、指数の比較で向きが反転します。その後、負の数で割るときにも向きを反転します。

(1/7)の(2-3x)乗 ≥ (1/7)の(-1)乗
2 - 3x ≤ -1
-3x ≤ -3
x ≥ 1

x = 1では両辺が7で、等号を含みます。x = 2では左辺2401で成立し、x = 0では左辺1/49で成立しません。2回の向きの変化がそれぞれ必要です。

5. 1/81 = (1/3)⁴であり、底1/3は1未満です。まず指数を比較し、それから二次不等式を解きます。

(1/3)の(x²-x)乗 ≤ (1/3)⁴
x² - x ≥ 4
x² - x - 4 ≥ 0
(x - (1-√17)/2)(x - (1+√17)/2) ≥ 0
x ≤ (1-√17)/2 または x ≥ (1+√17)/2

2つの境界では指数が4となり、元の両辺は1/81で等しいので含みます。境界の外側のx = -3とx = 4では指数が12、間のx = 0では指数が0です。左辺はそれぞれ1/531441、1であり、元の不等式と区間の判定が一致します。平方根を近似して端点を決める必要はありません。

要点

底をそろえ、正で1でないことを確かめます。 底が1より大きければ指数の大小は同じ向きです。 底が1未満なら指数の大小は逆向きです。 等号と端点は元の不等式へ戻して確認します。

途中の判断を言葉にする

式を見てすぐ答えを書けても、底を変えたときの指数や等号の扱いに迷いが残ることがあります。個別指導では、まず「どの底にそろえたか」「その底は1より大きいか」を本人の言葉で確認します。続いて境界と両側の数を元の式に代入し、減少性による区間全体の説明と照らします。

途中で誤った範囲を書いた場合は、最初に食い違った行へ戻ります。底をそろえる計算、指数の比較、一次または二次不等式の処理を分けて見れば、直すべき判断が見えてきます。指数不等式の答えは、向きと端点の両方で定まります。