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高校数学II 累乗根と指数の大小—共通の底や共通の指数に直して数の順序を決める｜武蔵野個別指導塾
底が1より小さい累乗と次数の違う根を、逆数や共通の整数乗で比較し、等しい数も残して順序を決めます。
よくあるのは、高2が指数が大きければ常に値も大きいと考え、底を見ずに不等号を書く場面です。底が1より大きいときはその判断が合いますが、0と1の間なら逆になります。根号が混ざると、指数の分母と根の次数も気になります。まず数が正であることを確認し、比べやすい形に直してから順序を決めましょう。
比較の入り口を選ぶ
出方は大きく3つあります。同じ底の累乗なら、底が1より大きいか小さいかを見て指数を比べます。異なる底でも指数が同じなら、正の指数では底の順序が保たれ、負の指数では逆になります。根の次数が違う場合には、共通の正の整数乗をとって根号を外す方法が役立ちます。
どの方法でも、変形した結果から元の大小へ戻れる理由を添えます。たとえば2つの正の数を同じ正の整数乗にすると、大小は保たれます。逆に、どちらかが負かもしれない数を偶数乗すると符号の情報が消えます。計算が合っていても、戻るときの条件がなければ比較は完成しません。
学習範囲として、有理数への指数の拡張と指数法則、指数関数の変化とグラフを用います。ここでは正の数の大小に絞り、指数方程式を解く手順には立ち入りません。
正の数で順序がどう動くか
正の数aと正の整数nについて、aの1/n乗はn乗してaになる正の数です。正の整数nと整数mに対し、aのm/n乗はその正のn乗根のm乗で定めます。負の指数も逆数として意味を持ち、正の底の有理数乗は正です。したがって以後の根号や累乗は、比較する前に正の数だと確認できます。
a>1なら、aの有理数乗は指数が大きいほど大きくなります。0<a<1なら指数が大きいほど小さくなります。後者はa=1/b、b>1とおけば、aのr乗はbのr乗の逆数であることからも納得できます。正の数の逆数を取ると、大小が反対になるためです。a=1なら指数が何であっても値は1で、大小は生まれません。
図1のように、指数の順序をそのまま写せるかは底の位置で決まります。図のr<sは有理数を表します。底が正という条件も、1との比較と一緒に書き留めておきます。
図1の下段で向きが反対になるのは、指数そのものが負だからではありません。指数が正でも負でも、底が0と1の間なら同じ規則です。指数の符号と、底が1より大きいかという判断を別々に行うと混乱を減らせます。
別の道具は共通の累乗です。0<u<vなら、正の整数Nに対してuのN乗<vのN乗です。例えば差を因数分解すると、vのN乗からuのN乗を引いたものは、v-uと正の項の和との積なので正です。逆に、正のu、vのN乗の大小がわかれば元の大小も同じ向きです。正の数の範囲では大小を逆転する可能性も、同じ累乗から異なる正の元が出る可能性もありません。
共通の指数を使う場合も注意します。0<u<vで正の有理数rならuのr乗<vのr乗です。rが負なら正の指数の累乗を比べてから逆数を取るため、向きは逆になります。r=0なら両方1です。同じ指数にそろえられても、その指数の符号を省略してはいけません。
比較方法を選ぶときは、まず式の見た目を調べます。底が互いに累乗の関係なら、共通の底に直すと指数だけを比べられます。底をそろえるための変形が複雑になる場合は、根の次数の公倍数を取り、整数や分数の比較に持ち込む方が短いこともあります。たとえば平方根と立方根の両方を6乗すれば、根号はどちらも外れます。
ただし、公倍数の累乗を取る方法は大きな整数を生むことがあります。そのときは両方を1や2などの数と比べ、異なる側にあるかを先に見る手もあります。同じ側にあると判明しただけでは、互いの順序はまだ決まりません。比較できなかった組には別の方法を適用する、という判断が必要です。等しい可能性も残るので、計算の途中から不等号を決めつけず、最後に等号を含めて整理します。
基本例題：逆数にして底をそろえる
次の2数の大小を不等号で答えてください。
A = (1/4)の2/3乗、B = (1/4)の5/6乗
底1/4は正で1より小さく、2数は正です。指数の分母をそろえて比較すると、次のようになります。
2/3 = 4/6
4/6 < 5/6底が1より小さいため、指数の順序を逆にしてA>Bと結論します。図2では指数が右へ進むと値が小さくなる対応を示しています。点の高さの正確な縮尺を比較に使うのではなく、矢印の向きと2つの式の対応を読んでください。
同じ結果を底4でも確かめます。4は1より大きいので、次の変形では指数の順序がそのまま値の順序になります。
A = 4の(-2/3)乗
B = 4の(-5/6)乗
-2/3 = -4/6
-4/6 > -5/6
A > B指数がともに負でも、-4/6は-5/6より大きい数です。逆数に直す際に指数の符号が変わったことまで追えば、元の2数の順序と一致します。比較対象の式を近似値に置き換える必要はありません。
標準例題：根の次数をそろえる
正の数C = 5の平方根、D = 3の立方根、E = 2の4乗根を小さい順に並べ、不等号で答えてください。ここで各根は正の根を表します。
平方根、立方根、4乗根を一度に外すため、次数2、3、4の最小公倍数12を使います。3数は正なので、12乗後の順序から元の順序に戻せます。指数法則を使う底はいずれも正です。
Cの12乗 = 5の6乗 = 15625
Dの12乗 = 3の4乗 = 81
Eの12乗 = 2の3乗 = 8
8 < 81 < 15625
E < D < C元の形では、Eは2の4乗根、Dは3の立方根、Cは5の平方根です。12乗した整数の比較は厳密で、根の近似値の丸めに左右されません。3つを全部同じ乗数で処理することで、得られた順序を一度に元へ戻せます。
別の見方もあります。Eは2より小さく、Dも2より小さいので、2を境に置くだけではこの2つの順序が決まりません。そこでEとDだけを12乗して8と81を比べます。一方、Cは2より大きいことが、両方を2乗した5>4からわかります。境目を利用する方法でも、境目の同じ側に残った組をさらに比較する必要があります。
発展例題：共通の指数と逆数を組み合わせる
P = (9/16)の(-3/4)乗、Q = (8/9)の(-3/4)乗、R = (4/3)の3/2乗を小さい順に不等号で並べてください。
3つの底は正です。PとQは共通の負の指数を持ちます。底の比較を分数のまま行います。
9/16 = 81/144
8/9 = 128/144
9/16 < 8/9正の指数3/4なら底の順序が保たれますが、指定された指数は負です。逆数を取るのでP>Qです。次にPとRを同じ底へ直します。
9/16 = (3/4)²
P = (3/4)の(-3/2)乗
P = (4/3)の3/2乗
P = Rしたがって答えはQ<P=Rです。等号を含む順序を求められたとき、3数を無理にすべて異なる値として並べてはいけません。PとRは指数法則により同じ数です。
元の式に戻る確認として、PとRの4乗を考えます。Pの4乗は(16/9)³、Rの4乗は(4/3)⁶です。どちらも4096/729となり、PとRが正であることと合わせて等しいと確認できます。QについてもQの4乗は(9/8)³ = 729/512です。729/512 < 4096/729は、正の分母を払うと531441 < 2097152となるので、元のQ<Pを確かめられます。等号の検証と大小の検証を分けると、見落としに気づきやすくなります。
間違えた順序を戻す
基本例題で「2/3 < 5/6だからA<B」と答えたとします。指数の大小は正しいのですが、底1/4を見ずに、底が1より大きいときの規則を使った点が原因です。底が0と1の間にあることを先に書き、A>Bへ修正します。
図3のように、指数を左から小さい順に並べた後、値の順序が逆になることを矢印で確かめます。別の失敗は、正でないかもしれない数を偶数乗して元の大小まで決めることです。例えば-3<2ですが、それぞれの2乗は9>4です。偶数乗後の比較を戻す前には、対象が両方正かを確認します。
さらに、共通の指数が負なのに底の順序を保つ誤りもあります。正の指数に直して比べ、その結果の逆数を取るという2段階を書けば、向きを変える場所が明確です。等しい場合には不等号ではなく等号を残し、3数の並べ替えでも重複する値を消さずに示しましょう。
自分で試す5問
各問の数は正の数です。根は正の根を表します。順序は不等号や等号で答えてください。
- 7の3/5乗と7の4/5乗を比べてください。
- (1/5)の1/3乗と(1/5)の2/3乗を比べてください。
- 11の平方根と6の立方根を比べてください。
- (2/3)の(-1/2)乗と(3/5)の(-1/2)乗を比べてください。
- 16の3/4乗、8の2/3乗、4の3/2乗を小さい順に並べてください。
解答と道筋
- 底7は1より大きく、3/5 < 4/5です。指数の順序が保たれます。
7の3/5乗 < 7の4/5乗元の2数をともに5乗すると、左は7³、右は7⁴です。343<2401なので、元の比較と合います。どちらも正であるため、この確認からも大小を戻せます。
- 底1/5は正で1より小さく、1/3 < 2/3です。指数が小さい方の値が大きくなります。
(1/5)の1/3乗 > (1/5)の2/3乗両方を3乗すると左は1/5、右は1/25であり、1/5>1/25です。元の根はともに正なので、3乗で調べた向きが元の向きです。
- 次数2と3の最小公倍数6を使います。両方正なので6乗後の順序を元に戻せます。
(11の平方根)の6乗 = 11³ = 1331
(6の立方根)の6乗 = 6² = 36
1331 > 36
11の平方根 > 6の立方根6乗を使う前に正の根という条件を拾うことが要点です。元の2つの根をそれぞれ6乗した値が1331と36であることも、比較の確認になっています。
- 共通指数は-1/2です。底は通分して比べます。
2/3 = 10/15
3/5 = 9/15
2/3 > 3/5
(2/3)の(-1/2)乗 < (3/5)の(-1/2)乗両方を2乗すると、それぞれ3/2と5/3です。9/6<10/6なので結果を元の式でも確かめられます。負の指数によって底の順序から向きが逆になりました。
- 正の底を2にそろえます。
16の3/4乗 = (2⁴)の3/4乗 = 2³ = 8
8の2/3乗 = (2³)の2/3乗 = 2² = 4
4の3/2乗 = (2²)の3/2乗 = 2³ = 8
4 < 8 = 8よって8の2/3乗 < 16の3/4乗 = 4の3/2乗です。元の累乗の値をそれぞれ求め直すと4、8、8となり、等しい2数も残っています。
5問を解いた後は、答えだけでなく選んだ方法も振り返ります。1と2では同じ指数の順序でも底の位置が違い、結果の向きが変わります。3では共通の累乗、4では負の指数、5では等号が判断の中心でした。それぞれ異なる条件を先に書けているかを見ると、次の比較でも適切な方法を選びやすくなります。
手元に残す要点
底が1より大きければ指数と値の順序は同じです。 底が0と1の間なら指数と値の順序は逆です。 正の数は同じ正の整数乗で大小を保ちます。 共通の指数が負なら、底の順序を逆にします。 等しい値と元の正の条件を最後に確かめます。
説明のどこで止まるか
自分の解答で不等号を書く直前に、底と1の大小を口に出せるか確かめてみてください。向きを誤った場合も、指数の通分が誤ったのか、底による向きの判断が誤ったのかで直す場所は違います。根を累乗して比べたときには、元の数が正であることを使って戻れたかを見ます。
個別指導では、まず本人に選んだ共通の底や乗数とその理由を説明してもらい、途中の式と元の数を対応させます。等号を含む例では、同じ値になった2つの式を元に戻して確かめるところまで見届けます。大小の向きは、変形の条件をたどれば自分で点検できます。
読んで終わりにするか、ここから変えるか。
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