高校数学II 有理数指数の式変形—底をそろえる方法と指数をまとめる方法を使い分ける｜武蔵野個別指導塾

括弧の外の指数を各因数に掛け、底をそろえる判断を例題で読み解く指数式です。

よくあるのは、高2が括弧の外の指数を一部の因数にしか掛けない場面です。括弧の中に積と商が並ぶと、最初に目についた累乗だけを処理して、分母をそのまま残してしまうことがあります。どこまでが累乗される範囲なのかを囲んでから、各因数に同じ指数を掛けてみましょう。途中の指数を分数のまま残しても、最後に根号へ戻せば計算結果を別の形から確かめられます。

どこから整理するかを選ぶ

出方は大きく3つあります。文字が同じ底の積や商なら、指数の足し算と引き算を先に行う型です。数の底が異なって見えても、同じ数の累乗に直せるなら、底をそろえてから指数をまとめる型があります。さらに、積や商を含む括弧に指数が付く型では、括弧の外の指数を各因数に掛ける方法と、内部を先にまとめる方法を比べられます。

いずれも答えが同じになるのは、使う底が正で、途中の分母が零にならないときです。分数の足し算では分母をそろえ、割り算では引く指数全体に注意します。式を短くすることだけを急がず、どの範囲に法則を使ったかが追える行を残しましょう。ここで扱うのは有理数指数の計算で、指数を含む方程式を解くことは扱いません。

正の底と括弧の範囲を先に見る

a>0、b>0、rとsが有理数のとき、次の指数法則が成り立ちます。商の分母も正なので零にはなりません。

aʳ・aˢ = aの(r+s)乗
aʳ / aˢ = aの(r-s)乗
(aʳ)ˢ = aの(rs)乗
(ab)ʳ = aʳbʳ
(a/b)ʳ = aʳ/bʳ

最後の2つを逆向きに使えば、同じ指数を持つ正の底の積や商を、1つの括弧にまとめられます。たとえば正の数の平方根どうしの積をまとめることも、この考え方と対応します。逆に、和にはこの積の法則をそのまま使えません。括弧内が積か和かを見極めることが、最初の分岐です。

図1のように、括弧の外にある指数は、分子の因数と分母の因数の両方へ届きます。分母へ移す際に符号まで変えて書くなら、引き算と重複させないようにします。分母に置いたまま指数を掛け、その後に商の法則で引く手順は、符号を見失いにくい方法です。

図1の文字は正とします。たとえば括弧の中がaの2乗とbの3乗の商で、外側が1/2乗なら、分子の指数は1、分母の指数は3/2です。2と3を同じ1/2倍にするのであり、先頭の2だけに掛けるのではありません。

正の数aと正の整数nについて、aの1/n乗はn乗するとaになる正の数です。aのm/n乗はそのm乗と表せ、負の指数なら逆数にします。計算後に根号で表すときは、この対応を逆に使います。底の正という条件があるので、偶数根を扱う際にも符号が曖昧になりません。

底をそろえるか、指数をまとめるかは見た目で判断できます。8と4なら、ともに2の累乗なので底を2にできます。一方、同じ指数が付いた正の数の積なら、底を掛け合わせる方が短い場合があります。どちらが早いかわからなければ、一方を主な解法にし、もう一方を確認に使えます。

基本例題：括弧の外を配る

a>0、b>0とします。次の式を、aとbの指数をそれぞれ1つにまとめた形で表し、根号を使った形でも表してください。

(a²/b³)の1/2乗 ・ b²/aの1/2乗

図2のように、最初の括弧を分子と分母に分けます。a、bは正なので、有理数指数の法則を各部分に適用できます。

(a²/b³)の1/2乗 ・ b²/aの1/2乗
= (aの(2・1/2)乗 / bの(3・1/2)乗) ・ b²/aの1/2乗
= (a / bの3/2乗) ・ (b² / aの1/2乗)
= aの(1-1/2)乗 ・ bの(2-3/2)乗
= aの1/2乗 ・ bの1/2乗
= √(ab)

1行目から2行目では、2と3の両方に1/2を掛けました。3行目から4行目では、同じ底について分子の指数から分母の指数を引いています。bの指数は3/2から2を引くのではなく、分子の2から分母の3/2を引くので1/2です。最後はaとbが正であることを使って平方根をまとめています。

検算には別の順序を使います。最初に括弧の中と外を合わせてから指数を整理すると、aの指数は1/2、bの指数も2-3/2です。またa=9、b=4を元の式に代入すると、最初の括弧の1/2乗は9/8、残る因数は16/3です。その積は6で、答えの√(9・4)も6です。代入は計算間違いを見つける助けになりますが、任意の正のa、bでの等式は上の指数法則による変形で示しています。

標準例題：底をそろえてからまとめる

次の値を根号を含む正確な形で求めてください。

(8の2/3乗 ・ 4の1/2乗) / 2の3/2乗

8、4、2は正で、すべて2の累乗です。底を2にそろえると、積と商を指数の加減で処理できます。

(8の2/3乗 ・ 4の1/2乗) / 2の3/2乗
= (2³の2/3乗 ・ 2²の1/2乗) / 2の3/2乗
= (2² ・ 2¹) / 2の3/2乗
= 2の(2+1-3/2)乗
= 2の3/2乗
= 2√2

答えは2√2です。指数の分母が残るときは、整数になると決めつけず、正確な形を確認します。

別の順序でも見てみましょう。8の2/3乗は、8の正の3乗根である2を2乗して4です。4の1/2乗は2で、2の3/2乗は2√2です。したがって元の値は8/(2√2)であり、分母を有理化すると2√2になります。底をそろえる方法と根号に直す方法は、途中の見た目が違っても同じ値に着地します。

発展例題：2つの道筋を照合する

x>0、y>0とします。次の式をxとyの指数をそれぞれ1つにまとめ、さらに根号を用いて表してください。

((xの3/2乗 ・ yの-1/2乗) / (xの1/2乗 ・ yの3/2乗))の-2/3乗

括弧の中を先に整理すると、底ごとに引き算を1回ずつ行えます。xとyは正なので、括弧内も正であり、負の分数指数を適用できます。

((xの3/2乗 ・ yの-1/2乗) / (xの1/2乗 ・ yの3/2乗))の-2/3乗
= (xの(3/2-1/2)乗 ・ yの(-1/2-3/2)乗)の-2/3乗
= (x ・ y⁻²)の-2/3乗
= xの-2/3乗 ・ yの4/3乗
= yの4/3乗 / xの2/3乗
= ³√(y⁴/x²)

yの指数では、分子の-1/2から分母の3/2を引きます。外側の-2/3を掛けると、-2が4/3へ変わります。最後の根号は、正のy⁴/x²の3乗根です。分母が零にならないことはx>0から保証されています。

先に外側の指数を配る方法もあります。分子のxとyの指数はそれぞれ-1、1/3、分母では-1/3、-1です。したがって商を整理するとxの指数は-1-(-1/3)=-2/3、yは1/3-(-1)=4/3です。分母の負の指数を引くときに符号を落としやすいため、括弧の中を先にまとめる方がこの式では見通しがよいでしょう。

元の式にx=8、y=27を入れて確かめます。括弧の中はx/y²=8/729です。その-2/3乗は、3乗根が2/9であることから(2/9)⁻²=81/4です。答えのyの4/3乗 / xの2/3乗も81/4となり、元の括弧まで戻して一致します。

誤答を直す：指数が届く先を数える

基本例題の最初の括弧を、誤ってa/b³とする場合を考えます。a²に1/2を掛けてaとした一方、分母のb³はそのままです。この段階ですでに元の式とは異なります。分子と分母のどちらも括弧の中に入っているからです。

図3のように正しくはbの指数にも1/2を掛け、分母をbの3/2乗とします。分数の指数は指数の掛け算であり、3と1/2を足す操作ではありません。

具体的にa=9、b=4なら、元の括弧は81/64で、その1/2乗は9/8です。誤ったa/b³は9/64なので一致しません。正しいa/bの3/2乗は9/8です。元の括弧の値から確認すると、後続の式がたまたま簡単になっても最初の誤りを見逃さずに済みます。

もう1つの失敗は、積に使う法則を和へ広げることです。正の数でも(1+9)の1/2乗は√10であり、1の1/2乗と9の1/2乗の和4ではありません。積と商なら各因数へ指数を配れますが、足し算があるときは同じ操作をしないと区別します。底が負のときも、ここで示した正の底の法則を条件なしに適用できません。

手を動かす5問

各問題は、底に文字がある場合、その文字を正とします。指数は有理数です。

1. p>0として、(p⁶)の2/3乗 / pの3/2乗を、pの累乗と根号の両方で表してください。
2. q>0、r>0として、(q⁴/r²)の3/2乗を、qとrの整数指数の商で表してください。
3. (27の2/3乗 ・ 9の-1/2乗) / 3の-2乗を整数で求めてください。
4. u>0、v>0として、(uの1/3乗 ・ vの2/3乗)の3乗 / (u²v)を、uとvの整数指数を用いた商で表してください。
5. s>0、t>0として、((sの5/2乗 / tの1/2乗) / (sの1/2乗 ・ tの3/2乗))の-1/2乗を、sとtの整数指数を用いた商で表してください。

解答と確かめ

1. 累乗の指数を掛けてから、商の指数を引きます。

(p⁶)の2/3乗 / pの3/2乗
= p⁴ / pの3/2乗
= pの(4-3/2)乗
= pの5/2乗
= p²√p

p=4では元の式は4⁴/4の3/2乗=256/8=32です。答えの4²√4も32です。分母が正なので、この確認でも割り算は可能です。

2. 分子と分母の両方に3/2を掛けます。

(q⁴/r²)の3/2乗
= qの(4・3/2)乗 / rの(2・3/2)乗
= q⁶/r³

q=2、r=4なら元の括弧は16/16=1で、その3/2乗も1です。答えは64/64=1となります。分母の指数を2のままにした場合は一致しません。

3. 底を3にそろえます。各底が正なので、負の指数も逆数として扱えます。

(27の2/3乗 ・ 9の-1/2乗) / 3の-2乗
= (3² ・ 3⁻¹) / 3⁻²
= 3の(2-1-(-2))乗
= 3³
= 27

元の数に戻すと、27の2/3乗は9、9の-1/2乗は1/3、3の-2乗は1/9です。したがって9・(1/3)を1/9で割って27です。分母の負の指数を引く操作が加算になることも確かめられます。

4. 先に括弧の指数を配り、それから商を整理します。

(uの1/3乗 ・ vの2/3乗)の3乗 / (u²v)
= (u¹v²) / (u²v)
= u⁻¹v
= v/u

u=8、v=8では、元の括弧は2・4=8です。その3乗512をu²v=512で割ると1で、答えのv/uも1です。指数の和を先に作るのでなく、別の底をそれぞれ処理します。

5. 括弧内を整理してから外側の指数を掛けます。

((sの5/2乗 / tの1/2乗) / (sの1/2乗 ・ tの3/2乗))の-1/2乗
= (sの(5/2-1/2)乗 ・ tの(-1/2-3/2)乗)の-1/2乗
= (s²/t²)の-1/2乗
= s⁻¹t
= t/s

s=4、t=9なら、元の分子は32/3、分母は2・27=54で、括弧全体は16/81です。その-1/2乗は9/4で、答えのt/sと一致します。正の文字という条件があるので平方根を取った後に符号を付け足す必要はありません。

ここを持ち帰る

正の底を確認し、括弧の外の指数を分子と分母の各因数に掛けます。
同じ底の積は指数を足し、商は分子から分母を引きます。
数の底をそろえる道と、同じ指数をまとめる道を比べます。
最後に根号や元の式に戻して、符号と値を点検します。

式の途中で立ち止まる場所

個別指導では、まず括弧が覆う範囲を本人に指してもらい、分子と分母の指数をそれぞれどう変えるかを言葉にしてもらいます。分母の負の指数で止まる場合は、逆数を取る操作と指数を引く操作を別行に分け、二重に符号を変えていないか確かめます。底をそろえる方法と括弧を先に整理する方法の両方を比べられると、式の形に応じて手順を選べます。指数が届く範囲を見極めることが、確かな式変形につながります。