高校数学II 定積分で表された関数—上端の変数と積分の変数を分けて微分する｜武蔵野個別指導塾

積分変数と上端を区別し、初期値と導関数から増減を読み取る手順を通して定積分関数を読み解きます。

よくあるのは、積分の中の t と上端の x が同じ役割に見えて、途中で両方を同時に動かしてしまう場面です。上端を決めれば積分値が1つ決まり、上端を変えればその値も変わります。中の文字は計算のための目印です。どの文字が外に残るかを確かめると、関数の式も増減も落ち着いて追えます。

上端が動く式から何を読むか

問題には、積分を計算して F(x) を求める型と、F′(x) を使って増減や最大値を調べる型があります。また、F(x) の値が指定されたときに上端を求める型もあります。いずれも最初に下端が固定された数であることと、上端が x であることを見ます。

下端と上端が一致すれば、積分値は0です。この事実は計算前に得られる条件です。導関数だけから関数を求めるときは定数が残りますが、この条件を使えば定数を決められます。逆に、計算した式に下端を代入して0にならなければ、原始関数の下端への代入や符号を点検します。

増減を調べるときは F(x) 自体の正負と F′(x) の正負を混同しないことが大切です。値が負でも傾きが正なら関数は増加します。グラフが横軸の下にあるかどうかと、右へ進むと上がるかどうかは別の情報です。

積分の中と外の文字

多項式 f(t) に対し、F(x) = ∫[a→x] f(t) dt と置きます。a は固定された数です。f は連続なので、原始関数を G とすると、定積分の定義から次が成り立ちます。

F(x) = G(x) - G(a)
F(a) = G(a) - G(a) = 0
F′(x) = G′(x) = f(x)

最後の式では G(a) が x によらない定数なので微分すると0です。下端より上端が小さい場合も、向きのある定積分として同じ式が成り立ちます。積分値を常に面積と考えると、この場合や被積分関数が負の場合の符号を取り違えます。

図1のように、t は積分区間の中で使う文字で、x は区間の終点を表します。t を別の文字に替えても、同じ多項式と同じ端点なら積分値は変わりません。たとえば ∫[a→x] f(u) du も同じ F(x) です。一方、計算後に残る x は関数の入力なので、勝手に消せません。

図1の矢印は、上端を選ぶと積分値が決まる流れを示しています。微分の公式は、積分記号を機械的に消す合図として覚えるより、G(x) − G(a) の微分として確かめると使う条件が明確です。ここでは被積分関数は多項式で、下端は固定されています。両端が動く式や多項式以外への拡張は扱いません。

基本例題：式と傾きを別々に求める

F(x) = ∫[1→x] (2t + 3) dt とします。F(x) と F′(x) を多項式で求め、F(1) と F′(1) を整数で答えます。

被積分関数は連続な一次式です。原始関数を t² + 3t とし、下端の値を括弧ごと引きます。

F(x) = [t² + 3t] の t = 1 から t = x までの差
F(x) = (x² + 3x) - (1² + 3・1)
F(x) = x² + 3x - 4
F′(x) = 2x + 3
F(1) = 1 + 3 - 4 = 0
F′(1) = 2 + 3 = 5

図2のように、下端と上端がともに1のとき値は0ですが、そこでの傾きは5です。積分値と傾きは異なる量なので、一方が0でも他方が0とは限りません。公式から直接 F′(x) = 2x + 3 としても、得た F(x) を微分した結果と一致します。

図2は、同じ入力1について関数値と傾きを左右に並べています。右の F′(1) は5、左の F(1) は0で、それぞれ別の式から求まります。これらを別々に記すと、下端で0になるという条件を傾きに誤って適用せずに済みます。また x = 0 では F(0) = -4 です。実際に ∫[1→0] (2t + 3) dt は、区間の向きが逆なので負となり、計算結果と整合します。

標準例題：符号から増減を決める

F(x) = ∫[0→x] (t² − 4t + 3) dt とします。F の増減区間と極値を求め、極値は分数で答えます。

被積分関数は多項式なので連続です。まず積分してから微分する方法と、微分の公式を用いる方法を照合します。

F(x) = [t³/3 - 2t² + 3t] の t = 0 から t = x までの差
F(x) = x³/3 - 2x² + 3x
F′(x) = x² - 4x + 3
F′(x) = (x - 1)(x - 3)

x < 1 では2因子が負、1 < x < 3 では符号が異なり、x > 3 では2因子が正です。したがって F は x < 1 と x > 3 で増加し、1 < x < 3 で減少します。1 と3で傾きは0です。符号が正から負に変わる x = 1 で極大、負から正に変わる x = 3 で極小となります。

F(1) = 1/3 - 2 + 3
F(1) = 4/3
F(3) = 27/3 - 2・9 + 9
F(3) = 0

極大値は 4/3、極小値は0です。下端である x = 0 の値も0ですが、F′(0) = 3 なのでそこは極値を取る点ではありません。F(3) = 0 であることも、積分式に3を戻して各項を積分すると確認できます。積分値が0という事実は、途中の正の寄与と負の寄与の和が0という意味であり、被積分関数が区間内で常に0という意味ではありません。

発展例題：積分値の条件を上端に戻す

F(x) = ∫[2→x] (2t − 2) dt とします。-1 ≦ x ≦ 4 で F(x) = 3 となる x をすべて求め、整数で答えます。また、この区間での最小値とそれを取る x を整数で求めます。

一次式は連続です。原始関数を使い、固定された下端の値を先に計算します。

F(x) = (x² - 2x) - (2² - 2・2)
F(x) = x² - 2x
F(x) = (x - 1)² - 1

求める値の条件を入れます。

(x - 1)² - 1 = 3
(x - 1)² = 4
x - 1 = 2 または x - 1 = -2
x = 3 または x = -1

両方とも指定区間に含まれます。特に -1 は左端なので、閉区間を示す不等号の下の線を見落とさないようにします。元の積分に戻すと、原始関数の差は x = 3 で 9 − 6 = 3、x = -1 で 1 + 2 = 3 です。向きが逆の後者も条件を満たします。

平方完成した式では平方が0以上なので、最小値は -1 です。等号は x = 1 のとき成り立ち、1 は指定区間内です。導関数でも確認すると、F′(x) = 2x − 2 は1の左で負、右で正です。端点の値は F(-1) = 3、F(4) = 8 で、いずれも -1 以上です。区間が変わって1を含まない場合には、頂点をそのまま答えにできず、実際の区間の端点を比較します。

誤答を修正する：下端の値を落とす

基本例題で F(x) = x² + 3x とする誤りを考えます。これは原始関数の上端への代入までは合っていますが、下端への代入を引いていません。図3のように下端で検査すると、誤った式は4となり、積分区間の両端が等しいときの値0と食い違います。

図3の左から右へ、下端での余分な4を引くと F(x) = x² + 3x − 4 です。この修正後は F(1) = 0 となり、微分すると被積分関数に x を入れた 2x + 3 に戻ります。両方の確認が必要です。微分だけでは定数を落とした誤りを発見できませんし、下端で0という確認だけでは、それ以外の項の間違いを見逃すことがあります。

別の誤りとして、F′(x) = 2t + 3 と答える場合もあります。微分後は上端を入力とする関数なので、結果は 2x + 3 です。t は積分の内部で使った名前で、答えに自由な文字として残りません。上端を具体的な数にしたとき、答えに未知の t が残らないかを試すと違いが見えます。

練習：上端を動かして確かめる

次の5問では答えを指定された形で書きます。積分の中の式はすべて多項式です。

1. A(x) = ∫[2→x] (3t + 1) dt の A(x) と A′(x) を分数係数を用いた多項式で求めます。
2. B(x) = ∫[-1→x] (4t − 2) dt について B(-1) と B′(-1) を整数で求めます。
3. C(x) = ∫[0→x] (t − 2) dt の増減区間と極値を求め、極値は整数で答えます。
4. D(x) = ∫[1→x] 2t dt とします。-3 ≦ x ≦ 3 で D(x) = 3 となる x を整数で求めます。
5. E(x) = ∫[0→x] (t² − 9) dt の増減区間と極値を求め、極値は整数で答えます。

答えと解き方

1. 原始関数は 3t²/2 + t です。下端を代入した値を引きます。

A(x) = (3x²/2 + x) - (3・2²/2 + 2)
A(x) = 3x²/2 + x - 8
A′(x) = 3x + 1

A(2) = 6 + 2 − 8 = 0 です。導関数に2を入れると7で、被積分関数に t = 2 を入れた値とも一致します。定数を微分の照合だけで見落とさないため、下端にも戻します。

2. 積分の両端が等しいことと、微分の公式を順に用います。

B(-1) = ∫[-1→-1] (4t - 2) dt
B(-1) = 0
B′(x) = 4x - 2
B′(-1) = 4・(-1) - 2
B′(-1) = -6

原始関数からも B(x) = 2x² − 2x − 4 です。-1 を代入すると 2 + 2 − 4 = 0 で、元の両端一致の条件を満たします。値0を傾きに移さないことが要点です。

3. 被積分関数が連続なので C′(x) = x − 2 です。

C′(x) = 0 のとき x = 2
C′(x) < 0 は x < 2
C′(x) > 0 は x > 2
C(x) = x²/2 - 2x
C(2) = 2 - 4 = -2

x < 2 で減少し、x > 2 で増加します。x = 2 で極小値 -2 を取ります。原始関数の差に上端2を戻すと -2 となり、極小値が実際の積分値であることを確かめられます。

4. 原始関数は t² です。

D(x) = x² - 1
x² - 1 = 3
x² = 4
x = -2 または x = 2

両方とも -3 以上3以下です。元の積分では上端が -2 でも2でも、原始関数の上端の値が4、下端の値が1なので差は3です。符号の異なる上端を両方確認します。

5. 原始関数から関数値を出し、導関数を因数分解します。

E(x) = x³/3 - 9x
E′(x) = x² - 9
E′(x) = (x + 3)(x - 3)
E(-3) = -27/3 + 27 = 18
E(3) = 27/3 - 27 = -18

x < -3 と x > 3 で増加し、-3 < x < 3 で減少します。x = -3 で極大値18、x = 3 で極小値 -18 です。それぞれを上端として原始関数の差に戻すと同じ値が出ます。x が負のときも積分の向きが式に反映されています。

答えの形を整えるための見直し

上端が下端より左にある場合、数直線を見て積分の向きを確かめます。たとえば基本例題では、0 から1までの被積分関数は正ですが、求める積分は1から0へ向かいます。したがってその値は負です。式に0を入れて得た -4 と向きが一致することは、下端の引き算の確認にもなります。ただし、被積分関数が途中で符号を変える区間では、向きだけから積分値の符号を決めることはできません。区間を分けて各部分の符号と大きさを調べます。

増減を説明するときは、導関数の零点を並べるだけで終えず、その点の左右で符号がどう変わるかを書きます。零点で符号が変わらなければ、そこで傾きが0でも極値とは限りません。さらに、閉区間の最大値や最小値を問われたときは、区間内の候補と両端の値を比べます。極値と最大値は同じ言葉ではなく、調べる範囲も異なります。

上端を方程式から求めた後は、候補を指定範囲と元の積分の両方に戻します。平方した式を使った場合は、変形の途中で余分な候補が生じることもあります。候補を戻す操作は、計算の正しさと問題の条件の両方を確かめるためにあります。下端での値と導関数を確かめた後も、問題に指定された区間や答えの形を最後まで見届けます。

手元に残す要点

• 固定した下端 a では F(a) = 0 です。
• 多項式 f に対し F′(x) = f(x) です。
• 増減は F′ の区間ごとの符号で決めます。
• 下端への代入と導関数の両方で答えを点検します。

立ち止まる場所を見つける

式が合わないときは、まず下端を代入して0になるかを見ます。0にならなければ、原始関数の下端の値を括弧ごと引いたかを調べます。0になっても微分結果が合わない場合は、各項の係数や次数を積分前の式と比べます。どちらの確認で食い違ったかを分けると、探す場所が狭まります。

個別指導で確かめるなら、積分の文字を別の文字に替えても値が同じ理由と、上端を下端に合わせると0になる理由を自分の言葉で説明してみます。次に導関数の符号を数直線に書き、値の正負とは別に増減を判断します。積分の中の文字と動く上端を見分ければ、関数の値と傾きはそれぞれの役割を持ってつながります。