高校数学II 微分による不等式の証明—差の関数の最小値と等号条件を調べる｜武蔵野個別指導塾

左右の差を微分し、最小値の高さと等号の位置を結び付けて、多項式の不等式を証明します。

よくあるのは、高校生が不等式を証明しようとして、導関数の符号を書いたところで結論に進む場面です。増加しているという情報は、それ以前の値との比較を表します。しかし、増加する関数が必ず正になるわけではありません。どこを基準にし、その点での差がいくつかまで調べると、不等号につながります。

何を比べる問題か

微分による不等式の証明では、まず文字の動く範囲と、左右のどちらが大きいと示すのかを読み取ります。たとえば左辺が右辺以上と示すなら、左辺から右辺を引いた差を考えます。その差が指定範囲で常に 0 以上なら、元の主張が成り立ちます。差の符号を逆にすると、証明すべき向きも逆になるので注意します。

問いには、ある区間の各点で不等式が成り立つことを示す型、等号が成り立つ点を求める型、文字定数の取り得る範囲を決める型があります。最後の型では、条件を満たす定数なら確かに成り立つことと、それ以外では成り立たないことの両方が必要です。後者には、条件を破る具体的な x を示す方法が使えます。

区間の端に等号が付くかも先に印を付けます。端点を含む区間では端点の値を比較し、含まない区間では端点の値をそのまま最小値と呼べません。ここでは多項式を扱い、導関数の符号から増減を調べます。式の変形で証明できる場合も、増減の根拠と基準の値を言葉にすると、文字定数を含む問題に応用しやすくなります。

差と基準点をつなぐ

左右の差を f(x) とします。多項式は実数全体で連続かつ微分可能ですから、指定された区間でも導関数を使って増減を調べられます。区間内で f′(x) が正なら f は増加し、負なら減少します。符号が変わる点や端点の値を比べ、最小値が 0 以上と示せば証明が完成します。

図1のように、差の符号を目標にしてから、増減と基準点の値を結びます。導関数そのものの符号は差の値の符号ではありません。たとえば f(x) = x − 5 は増加しますが、x = 0 では負です。増加していることに加えて、どの点からどちらへ動くのか、そこでの値はいくつかを確認します。

図1の基準点は、等号が期待される点とは限りません。基準の値が正なら等号のない不等式を示せることもあります。一方、差の最小値が 0 のとき、等号は差が 0 になる点です。減少から増加へ変わる点のほか、端点や、同じ最小値を取る別の点がないかも調べます。

閉区間では両端と内部の停留点が候補です。ただし、導関数が 0 になる点が必ず最小とは限りません。符号が変わらないこともあるからです。開区間で端点に近づく値が 0 でも、端点が範囲に含まれなければ、等号は成立しない場合があります。最小値が存在しなくても、範囲内の各点で差が正と直接示せれば、元の不等式は証明できます。

基本例題：等号を取る基準を探す

問題：すべての実数 x について、x² − 4x + 7 ≧ 3 を証明し、等号が成り立つ x を求めてください。答えは整数で表します。

左辺から右辺を引いて f(x) を作ります。この多項式は実数全体で微分可能です。

f(x) = x² - 4x + 7 - 3
     = x² - 4x + 4
f′(x) = 2x - 4
      = 2(x - 2)

x < 2 では f′(x) < 0、x > 2 では f′(x) > 0 です。したがって f は x = 2 まで減少し、その後増加します。実数全体での最小値を基準点で求めます。

f(2) = 2² - 4・2 + 4
     = 0

図2のように、差は x = 2 で最小となり、その値は 0 です。よってすべての実数 x で f(x) ≧ 0、すなわち元の不等式が成り立ちます。両側で厳密に減少または増加するため、等号は x = 2 のときです。

元の式に戻しても、x = 2 の左辺は 4 − 8 + 7 = 3 で、右辺と一致します。図2では縦軸が左右の差であり、元の左辺そのものではありません。差のグラフが横軸に触れる点が、等号の位置に対応します。平方の形にも変形できますが、ここでは導関数と基準値から結論までの流れを確かめました。

標準例題：端点と内部を比べる

問題：0 ≦ x ≦ 3 で、x³ − 3x² + 5 ≧ 1 を証明し、等号が成り立つ x を整数で求めてください。

差を g(x) と置きます。多項式なので閉区間の内部で微分可能で、端点でも値を計算できます。

g(x) = x³ - 3x² + 5 - 1
     = x³ - 3x² + 4
g′(x) = 3x² - 6x
      = 3x(x - 2)

0 < x < 2 では g′(x) < 0、2 < x < 3 では g′(x) > 0 です。端点 x = 0 で導関数が 0 となることも見落とさず、区間内の増減と値を照合します。

g(0) = 4
g(2) = 8 - 12 + 4
     = 0
g(3) = 27 - 27 + 4
     = 4

g は 0 から 2 まで減少し、2 から 3 まで増加します。したがって最小値は 0 で、求める不等式が成立します。等号は x = 2 のときです。元の左辺に代入すると 8 − 12 + 5 = 1 となり、右辺に戻ります。

ここで x = 0 も導関数を 0 にしますが、そこでの差は 4 です。導関数の零点をそのまま等号条件にすることはできません。また、x = 2 の前後の符号は区間外まで調べる必要がなく、指定範囲の内部で確かめれば足ります。端点の値を記録しておくと、端点が最小になる別の問題にも対応できます。

発展示題：文字定数の範囲

問題：0 ≦ x ≦ 2 のすべての x について、x² − 2x + 3 ≧ a が成り立つような実数 a の範囲を求めてください。答えは不等号で表します。

左辺を h(x) とします。h は多項式なので区間内で連続かつ微分可能です。a を含む差 h(x) − a の増減も h と同じですが、まず左辺の最小値を求めると定数の役割が見えます。

h(x) = x² - 2x + 3
h′(x) = 2x - 2
      = 2(x - 1)

0 < x < 1 で h′(x) < 0、1 < x < 2 で h′(x) > 0 です。端点と基準点の値は次のようになります。

h(0) = 3
h(1) = 1 - 2 + 3
     = 2
h(2) = 4 - 4 + 3
     = 3

区間での最小値は 2 です。a ≦ 2 なら、区間内の任意の x について h(x) ≧ 2 ≧ a ですから、求める条件が成り立ちます。逆に a > 2 とすると、指定範囲にある x = 1 で h(1) = 2 < a となり、条件に反します。したがって答えは a ≦ 2 です。

境界の a = 2 も調べます。このとき x = 1 で等号が成立し、他の点では差が正です。a < 2 なら最小値の点でも h(1) > a なので等号はありません。定数の範囲を求めるときは、境界を含める理由と、範囲外を除く理由を別々に書くと、必要性と十分性を見失いません。

誤答を直す：増加と正を取り違えない

次の主張を考えます。「x ≧ 0 で p(x) = x² + 2x − 3 は p′(x) ≧ 0 だから、p(x) ≧ 0 である」。導関数の計算自体は正しく、p′(x) = 2x + 2 > 0 です。しかし増加する出発点の値を調べていないため、結論は誤りです。

p(0) = -3
p(1) = 1 + 2 - 3
     = 0

図3のように、p は x ≧ 0 で増加しますが、x = 0 では負です。したがって元の主張は x = 0 で破れます。反例は結論が失敗する点を示すもので、数値をいくつか試して成立することを一般に証明する作業とは役割が異なります。

図3の零点 x = 1 を使えば、正しい範囲に直せます。p は x ≧ 0 で厳密に増加し、p(1) = 0 なので、0 ≦ x < 1 では p(x) < 0、x ≧ 1 では p(x) ≧ 0 です。等号は x = 1 です。元の式 x² + 2x ≧ 3 へ戻すと、指定範囲を x ≧ 1 にしたとき成立すると言えます。

別の失敗は、x > 1 という開区間で等号を x = 1 と書くことです。基準点の値が 0 であっても、その点は指定範囲に含まれません。この場合は各 x で p(x) > 0 となり、等号はありません。端点の記号と等号条件を最後に照合します。

差が 0 以上という結論から元の不等式へ戻るときも、引き算の順序を確認します。右辺から左辺を引いた場合なら、その差が 0 以下であることを示す必要があります。等号は差が 0 の点で起こりますが、指定区間にその点が入ることまで確認して初めて答えになります。

練習問題

各問題は左右の差を使い、増減の理由と等号条件まで書いてください。数値の答えは整数または分数で表します。

1. すべての実数 x について、x² + 6x + 11 ≧ 2 を証明し、等号が成り立つ x を求めてください。
2. -1 ≦ x ≦ 3 で、x³ − 3x + 5 ≧ 3 を証明し、等号が成り立つ x を求めてください。
3. 0 ≦ x ≦ 4 のすべての x について、x² − 6x + 12 ≧ a が成り立つ実数 a の範囲を求めてください。
4. x > 2 で、x² − 4x + 7 > 3 を証明し、等号が成り立つ点の有無を答えてください。
5. 1 ≦ x ≦ 3 のすべての x について、x³ − 3x² + 4 ≧ b が成り立つ実数 b の範囲を求めてください。

練習の答えと道筋

1

差を f(x) と置くと、次の式です。

f(x) = x² + 6x + 11 - 2
     = x² + 6x + 9
f′(x) = 2x + 6
      = 2(x + 3)
f(-3) = 9 - 18 + 9
      = 0

f は x = -3 まで減少し、その後増加します。よって最小値 0 から不等式が成立し、等号は x = -3 です。元の左辺に戻すと 9 − 18 + 11 = 2 で右辺と一致します。

2

差を g(x) とします。

g(x) = x³ - 3x + 5 - 3
     = x³ - 3x + 2
g′(x) = 3x² - 3
      = 3(x + 1)(x - 1)
g(-1) = -1 + 3 + 2
      = 4
g(1) = 1 - 3 + 2
     = 0
g(3) = 27 - 9 + 2
     = 20

-1 < x < 1 で減少し、1 < x < 3 で増加します。最小値は 0 なので不等式が成立し、等号は x = 1 です。元の左辺は 1 − 3 + 5 = 3 となり右辺に一致します。端点 -1 でも導関数は 0 ですが、差は 4 です。

3

左辺を h(x) とします。

h(x) = x² - 6x + 12
h′(x) = 2x - 6
      = 2(x - 3)
h(0) = 12
h(3) = 9 - 18 + 12
     = 3
h(4) = 16 - 24 + 12
     = 4

区間内では x = 3 まで減少し、その後増加するので最小値は 3 です。a ≦ 3 なら h(x) ≧ 3 ≧ a です。a > 3 なら x = 3 で左辺が 3 となり条件を破ります。答えは a ≦ 3 です。境界 a = 3 では元の不等式に x = 3 を代入して 3 ≧ 3 です。

4

差を q(x) とします。

q(x) = x² - 4x + 7 - 3
     = x² - 4x + 4
q′(x) = 2x - 4
      = 2(x - 2)
q(2) = 4 - 8 + 4
     = 0

x > 2 では q′(x) > 0 なので、q(x) > q(2) = 0 です。よって元の左辺は 3 より大きくなります。x = 2 は範囲に含まれず、等号の成立する点はありません。例えば x = 3 では左辺が 9 − 12 + 7 = 4 で、指定された向きと一致します。

5

左辺を r(x) とします。

r(x) = x³ - 3x² + 4
r′(x) = 3x² - 6x
      = 3x(x - 2)
r(1) = 1 - 3 + 4
     = 2
r(2) = 8 - 12 + 4
     = 0
r(3) = 27 - 27 + 4
     = 4

1 < x < 2 では減少し、2 < x < 3 では増加します。最小値は 0 なので、b ≦ 0 なら各 x で r(x) ≧ 0 ≧ b です。b > 0 では x = 2 で左辺が 0 となり条件を破ります。答えは b ≦ 0 です。境界 b = 0 を元の条件に戻すと、x = 2 で 0 ≧ 0 です。

手元に残す要点

左右の差を取り、示すべき符号を決めます。 導関数の符号から指定範囲での増減を調べます。 基準点や端点の値を使って差の最小値を示します。 等号の点と文字定数の境界を元の条件へ戻します。

答案が止まったとき

導関数の行までは書けるのに結論に進めないときは、「その符号は何の増減を表すか」「基準点で差はいくつか」を順に口に出してみます。差の値が負なら、不等式が成立する範囲の取り違えや、引く順序を調べます。増減が正しくても、基準となる値が未計算なら結論はまだ出ません。

個別指導で答案を見直すときも、まず自分の差の式と指定区間を示し、導関数の符号が変わる点を指して説明します。次に最小値を求めた式、等号の点が範囲に入る理由を確かめます。文字定数の問題なら、境界を満たす場合と境界を超える場合をそれぞれ元の式に戻します。増減と値がつながれば、不等式の向きまで自分の言葉で支えられます。