高校数学II 不定積分の意味—微分すると元に戻る関数と積分定数を区別する｜武蔵野個別指導塾

微分で元に戻す確認と、点を通る条件で定数を決める手順から、原始関数を区別し不定積分の意味に迫ります。

よくあるのは、積分定数 C を見て、どの問題でも同じ決まった数が入ると思う場面です。微分すると定数は消えるので、導関数から出発した段階では、消える前の値を1つに決められません。条件が与えられたときに初めて C を求められる場合があります。式を逆にたどるだけでなく、どこまで決まっているかを言葉で区別しましょう。

何を答える問題かを先に読む

不定積分を求める問題では、微分して指定された式になる関数を、定数の違いを含めて表します。一方、その原始関数のうち、ある点を通るものを求める問題では、点の座標を使って定数を1つに決めます。前者で勝手に C = 0 とすることと、後者で最後まで C を残すことは、どちらも答える範囲が問題と合いません。

もう1つの型は、原始関数について複数の条件が出る問題です。最初の条件で候補を作り、残りの条件に代入して矛盾がないか調べます。条件を一部しか使わずに候補を答えると、実際には存在しない関数を答えたことになる場合があります。

ここでは多項式の不定積分を扱い、微分の公式と和・差・定数倍を使います。積分区間を持つ定積分や面積は扱いません。問題を読むときには、求めるのが関数全体か、条件を満たす1つの関数か、または存在するかどうかに印をつけます。

原始関数は定数の分だけ違う

関数 f(x) に対し、ある区間で F′(x) = f(x) を満たす関数 F(x) を、f(x) の原始関数といいます。扱う多項式はすべての実数で微分できるので、以下では実数全体を区間とします。例えば F(x) = x² は f(x) = 2x の原始関数です。同時に x² + 3 や x² − 4 も、微分すると 2x になります。

図1のように、定数を足した原始関数は微分すると同じ式に戻ります。図は3つの候補を示していますが、定数はこの3つに限りません。C に任意の実数を入れた x² + C が、2x の原始関数をまとめた表し方です。

このように、f(x) の原始関数全体を ∫ f(x) dx と書き、不定積分と呼びます。記号 dx は、どの文字を変数として積分するかを示します。C は積分定数と呼び、条件がない段階では任意の実数です。複数の原始関数を代表する文字であって、すべての問題で共有される固定値ではありません。

原始関数がこれ以外にない理由も確かめます。F と G が同じ区間で f の原始関数なら、差 H = G − F は、その区間の各点で H′(x) = 0 です。導関数が区間全体で 0 の関数は定数なので、G − F = C と表せます。逆に F + C の微分は f です。この両方から、1つの原始関数に任意の定数を足すことで全体を表せます。対象が途中で切れた別々の区間なら、区間ごとに異なる定数があり得る点には注意が必要です。

多項式の計算では、微分の公式を逆向きに使います。例えば x³ を微分すると 3x² なので、x² の原始関数の1つは x³/3 です。同じ理由で x の原始関数の1つは x²/2、定数 1 の原始関数の1つは x です。和や差は項ごとに、定数倍は係数をつけて計算できます。最後に積分定数を1つ加え、微分して確かめます。

たとえば、各項の原始関数を別々に書けば C₁ と C₂ が現れることもあります。しかし C₁ + C₂ も任意の実数ですから、結果は1つの C にまとめられます。C を省略するための操作ではなく、任意の定数を表す文字を整理する操作です。

基本例題：元の式へ戻して確かめる

問題：不定積分 ∫ (6x² − 4x + 5) dx を求め、積分定数を C として答えてください。

6x² は 2x³ を微分すると得られます。-4x と 5 についても、それぞれ微分を逆にたどります。図2の対応を見てから、項をまとめます。

∫ (6x² - 4x + 5) dx
= 2x³ - 2x² + 5x + C

求めた式を微分し、問題に与えられた式に戻ることを確かめます。

(2x³ - 2x² + 5x + C)′
= 6x² - 4x + 5

C の項は微分すると 0 です。たとえば C = 0 と C = 7 のどちらを入れても導関数は元の式になります。前者は原始関数の1つであり、問題が求める不定積分全体は C を残した式です。

また、係数を指数で割る理由は微分で確認できます。6x² に対し x³ の係数を 6 のままにすると、微分後は 18x² となってしまいます。次数を1つ上げた後、新しい次数を掛けて元の係数になるように調整することが必要です。定数項 5 も微分前は 5x であり、単なる 5 のままでは消えてしまいます。

標準例題：点を通る条件で定数を決める

問題：F′(x) = 3x² + 2x − 4 かつ F(2) = 9 を満たす関数 F(x) を求めてください。係数は整数または分数で表してください。

まず導関数の条件から原始関数全体を作ります。条件を使う前は C が自由に動きます。

F(x) = ∫ (3x² + 2x - 4) dx
F(x) = x³ + x² - 4x + C

次に、x = 2 のとき関数の値が 9 になるという条件を代入します。F′(2) の値ではなく、F(2) の値を使うことに注意します。

F(2) = 2³ + 2² - 4・2 + C
9 = 8 + 4 - 8 + C
9 = 4 + C
C = 5
F(x) = x³ + x² - 4x + 5

答えが問題の両方の条件を満たすか、別々に戻して確かめます。

F′(x) = 3x² + 2x - 4
F(2) = 8 + 4 - 8 + 5
F(2) = 9

導関数だけを確認しても、定数が 5 かどうかは判定できません。逆に点を通ることだけを確認しても、導関数が指定どおりとは限りません。2つの条件をそれぞれ点検して、初めて答えとして採用できます。

もし F(2) = 9 がなければ、C を 5 に固定する根拠はありません。反対に F(2) = 9 が与えられた後は、任意の C のままでは条件を満たさない候補も混ざります。いつ C が自由で、いつ固定されたかを式の横に書くと、解答の途中で状態を見失いにくくなります。

発展例題：2つの値が両立するか

問題：実数 a に対して F′(x) = 2x + a、F(1) = 4、F(3) = 12 を満たす関数 F(x) があるように a と F(x) を求めてください。係数は整数または分数で表してください。

a は x によらない実数です。まず x で積分するときは定数として扱い、原始関数全体を作ります。

F(x) = ∫ (2x + a) dx
F(x) = x² + ax + C

2つの値をそれぞれ代入し、a と C の連立方程式を作ります。

F(1) = 1 + a + C
4 = 1 + a + C
a + C = 3
F(3) = 9 + 3a + C
12 = 9 + 3a + C
3a + C = 3

2つの式を辺ごとに引きます。

(3a + C) - (a + C) = 3 - 3
2a = 0
a = 0
C = 3 - a
C = 3
F(x) = x² + 3

答えを問題の3条件に戻します。

F′(x) = 2x
2x + a = 2x + 0 = 2x
F(1) = 1 + 3 = 4
F(3) = 9 + 3 = 12

2点の値の差を取ると C が消えます。定数を変えると曲線全体が上下に動きますが、2点の値の差は変わらないからです。今回の2条件は a = 0 のとき両立し、さらに片方の値によって C = 3 が定まります。

条件が合わない場合も考えましょう。例えば導関数が 2x と指定され、F(1) = 4 かつ F(3) = 13 とされた場合、前の式で a = 0 とすると、最初の条件から C = 3 です。その候補は F(3) = 12 なので、13 という条件を満たせません。導関数と最初の値で候補は1つに決まっているため、他の定数を試しても両方を満たす関数はありません。

逆に2つの条件が同じ情報を繰り返す場合は、連立方程式が1本にまとまり、未知数を決めきれないことがあります。答えが存在しない場合と、候補が複数ある場合を混同せず、代入した式が矛盾するか、独立した条件が残っているかを確かめます。

誤答から、どの条件を落としたかを探す

基本例題の答えを 2x³ − 2x² + 5x とだけ書いたとします。微分すると 6x² − 4x + 5 には戻るので、この式は原始関数の1つとしては正しいものです。ただし、不定積分としては C = 0 の場合しか表していません。図3のように、任意の C を加え、関数全体に直します。

ここで「微分して戻れば十分」と判断すると、1つの候補と全体の違いを見逃します。答えの確認は、微分して元に戻るかという点と、問題が要求する候補を漏らしていないかという点の両方で行います。指定された点を通る関数なら、その点にも代入します。

別の誤りとして、∫ 5 dx を 5 と書く場合があります。5 を微分すると 0 であり、元の 5 に戻りません。5x と書けば微分後に 5 になります。また、∫ 6x² dx を 6x³ とした場合は微分すると 18x² です。次数を上げる操作と係数の調整を一緒に確認すれば、誤った項を特定できます。

条件付きの問題で F(2) = 9 を F′(2) = 9 と読み替えるのも危険です。前者は原始関数の値、後者はその導関数の値です。元の文字にダッシュがあるかを見て、代入先を決めてください。F′(2) の条件だけなら C は消えてしまうため、それだけで C を決めることはできません。

練習：5つの条件を読み分ける

各問の分数は約分し、指定のない係数も整数または分数で表してください。不定積分では積分定数を C とします。先に5問を解き、答えに進んでください。

1. ∫ (8x − 3) dx を求めてください。
2. ∫ (5x² + 6x − 2) dx を求めてください。
3. G′(x) = 4x − 7、G(-1) = 6 を満たす G(x) を求めてください。
4. H′(x) = 6x + b、H(0) = -2、H(2) = 8 を満たす実数 b と関数 H(x) を求めてください。
5. J′(x) = 4x、J(1) = 3、J(2) = 10 を満たす関数 J(x) が存在するか答え、理由を示してください。

練習の答えと解き方

1. 項ごとに微分を戻す

∫ (8x - 3) dx
= 4x² - 3x + C
(4x² - 3x + C)′
= 8x - 3

微分して元の式に戻り、C が任意なので定数の違う原始関数を含みます。定数項 -3 は原始関数で -3x になる点にも注意します。

2. 分数の係数を残す

∫ (5x² + 6x - 2) dx
= (5/3)x³ + 3x² - 2x + C
((5/3)x³ + 3x² - 2x + C)′
= 5x² + 6x - 2

最初の項の係数は、微分したとき 3 を掛けて 5 に戻るように 5/3 とします。割り切れないからといって整数に直す必要はありません。

3. 負の値を代入する

G(x) = 2x² - 7x + C
G(-1) = 2・(-1)² - 7・(-1) + C
6 = 2 + 7 + C
C = -3
G(x) = 2x² - 7x - 3

検算では負号と2乗の両方に注意します。

G′(x) = 4x - 7
G(-1) = 2 + 7 - 3
G(-1) = 6

4. 2つの値から係数を決める

H(x) = 3x² + bx + C
H(0) = C
C = -2
H(2) = 12 + 2b - 2
8 = 10 + 2b
2b = -2
b = -1
H(x) = 3x² - x - 2

条件に戻して、係数と定数を確かめます。

H′(x) = 6x - 1
6x + b = 6x - 1
H(0) = -2
H(2) = 12 - 2 - 2 = 8

5. 候補を残りの条件に戻す

J(x) = 2x² + C
J(1) = 2 + C
3 = 2 + C
C = 1
J(x) = 2x² + 1
J(2) = 8 + 1 = 9

9 は指定された 10 と異なります。導関数と J(1) の条件から候補はこの1つに定まるため、3条件を同時に満たす関数は存在しません。最後の条件を見落として候補をそのまま答えないようにします。

手元に残す4行

原始関数は微分すると指定された関数に戻ります。
不定積分は原始関数全体を積分定数 C で表します。
関数の値が与えられたら、原始関数に代入して C を求めます。
最後に導関数と与えられた値の両方へ答えを戻します。

つまずきを式から見分ける

自分の答案を見直すときは、まず問題文に「不定積分」とあるか、「点を通る関数」とあるかを確かめます。C がない答案でも、点の条件を使って C を決定済みなら正しい場合があります。反対に、条件がないのに C を外した答案は、1つの原始関数しか示していません。

個別指導で確かめるなら、同じ導関数を持つ式を2つ作り、差が定数になることを説明してみてください。続いて点の条件を1つ加え、2つの候補のうち何が残るかを代入で調べます。微分の計算、定数が残る理由、条件を使う場所のどこで止まったかが答案から見えてきます。

原始関数を1つ見つけた後、その仲間を定数で表せるかが、不定積分を読み解く鍵です。