高校数学II 指定区間の実数解—増減と端点の符号から解の位置を絞る｜武蔵野個別指導塾

端点での符号変化と単調性を分け、開区間の境界や接する解も含めて調べる道筋を、指定区間の実数解へつなぎます。

よくあるのは、高校生が両端の符号が違うことを見て、その間の解は一つと断定する場面です。符号の違いから読み取れるのは、途中で横軸を少なくとも1回通ることです。通った後に折り返して、もう一度、さらにもう一度通る可能性は残ります。解がある理由と、それ以上ない理由を別々に書けば、区間の中で何が起こるかを筋道立てて説明できます。

解の位置を問われたら

方程式を f(x) = 0 と表し、指定された区間と端点を先に書き出します。多項式 f は実数全体で連続かつ微分可能です。したがって、端点の関数値と導関数の符号を使って、グラフが横軸と交わる場所を調べられます。解の正確な値を求めなくても、ある範囲にあると証明する問題があります。

問いには、たとえば「開区間に解があることを示す」「閉区間の異なる実数解の個数を求める」「文字の値によって個数を分ける」という型があります。最初に確認するのは、端点を含むか、異なる解を数えるかという条件です。同じ数が重解として現れても、異なる実数解の個数では1個です。

端点の値が異符号なら存在を示せますが、それだけでは個数を確定できません。逆に端点の値が同符号でも、途中で横軸に触れる解や、2回横切る解がありえます。導関数の零点が区間の中にあるか調べ、必要ならそこで区間を分けます。分け目にある解は隣り合う区間で二重に数えないようにします。

存在と一意性は別の根拠

連続な関数 f について、a < b で f(a) と f(b) が異符号なら、a < c < b を満たす少なくとも1つの c で f(c) = 0 です。これは中間値の性質を0に適用したものです。両端が異符号なので、得られる解は端点ではなく内部にあります。端点の値が0の場合はこの異符号の条件を使えず、その端点を含むかどうかを別に判定します。

一方、区間全体で f が狭い意味で単調増加、つまり x₁ < x₂ なら f(x₁) < f(x₂) であれば、同じ値0を2回取ることはありません。単調減少の場合も同じです。導関数が区間の内部で常に正なら増加、常に負なら減少と判断できます。導関数が孤立した点で0になっても、区間を分けた増減をつなげて狭い意味の単調性を示せる場合があります。

図1のように、存在を示す箱と、2個以上ないことを示す箱をそろえて初めて「ちょうど1個」です。片方が欠けた場合は、欠けた理由を追加します。

図1の2つの条件は十分条件として使います。たとえば単調でない関数にも解が1個の場合はあるので、単調性が使えなかっただけで1個という結論が間違いになるわけではありません。別の区間分割や因数分解で数え直します。

境界の扱いも大切です。[a, b] は両端を含み、(a, b) は両端を含みません。f(a) = 0 なら a は前者の解ですが後者には入りません。内部の増減がわかっていても、端点を加える操作は最後に明記します。

基本例題：符号と増加を組み合わせる

方程式 x³ + x − 3 = 0 が開区間 (1, 2) に異なる実数解をちょうど1個もつことを示してください。解の値は求めず、存在と個数の根拠を述べます。

f(x) = x³ + x − 3 と置きます。多項式なので [1, 2] で連続です。端点に代入すると、次のように異符号です。

f(1) = 1 + 1 - 3
     = -1
f(2) = 8 + 2 - 3
     = 7

よって中間値の性質により、1 < x < 2 に解が少なくとも1個あります。次に、その区間の増減を調べます。

f′(x) = 3x² + 1
       > 0

この不等式はすべての実数 x で成り立ちます。したがって f は [1, 2] で狭い意味で増加し、同じ高さ0を2回取れません。少なくとも1個あり、高々1個なので、求める解はちょうど1個です。

図2のように、左端の高さは -1、右端の高さは 7 で、曲線は右上がりです。横軸との交点は端点の間にあり、点を通る正確な位置を図から測る必要はありません。

図2で高さを読むだけでなく、元の条件へ戻します。f(1) は負、f(2) は正で、解はどちらの端点でもありません。導関数も [1, 2] で正なので、図の見た目に頼らず、開区間に1個という条件を満たします。

標準例題：端点と折り返しを分ける

方程式 x³ − 3x = 2 の異なる実数解の個数を、閉区間 [-2, 1] と開区間 (-2, 1) についてそれぞれ求めてください。個数は整数で答えます。

f(x) = x³ − 3x − 2 と置きます。多項式なので指定区間で連続、微分可能です。まず端点と導関数を計算します。

f(-2) = -8 + 6 - 2
      = -4
f(1) = 1 - 3 - 2
     = -4
f′(x) = 3x² - 3
       = 3(x + 1)(x - 1)

区間内部の導関数の零点は -1 です。-2 < x < -1 では f′(x) > 0、-1 < x < 1 では f′(x) < 0 です。そこで頂点に当たる値を調べます。

f(-1) = -1 + 3 - 2
      = 0

[-2, -1] では増加し、[-1, 1] では減少します。それぞれの内部では値が0未満なので、-1 以外に解はありません。-1 は両方の区間の共通端点ですが、同じ数なので1回だけ数えます。両方の指定区間に -1 が含まれるため、答えは閉区間も開区間も1個です。

元の方程式に -1 を戻すと、左辺は -1 + 3 = 2 で右辺に一致します。両端はいずれも f の値が -4 なので解ではありません。端点が同符号でも途中で0に触れるこの例は、異符号でないことから解なしと判断できない理由を示しています。

発展示例：動く水平線と端点

実数 k に対し、方程式 x³ − 3x = k の異なる実数解の個数を、区間 [-2, 2) で求めてください。k の範囲ごとに整数で答えます。

g(x) = x³ − 3x と置くと、多項式なので連続かつ微分可能です。増減の切れ目と端点での値を計算します。

g′(x) = 3x² - 3
       = 3(x + 1)(x - 1)
g(-2) = -8 + 6
      = -2
g(-1) = -1 + 3
      = 2
g(1) = 1 - 3
     = -2
g(2) = 8 - 6
     = 2

[-2, -1] では狭い意味で増加し、[-1, 1] では狭い意味で減少し、[1, 2] では狭い意味で増加します。連続性と単調性から、各区間で取りうる高さの範囲と、その高さを取る点の数が決まります。ただし、-1 と 1 は分割した区間に重複して現れ、2 は指定区間に含まれません。

• k < -2 または k > 2：各部分の値域の外なので0個です。
• k = -2：x = -2 と x = 1 の2個です。x = 1 を左右から2回数えません。
• -2 < k < 2：3つの単調区間の内部にそれぞれ1個ずつ、計3個です。
• k = 2：x = -1 は含まれますが、もう一方の x = 2 は除かれるので1個です。

境界を式でも確かめます。

g(x) + 2 = x³ - 3x + 2
         = (x - 1)²(x + 2)
g(x) - 2 = x³ - 3x - 2
         = (x + 1)²(x - 2)

k = -2 の候補 -2 と 1 はいずれも指定区間に入り、元の g の値は -2 です。k = 2 の候補 -1 と 2 は元の値がともに2ですが、2 は右端で除外されます。範囲の境目では、符号だけでなく解の位置を区間に戻すことが必要です。

誤答をほどく：符号が変われば1個？

「h(x) = x³ − 4x について、h(-3) < 0、h(3) > 0 だから (-3, 3) の解は1個」という答えを考えます。両端の計算自体は正しく、連続性から少なくとも1個あることも言えます。しかし、途中の増減を調べず、高々1個と結論づけている点が誤りです。

図3のように、実際には曲線は横軸を3回通ります。因数分解すれば、位置も確かめられます。

h(x) = x(x² - 4)
     = x(x - 2)(x + 2)
h(x) = 0
x = -2, 0, 2

3つはいずれも -3 より大きく 3 より小さいため、開区間の解は3個です。図3の両端は h(-3) = -15、h(3) = 15 で異符号ですが、途中に2回の折り返しがあります。修正するときは、まず「存在」の文を残し、次に導関数または因数分解で「個数」を別に調べます。

単調性を使う場合も、導関数が0となる点を見落とさないことが必要です。導関数の符号が区間全体で一定か、符号表を作って点検します。符号が変わるなら、その点で区間を分け、各部分の値域と共通端点を調べ直します。

練習：5つの区間で数える

各問は解の正確な値を求める必要はありません。個数は異なる実数解の個数を整数で答え、根拠も書いてください。

1. x³ + 2x − 5 = 0 の解の個数を開区間 (1, 2) で求めてください。
2. x² − 4x + 3 = 0 の解の個数を閉区間 [0, 2] で求めてください。
3. x² − 6x + 9 = 0 の解の個数を開区間 (1, 5) で求めてください。
4. x³ − 9x = 0 の解の個数を半開区間 [-3, 3) で求めてください。
5. 実数 t に対して x² − 2x = t の解の個数を閉区間 [0, 3] で求めてください。t の範囲ごとに答えてください。

解答と解き方

1. p(x) = x³ + 2x − 5 は連続、微分可能です。端点と導関数を調べます。

p(1) = 1 + 2 - 5 = -2
p(2) = 8 + 4 - 5 = 7
p′(x) = 3x² + 2 > 0

異符号なので内部に少なくとも1個あり、増加するので高々1個です。答えは1個です。元の条件に戻すと両端は解でなく、得られた解は指定された開区間内にあります。

2. q(x) = x² − 4x + 3 と置きます。連続性と微分可能性を満たし、次のように減少します。

q(0) = 3
q(2) = 4 - 8 + 3 = -1
q′(x) = 2x - 4 < 0  （0 < x < 2）

両端が異符号で、区間全体で狭い意味で減少するので答えは1個です。実際に q(x) = (x − 1)(x − 3) です。候補1と3を元の方程式へ戻すとともに区間を調べれば、1は含まれ3は含まれません。

3. r(x) = x² − 6x + 9 は連続、微分可能です。平方の形にすると、零になる位置が見えます。

r(x) = (x - 3)²
r(x) = 0
x = 3

3は 1 < 3 < 5 を満たすので答えは1個です。元の左辺に3を入れると 9 − 18 + 9 = 0 です。両端の値はともに4ですが、途中で0に触れるので、同符号から解なしとはできません。

4. s(x) = x³ − 9x は連続、微分可能です。因数分解してから端点を調べます。

s(x) = x(x² - 9)
     = x(x - 3)(x + 3)
s(x) = 0
x = -3, 0, 3

-3 と 0 は [-3, 3) に入り、3 は右端なので入りません。答えは2個です。両候補を元の左辺に戻すと、それぞれ -27 + 27 = 0、0 − 0 = 0 です。除いた3も方程式の解ですが、指定区間の解ではありません。

5. u(x) = x² − 2x と置きます。連続かつ微分可能で、区間を1で分けます。

u′(x) = 2x - 2
u(0) = 0
u(1) = -1
u(3) = 3

[0, 1] で減少し、[1, 3] で増加します。したがって t < -1 または t > 3 なら0個、t = -1 なら1個、-1 < t <= 0 なら2個、0 < t <= 3 なら1個です。t = 0 では左端0と内部の2を含み、t = 3 では右端3を含みます。

境界を元の式で確かめます。t = -1 では (x − 1)² = 0 なので1、t = 0 では x(x − 2) = 0 なので0と2、t = 3 では (x − 3)(x + 1) = 0 なので区間内は3です。各候補は元の左辺をそれぞれ指定の t に戻し、除外した -1 は区間外です。

覚えておくこと

• 連続な関数で端点が異符号なら、内部に解が少なくとも1個あります。
• 狭い意味の単調性は、同じ区間に解が高々1個である根拠です。
• 導関数の零点で区間を分け、共通端点の解は1回数えます。
• 開端点は除き、閉端点は代入して解なら数えます。

詰まった箇所を式に戻す

存在は説明できるのに個数が決まらないときは、答案の「1個」の前に、高々1個といえる式があるか探します。f′(x) の符号が区間全体で一定なら、その理由を添えて増減を書きます。一定でなければ、零点を境にした各区間の値域を並べ、境界の解を重複なく数えます。

個別指導で確かめるなら、まず端点に丸と白丸を付け、f(a)、f(b)、f′(x) を順に書いて説明してみてください。符号が同じ場合や導関数が0となる場合にも、何が言え、何がまだ言えないかを言葉にすると、誤った飛躍を見つけられます。解の存在と一意性を別々に積み上げれば、指定区間の実数解を数え切れます。