高校数学II 接点での接線—傾きと通る点をそろえて直線の式を仕上げる｜武蔵野個別指導塾

傾きと座標を使い、水平な場合や代入での誤答修正まで読み解く接点での接線です。

よくあるのは、高校生が曲線の接線の傾きまで求め、切片を落として答えにする場面です。傾きが合っていても、その直線が指定された接点を通るとは限りません。例えば傾きが 2 の直線は何本もあります。どの1本なのかを決めるには、曲線上の接点の座標も必要です。接点の横座標から縦座標を求め、傾きと組にして式に入れましょう。

問題文から拾うもの

典型的な問いの1つは、曲線の式と接点の横座標が与えられ、接線の方程式を求めるものです。このとき横座標を元の関数に入れて縦座標を、導関数に入れて傾きを求めます。2つの代入先は似ていますが、表す量が異なります。接点の座標が両方書かれている場合も、その点が曲線上にあることを先に確かめます。

もう1つは、曲線上の指定された点で接線が水平になる条件を使う問いです。水平な直線の傾きは 0 ですから、導関数の値を 0 と置きます。ただし、接線は常に横軸になるわけではありません。接点の高さが 0 以外なら、その高さを通る水平線です。

文字を含む関数について、指定された点での接線がある式になるよう係数を決めることもあります。直線の一致には傾きだけでなく通過点も必要です。問題に書かれた点が曲線上にある条件と、接線の傾きの条件を分けて式にします。

接点と傾きが直線を決める

多項式 f(x) は各点で微分可能です。曲線 y = f(x) 上の横座標 a の点を P とすると、その座標は P(a, f(a)) です。そこでの微分係数 f′(a) は、接線の傾きを表します。傾き m で点 (a, b) を通る直線は y − b = m(x − a) なので、接線は次の式です。

y - f(a) = f′(a)(x - a)

この式は暗記した形に数を押し込むだけでなく、2つの条件から読み直せます。右辺の x の係数が傾き f′(a) です。また x = a とすると右辺は 0 になり、y = f(a) です。したがって指定点を通ります。傾きと1点が定まれば直線は1本に定まります。

図1のように、曲線上の点とその点における傾きを組にします。図の曲線は y = x²、点は (1, 1)、接線は y = 2x − 1 です。点の近くで曲線と直線は同じ傾きを持ちますが、離れた場所で両者が一致する必要はありません。

図1では接線が原点を通らないことにも注目してください。傾き 2 から直ちに y = 2x とすると、平行な別の直線になります。切片は接点を通る条件から決まります。

f′(a) = 0 のときも公式はそのまま使えます。右辺が 0 になり、接線は y = f(a) です。傾きが 0 という情報と、高さが 0 という情報は別です。また、接線と曲線が接点以外で交わる場合もあります。接することを「共有点が他にない」と定義してはいけません。

基本例題：横座標から点を作る

曲線 y = x² + x − 1 の横座標が 2 の点における接線の方程式を、y = mx + n の形で求めてください。

多項式なので x = 2 で微分可能です。まず元の式から接点の高さを計算します。

f(2) = 2² + 2 - 1
     = 5

したがって接点は (2, 5) です。次に導関数からその点の傾きを求めます。

f′(x) = 2x + 1
f′(2) = 2・2 + 1
      = 5

図2のように、点 (2, 5) を通り傾きが 5 の直線を考えます。点と傾きの式へ代入して整理します。

y - 5 = 5(x - 2)
y - 5 = 5x - 10
y = 5x - 5

答えは y = 5x − 5 です。図2の直線に x = 2 を戻すと y = 5 で、接点を通ります。直線の傾き 5 は f′(2) と一致します。この2つを確認すると、傾きの計算と切片の計算を別々に点検できます。

例えば y = 5x としてしまうと傾きは正しいものの、x = 2 で y = 10 となり接点を通りません。逆に y = 4x − 3 は (2, 5) を通りますが、傾きが 4 なので接線ではありません。どちらの条件を落としたかが、代入と傾きの比較で区別できます。

標準例題：水平な接線の高さ

曲線 y = x² − 6x + 11 の横座標が 3 の点における接線の方程式を、y = 定数の形で求めてください。

この関数も多項式なので指定点で微分可能です。まず接点の高さと傾きを求めます。

f(3) = 3² - 6・3 + 11
     = 2
f′(x) = 2x - 6
f′(3) = 2・3 - 6
      = 0

接点は (3, 2)、傾きは 0 です。点と傾きを接線の式に入れます。

y - 2 = 0(x - 3)
y - 2 = 0
y = 2

答えは y = 2 です。x = 3 のとき直線の高さは 2 で、曲線の高さと一致します。直線の傾きも 0 です。y = 0 とした場合は傾きは合いますが、接点の高さが 2 であることに反します。

なお、この問いは接点の横座標が最初から指定されています。水平になる点を別に探す必要はありません。指定がなければ f′(x) = 0 を解いて候補を探し、それぞれの高さを求める手順になります。傾きが 0 となる点が存在しない関数もあるので、方程式に実数解があるかを確かめます。

発展例題：接点と接線から係数を決める

曲線 y = x³ + ax² + b が点 (1, 2) において直線 y = 4x − 2 に接するとき、実数 a、b を既約分数で求めてください。

指定点は直線上にあります。曲線がその点を通る条件と、そこでの傾きが4になる条件を使います。多項式なので x = 1 で微分可能です。

1 + a + b = 2
a + b = 1
f′(x) = 3x² + 2ax
f′(1) = 3 + 2a
3 + 2a = 4
2a = 1
a = 1/2
b = 1 - 1/2
b = 1/2

答えは a = 1/2、b = 1/2 です。x = 1 で曲線の高さは 1 + 1/2 + 1/2 = 2、傾きは 3 + 1 = 4 です。したがって接線は y − 2 = 4(x − 1)、すなわち y = 4x − 2 となり、指定された直線に戻ります。

条件が矛盾する場合もあります。例えば、指定された直線が接点として指定された点を通らなければ、係数をどう選んでもその点での接線にはなりません。点を代入する最初の確認は、存在しない答えを探し続けることを防ぎます。

誤答を点への代入で直す

基本例題では傾きが 5 なので、誤って接線を y = 5x と書いたとします。図3のように、この直線は正しい接線と平行ですが、接点 (2, 5) を通りません。x = 2 を代入すると y = 10 になり、曲線の値 5 と食い違います。

図3の誤りを直すには、y = 5x + n と置いて接点を代入します。

5 = 5・2 + n
5 = 10 + n
n = -5
y = 5x - 5

傾きだけで直線を決めたことが原因です。切片を求め直す代わりに、最初から y − 5 = 5(x − 2) と書いても同じ答えになります。接点を入れ忘れた答案と、傾きの計算を間違えた答案では修正する場所が違います。接点への代入と導関数との比較を両方行いましょう。

接点の横座標を導関数へ入れた値を、接点の縦座標と取り違えることにも注意します。基本例題では偶然どちらも 5 ですが、一般には一致しません。元の関数から座標、導関数から傾き、と計算の横に役割を書くと区別できます。

練習問題

それぞれ接線の方程式を y = mx + n の形で求めてください。問4は y = 定数の形、問5は係数を分数で答えてください。

1. 曲線 y = x² − 2x + 4 の横座標が -1 の点における接線。
2. 曲線 y = 2x² + 3 の横座標が 1 の点における接線。
3. 曲線 y = x³ − 2x の横座標が -2 の点における接線。
4. 曲線 y = x² + 4x + 7 の横座標が -2 の点における接線。
5. 曲線 y = x² + ax + b が点 (2, 3) において直線 y = 5x − 7 に接するときの実数 a、b。

答えと解き方

問1

多項式なので指定点で微分可能です。座標と傾きを別々に求めます。

f(-1) = (-1)² - 2(-1) + 4
      = 7
f′(x) = 2x - 2
f′(-1) = -4
y - 7 = -4(x + 1)
y = -4x + 3

答えは y = -4x + 3 です。x = -1 を戻すと y = 7、傾きは -4 で、曲線の点と微分係数に一致します。

問2

f(1) = 2・1² + 3
     = 5
f′(x) = 4x
f′(1) = 4
y - 5 = 4(x - 1)
y = 4x + 1

答えは y = 4x + 1 です。x = 1 で高さ 5、傾き 4 となり、与えられた曲線の接点と傾きに戻ります。

問3

f(-2) = (-2)³ - 2(-2)
      = -4
f′(x) = 3x² - 2
f′(-2) = 3・4 - 2
       = 10
y + 4 = 10(x + 2)
y = 10x + 16

答えは y = 10x + 16 です。x = -2 を直線へ戻すと y = -4、傾きは 10 です。負の接点の座標を移項すると y + 4 になることに気をつけます。

問4

f(-2) = (-2)² + 4(-2) + 7
      = 3
f′(x) = 2x + 4
f′(-2) = 0
y - 3 = 0(x + 2)
y = 3

答えは y = 3 です。x = -2 における曲線の高さ 3 を通り、傾きは 0 です。水平だからといって横軸と決めると、接点を通る条件が壊れます。

問5

指定直線は x = 2 のとき y = 3 となり、指定点を通ります。曲線の値と傾きの条件を立てます。

3 = 2² + 2a + b
2a + b = -1
f′(x) = 2x + a
f′(2) = 4 + a
4 + a = 5
a = 1
2 + b = -1
b = -3

答えは a = 1、b = -3 です。分数で表せば a = 1/1、b = -3/1 です。元の曲線は x = 2 で 4 + 2 − 3 = 3 となり、その傾きは 4 + 1 = 5 です。指定直線も同じ点を通り傾きが 5 なので、接線として一致します。

条件が合わないときの点検

答えを検査するときは、式をもう一度変形するだけでなく、問題に与えられた状況へ戻します。指定された点が曲線上になければ、その点における接線という条件自体を満たせません。例えば曲線 y = x² 上の点として (2, 5) が指定されていたら、x = 2 のとき曲線の値は 4 です。この点は曲線上にないので、そこでの接線は定まりません。数字を勝手に直して計算を続けず、条件の食い違いを示します。

また、接点が正しくても、直線がその点を通るとは限りません。傾きと接点をそれぞれ確かめてから、完成した直線に接点を代入します。代入が成功した場合でも、別の傾きの直線が同じ点を通る可能性があるため、導関数の値との比較が必要です。反対に傾きが一致しても、平行移動した直線は接点を通らないことがあります。検査の2項目は互いの代わりになりません。どちらも元の条件へ戻すための操作です。

水平接線でも同じ点検が使えます。接線が y = c なら、傾きは 0 ですが、曲線の指定点の高さが c と等しいことも必要です。もし導関数の値が 0 でなければ、その点を通る水平線は接線ではありません。式の形だけで判断せず、指定された位置での傾きへ戻ることが修正の手がかりです。

高さを変えた曲線の接線を比べる

元の関数に定数を足したとき、接点と接線がどう変わるかも点検に使えます。自作の例として、y = x² − 4x + 1とy = x² − 4x + 6について、横座標1での接線をそれぞれy = mx + nの形で求めます。どちらも多項式なので微分可能です。導関数はいずれも2x − 4で、横座標1での傾きは-2になります。ただし、接点の高さは同じではありません。

前の曲線ではf(1) = 1 − 4 + 1 = -2なので、接線はy + 2 = -2(x − 1)、整理してy = -2xです。後の曲線ではg(1) = 1 − 4 + 6 = 3なので、接線はy − 3 = -2(x − 1)、整理してy = -2x + 5です。傾きが共通でも、接点の高さが5違うため、切片も5違います。x = 1を戻すと、前は-2、後は3となり、各曲線の高さと一致します。

一般に、定数cを足したg(x) = f(x) + cでは、g′(x) = f′(x)です。同じ横座標で接線の傾きは保たれ、高さがcだけ変わります。この関係を使えば、関数の定数項を変えたのに接線を同じ式で答えた誤りに気づけます。微分で消える定数も、接点の高さには残っています。導関数だけを見ず、元の関数への代入が必要な理由を、この2本の接線から確認できます。

手元に残す確認

接点の高さは元の関数に横座標を代入して求めます。 傾きは導関数に同じ横座標を代入して求めます。 直線には傾きと接点の両方を入れます。 完成した式は接点への代入と傾きの比較で確かめます。

どこで止まったかを見分ける

接線の答えが合わないときは、まず求めた点を曲線の式へ戻します。ここで合わなければ、関数値の代入や負号の処理を確認します。点が合っているのに接線がその点を通らなければ、直線の式への代入や展開を見直します。点を通っていても傾きが違うなら、導関数と微分係数の計算に戻ります。

個別指導で説明するなら、答案に書いた接点と傾きを指し、それぞれ元の式と導関数のどちらから求めたかを言葉にしてみてください。さらに接線の式に接点の横座標を代入し、縦座標に戻るかを確かめます。接点を通ることと傾きが合うことを並べれば、直線が決まる理由まで説明できます。