高校数学II 微分係数の条件—一点の傾きから多項式の未知係数を決める｜武蔵野個別指導塾

曲線上の点の高さと一点の傾きを別々に式へ移し、未知係数が決まる場合と条件が矛盾する場合を見分けます。

よくあるのは、高校生が曲線上の点とそこでの傾きを読み取り、どちらにも同じ条件式を置いてしまう場面です。点の高さと、その点でどちらにどれくらい傾くかは別の情報です。未知係数を決めるには、関数の式へ座標を代入する操作と、差商の極限を取る操作を分けます。式を立てた後も、解があるか、ただ1組に決まるかを元の条件まで戻して調べましょう。

何を式にするか

よく出会う型は、指定された点を通り、その点で指定された傾きを持つ多項式の係数を決める問題です。例えば f(2) = 5 は、x が 2 のときの高さが 5 という意味です。一方、x = 2 における微分係数が 5 という条件は、そこでの接線の傾きが 5 という意味です。同じ数が現れても、2つの操作は異なります。

別の型では、2か所の微分係数が指定されます。その場合はそれぞれの点で差商を作り、2本の条件式を得ます。関数値の指定がなければ定数項が決まらないこともあります。さらに、文字を含む条件では連立方程式が矛盾したり、同じ式になって係数が何組も残ったりします。未知数の個数と式の本数を見ることは出発点ですが、それだけで解の個数は決まりません。連立した式を整理した結果、0 = 1 のような矛盾が出たら解はありません。0 = 0 だけが残れば、その式は新たな制約を与えません。残った式に自由な文字があるかまで調べます。

以下では多項式の差を展開して微分係数を定義から求めます。導関数の公式は使いません。接線の式全体や増減を調べることより、一点の値と傾きを係数の条件へ翻訳することに焦点を当てます。

点の高さと傾きは別の情報

関数 f について、x = a での微分係数は、次の極限が存在するとき、その値として定義されます。

lim[h→0] (f(a + h) - f(a))/h

ここで差商を作る間は h ≠ 0 です。分子を展開して h で割れる形にし、約分した後に h を 0 に近づけます。最初から h = 0 とすると分母も分子も 0 になり、割り算が定義されません。対象が多項式なら、展開後の差商は h を含む多項式になり、h を 0 に近づけた値を求められます。

図1のように、関数値は点の高さを、微分係数はその点を通る接線の傾きを表します。傾きは横に 1 進むときの縦の変化の割合です。高さが等しい点でも傾きは同じとは限らず、水平な接線の傾きは 0 ですが、その点の高さが 0 とは限りません。

例えば f(x) = ax² + bx + c なら、a、b、c は x によらない実数です。混同を避けるため、点の横座標を t と置くと、差商は次のようになります。

f(t + h) - f(t)
= a(t² + 2th + h²) + b(t + h) + c - (at² + bt + c)
= 2ath + ah² + bh
= h(2at + ah + b)
(f(t + h) - f(t))/h = 2at + ah + b   (h ≠ 0)
lim[h→0] (f(t + h) - f(t))/h = 2at + b

定数項 c は差を取ったときに消えます。したがって傾きだけでは c を決められません。これは定数項を無視してよいという意味ではなく、関数値の条件に c が残るという意味です。まず条件ごとに式を作り、最後にまとめて解きます。

基本例題: 1点の高さと傾き

実数 a、b に対し f(x) = ax² + bx + 1 とします。f(1) = 4 であり、x = 1 における微分係数が 5 のとき、a、b を整数で求めてください。

図2の点は (1, 4) です。そこを通る直線の傾きが 5 であることと、点の高さが 4 であることを、それぞれ別の式にします。多項式なので、以下の差商の極限が存在します。

まず関数値から、次の式を得ます。

f(1) = a + b + 1
 a + b + 1 = 4
 a + b = 3

次に差商を作ります。1つ前の式を使い回すのではなく、f(1 + h) と f(1) の差を計算します。

f(1 + h) - f(1)
= a(1 + 2h + h²) + b(1 + h) + 1 - (a + b + 1)
= 2ah + ah² + bh
= h(2a + ah + b)
(f(1 + h) - f(1))/h = 2a + ah + b   (h ≠ 0)
lim[h→0] (f(1 + h) - f(1))/h = 2a + b

傾きが 5 なので、2a + b = 5 です。2本の式の差を取ります。

2a + b = 5
 a + b = 3
 a = 2
 b = 3 - 2
 b = 1

答えは a = 2、b = 1 です。元の場面へ戻すと、f(1) = 2 + 1 + 1 = 4 です。また f(1 + h) − f(1) = 5h + 2h² なので、差商は 5 + 2h となり、その極限は 5 です。点の高さと傾きの両方が指定に合います。片方だけを確認すると、もう片方の条件式の誤りを見落とします。

標準例題: 異なる2点の傾き

実数 p、q、r に対し g(x) = px² + qx + r とします。g(0) = -2、x = -1 での微分係数が -1、x = 2 での微分係数が 5 です。p、q、r を整数で求めてください。

まず g(0) = r なので r = -2 です。傾きについては点を t として差商を作り、その後で -1 と 2 を代入します。g は多項式であり、この極限は存在します。

g(t + h) - g(t)
= p(t² + 2th + h²) + q(t + h) + r - (pt² + qt + r)
= h(2pt + ph + q)
(g(t + h) - g(t))/h = 2pt + ph + q   (h ≠ 0)
lim[h→0] (g(t + h) - g(t))/h = 2pt + q

それぞれの点の傾きを入れて連立します。

-2p + q = -1
4p + q = 5
6p = 6
p = 1
q = -1 + 2p
q = 1
r = -2

したがって g(x) = x² + x − 2 です。g(0) = -2 を直接確認します。また差商の極限は t に対し 2t + 1 なので、t = -1 では -1、t = 2 では 5 です。2点で傾きの違いが 6 あることも条件どおりです。傾きの2式から p、q は定まりますが、r は両式に現れません。高さの情報が r を決める役割を持っています。

発展例題: 条件が両立するか

実数 a、b、k に対し u(x) = ax² + bx とします。u(1) = 3、u(2) = 6、x = 1 での微分係数が k です。条件を満たす a、b が存在する k を整数で求め、そのときの a、b も整数で求めてください。

値の条件を先に使うと、係数が決まるかどうか見通せます。u は多項式なので、傾きは差商の極限で求められます。

u(1) = a + b = 3
u(2) = 4a + 2b = 6
2a + b = 3
(2a + b) - (a + b) = 3 - 3
a = 0
b = 3

この候補が指定された傾きも持つかを調べます。a = 0 だからといって問題を終えず、元の差商へ戻します。

u(1 + h) - u(1) = 3(1 + h) - 3
= 3h
(u(1 + h) - u(1))/h = 3   (h ≠ 0)
lim[h→0] (u(1 + h) - u(1))/h = 3
k = 3

よって k = 3 のときに限り、a = 0、b = 3 です。実際に u(x) = 3x は u(1) = 3、u(2) = 6 を満たし、傾きも 3 です。k が 3 以外なら、高さの条件から強制される直線の傾きと矛盾するため解はありません。ここで問題文が a ≠ 0 と指定していたら、k = 3 を含めて解はありません。次数の指定や係数の範囲も元の条件として確認します。

反対に、式が重なる場合は解が無数に残ることがあります。例えば v(x) = ax² + bx に v(1) = 2 と 2v(1) = 4 を課しても、どちらも a + b = 2 を表します。a を任意の実数とし b = 2 − a とすれば両方を満たします。式が2本あっても独立した情報が2つとは限りません。

誤答を直す: 高さを傾きにしない

基本例題で「f(1) = 4 だから傾きも 4」として a + b + 1 = 4 を2回使う答案を考えます。図3のように、点の高さと接線の傾きは異なる量です。同じ条件を2回書いても傾きが 5 であることは使っていません。

修正するには、誤って重複した式の片方を消し、f(1 + h) − f(1) を展開します。h ≠ 0 のもとで割り、h を 0 に近づけると 2a + b = 5 です。例えば誤った式だけなら a = 0、b = 3 も候補に入りますが、このとき f(x) = 3x + 1 で傾きは 3 です。点 (1, 4) は通っても、指定された傾き 5 に合いません。

もう1つの失敗は、h を約分する前に 0 と置くことです。0/0 は数ではなく、そこから傾きを読み取れません。差を先に因数分解してから h ≠ 0 を明記して割れば、近づける操作が可能になります。最後に、連立方程式から求めた数を代入し、高さと傾きの両方を確認します。

練習問題

係数はすべて実数とします。各問とも答えを整数または分数で示し、解がない場合や複数ある場合はそのことも示してください。傾きは差商の定義から求めます。

1. f(x) = ax² + bx + 2 が f(2) = 8 を満たし、x = 2 での微分係数が 7 です。a、b を求めてください。
2. g(x) = px² + qx − 3 が g(-1) = 0 を満たし、x = -1 での微分係数が -5 です。p、q を求めてください。
3. s(x) = ax² + bx + c について s(0) = 4、x = 1 と x = 3 での微分係数がそれぞれ 2、10 です。a、b、c を求めてください。
4. t(x) = ax² + bx が t(1) = 1、t(2) = 2 を満たし、x = 1 での微分係数が 2 です。a、b を求めてください。
5. w(x) = ax² + bx + c が w(0) = 1 を満たし、x = 0 での微分係数が -2 です。a、b、c の組をすべて表してください。

練習の答えと解き方

どの問でも二次式の差を展開すると、x = t での差商は 2at + ah + b の形になり、h ≠ 0 で割った後の極限は 2at + b です。係数名が異なる場合も同じ展開を使います。

1の答え

4a + 2b + 2 = 8
2a + b = 3
4a + b = 7
2a = 4
a = 2
b = -1

f(2) = 2・4 − 2 + 2 = 8 です。x = 2 で差商は 7 + 2h なので、傾きは 7 です。点の高さと傾きが両方戻ります。

2の答え

p - q - 3 = 0
p - q = 3
-2p + q = -5
-p = -2
p = 2
q = -1

g(-1) = 2 + 1 − 3 = 0 です。x = -1 での差商は -5 + 2h であり、その極限は -5 です。負の横座標を値の式と傾きの式の両方に代入しています。

3の答え

c = 4
2a + b = 2
6a + b = 10
4a = 8
a = 2
b = -2
c = 4

s(0) = 4 です。点 t における差商は 4t − 2 + 2h ですから、t = 1 と t = 3 の極限は順に 2、10 です。差を取って a を求めた後、b の符号も元の2本に戻します。

4の答え

a + b = 1
4a + 2b = 2
2a + b = 1
a = 0
b = 1

この候補は t(x) = x です。t(1) = 1、t(2) = 2 ですが、x = 1 での差商は 1 で、指定の 2 に一致しません。したがって解はありません。高さの条件を満たす候補が見つかっても、傾きの条件を落とせません。

5の答え

w(0) = c = 1
(w(h) - w(0))/h = ah + b   (h ≠ 0)
lim[h→0] (w(h) - w(0))/h = b
b = -2

a は任意の実数で、組は (a, b, c) = (a, -2, 1) です。実際にどの a でも w(0) = 1 で、差商は ah − 2 となり極限は -2 です。a を1つに決めるための情報は与えられていません。

覚えておくこと

• 点を通る条件は関数値へ代入します。
• 傾きの条件は差商の極限から作ります。
• 約分は h ≠ 0 で行い、その後で極限を取ります。
• 連立後は解の有無と元の条件を調べます。

式が止まったときの見分け方

関数値と傾きの条件を同じ式にした場合は、「この式は点の高さを表すのか、差商の極限を表すのか」と横に書いてみます。高さの式しかなければ、近くの点との差を作るところからやり直します。逆に傾きの式しかない場合は、指定された点の座標を元の関数に代入します。

個別指導で確かめるなら、まず f(a + h) − f(a) を括弧つきで書き、定数項が消える理由を自分の言葉で説明してみましょう。次に h で割れる条件と極限を取る順序を確認し、最後に候補を高さと傾きの両方へ戻します。条件が矛盾する場合や自由な係数が残る場合も、この往復で区別できます。点の高さと傾きの違いが、係数を決める式の違いを生みます。