高校数学III・C 複素数と三角形の面積—回転と偏角から高さと面積の条件を結ぶ｜武蔵野個別指導塾

回転する頂点の高さを距離に直し、絶対値を含む面積の式と角度範囲を照合して解の過不足を見直せます。

よくあるのは、理系高3の演習で、回転する点の符号つきの高さをそのまま面積にする場面です。点が固定した辺の上側にある間は計算が合っても、下側へ移ると負の値が出ます。面積は負にならないので、位置と符号を確認する必要があります。複素数の回転を高さに結び、角度の範囲に戻して条件を確かめましょう。

回転から何を求めるか

典型的な問いは3つあります。第1に、回転角が与えられたときの面積です。固定辺を底辺に選び、回転した頂点からその直線への距離を高さにします。点が辺の延長上にあっても、底辺を含む直線への距離を使えます。

第2に、面積が指定されたときの回転角です。絶対値を含む三角方程式を解き、問題の角度範囲にある解を拾います。途中で2乗した場合は、元の式に戻して余分な解がないことを確かめます。

第3に、角度が一定範囲を動くときの面積の最大値や実現範囲です。正弦の値域を角度範囲に合わせて調べ、端点が含まれるかも見ます。円全体の値域を無条件に使うと、動点が届かない高さを含めることがあります。

複素数の差から高さへ

異なる2点 A、B を表す複素数を a、b とし、点 P を z とします。a を引けば A が原点に移り、b − a は辺 AB の向きと長さを表します。0でない複素数 b − a の絶対値は底辺の長さ |b − a| です。

複素数 w = (z − a)/(b − a) を考えます。分母は A と B が異なるので0ではありません。w = (z − a)/(b − a) は、A を原点へ移した後、辺 AB が正の実軸に重なるように回し、長さを |b − a| で割る変換です。w = u + vi とおくと、その座標では P の底辺を含む直線からの距離は |v| です。元の図形の高さは |b − a||v| となります。

したがって、面積 S は次の式です。Im w は w の虚部を表します。

S = (1/2)|b - a|・|b - a|・|Im w|
  = (1/2)|b - a|²・|Im ((z - a)/(b - a))|

この式は向きを持つ高さを最後に距離へ直しています。図1のように、辺の向きに合わせた座標では、直線の両側にある点の虚部の符号が逆でも、距離はともに正です。P が直線上なら高さは0で、面積も0です。問題が三角形の3頂点を一直線上に置かないときは、この退化した位置を除きます。

回転の中心が A で、AP の長さが r、辺 AB から AP への有向角が θ なら、高さは r|sin θ| です。よって S = (1/2)|b − a|r|sin θ| です。θ は辺の向きを基準にした角です。原点から見た偏角をそのまま代入するのではなく、arg(z − a) − arg(b − a) を考えます。偏角は0でない複素数に対して定まり、角の差は2πの整数倍を除いて同じです。

例えば A を中心に z − a = r(cos t + i sin t) と表しても、AB が実軸と平行でなければ高さは単に r|sin t| ではありません。底辺の方向が角 α なら r|sin(t − α)| とします。回転による表現と固定辺への垂直距離を結ぶ箇所が、面積の立式の要です。

基本例題：実軸の下側まで動く点

A は 0、B は 4 を表します。点 P は z = 2(cos t + i sin t)、0 ≦ t ≦ 3π/2 で動きます。面積 S を t の式で表し、S = 2 となる t をすべて正確な式で求めてください。面積0の位置も動点の範囲に含めます。

AB は長さ4の実軸上の線分です。P の座標は (2 cos t, 2 sin t) なので、底辺を含む直線への距離は |2 sin t| です。図2のように、P が実軸より下にあるときも高さは距離として測ります。

S = (1/2)・4・|2 sin t|
  = 4|sin t|

指定された面積を代入すると、次の条件を得ます。

4|sin t| = 2
|sin t| = 1/2
sin t = 1/2 または sin t = -1/2

0 ≦ t ≦ 3π/2 では、sin t = 1/2 の解は π/6、5π/6 です。sin t = -1/2 の解は 7π/6 です。11π/6 は範囲外なので入れません。したがって答えは t = π/6、5π/6、7π/6 です。

それぞれの高さは1で、底辺4から面積は2に戻ります。t = 0、π では高さ0、t = 3π/2 では高さ2なので、いずれも指定された面積ではありません。下側の解を落とさず、範囲外の解を加えないことがこの答案の確認点です。

標準例題：斜めの辺を基準にする

A、B はそれぞれ a = 1 + i、b = 3 + 3i を表します。P は z = a + 4(cos t + i sin t)、0 ≦ t < 2π で動きます。三角形 ABP の面積が 4 となる t を正確な式で求めてください。ここで面積0の位置も動点の範囲に含めます。

まず底辺の方向を求めます。b − a = 2 + 2i なので、長さは 2√2、方向の角は π/4 です。AP の長さは4で、AB から AP への有向角は t − π/4 と取れます。したがって、S を面積として次を得ます。

S = (1/2)・2√2・4・|sin(t - π/4)|
  = 4√2|sin(t - π/4)|

S = 4 は |sin(t − π/4)| = 1/√2 と同値です。u = t − π/4 とおくと、-π/4 ≦ u < 7π/4 です。この範囲で該当する u は -π/4、π/4、3π/4、5π/4 です。右端の 7π/4 は含まれず、左端の -π/4 と同じ向きを重複して数えません。

t = u + π/4
  = 0、π/2、π、3π/2

実際に t = 0 なら AP は右向きで長さ4、斜めの底辺との角の正弦の絶対値は √2/2 です。残りの3方向でもその絶対値は √2/2 なので、面積は各々4に戻ります。t = π/4 と 5π/4 では3点が一直線上にあり、面積は0です。底辺の偏角を引く操作によって、座標軸と傾いた直線との違いを処理できます。

発展例題：面積の範囲と等号

A は 0、B は 6 を表します。P は z = 3(cos t + i sin t)、-π/6 ≦ t ≦ 2π/3 で動きます。面積 S の取り得る範囲を正確な式で求め、最大値を与える t を答えてください。一直線上の位置も許します。

固定辺の長さは6、動く辺の長さは3です。底辺が実軸上なので、P の高さは 3|sin t| です。よって

S = (1/2)・6・3|sin t|
  = 9|sin t|

角度範囲には t = 0 が含まれ、そのとき S = 0 です。また |sin t| ≦ 1 であり、範囲内の t = π/2 で等号が成り立ちます。したがって S ≦ 9 で、最大値は9です。この区間で |sin t| = 1 となるのは t = π/2 です。

さらに、0 ≦ t ≦ π/2 は指定区間に含まれ、この区間で sin t は0から1まで連続して動きます。連続性と中間値の性質から、その間のどの値も実現します。よって答えは 0 ≦ S ≦ 9、最大となる角は t = π/2 です。最大と最小が存在することだけでは、その間の値が実現する説明にはならないので、この一文を添えます。

端点を元の図へ戻すと、t = -π/6 の高さは 3/2 で面積は 9/2、t = 2π/3 の高さは 3√3/2 で面積は 9√3/2 です。両端の値は最大ではありません。もし問題が一直線上の3点を除けば、t = 0 を除くため面積の範囲は 0 < S ≦ 9 に変わります。0に近い正の角は許されるので、正の面積をいくらでも0に近づけられますが、0自体は実現しません。

符号を面積に持ち込んだ答案を直す

固定辺を実軸上に取り、長さを L、回転半径を r としたとき、誤った答案には「高さは r sin t だから S = Lr sin t / 2」と書かれることがあります。0 < t < π の位置では値が合うため、誤りが見えにくい式です。しかし π < t < 2π では sin t < 0 となり、面積が負になります。

原因は、虚部という符号つきの座標と、直線からの距離を区別しなかったことです。図3のように上側と下側の点は符号が逆でも、底辺までの距離は同じになり得ます。正しい答案では、高さを r|sin t| として S = Lr|sin t| / 2 と書きます。

別の誤りは、|sin t| = c を sin t = c とだけ直すことです。0 < c < 1 なら sin t = -c の場合も必要です。c が負なら解はなく、c > 1 でも正弦の値域から解はありません。c = 0 や c = 1 では2つの場合の重複や端点に注意します。角度の候補を列挙した後、最初の範囲へ戻すところまで書けば、解の過不足を点検できます。

練習：条件を図に戻す5問

各問の角度と面積は正確な式で答えてください。一直線上の点も動点として許します。

1. A = 0、B = 8、P = cos t + i sin t、0 ≦ t < 2π とします。面積が 2 となる t を求めてください。
2. A = 0、B = 2i、P = 3(cos t + i sin t)、0 ≦ t < 2π とします。面積が 3/2 となる t を求めてください。
3. A = 2 − i、B = 5 − i、P = A + 2(cos t + i sin t)、π ≦ t ≦ 3π/2 とします。面積の範囲と最大となる t を求めてください。
4. A = 0、B = 5、P = 2(cos t + i sin t)、0 ≦ t ≦ π/3 とします。面積が 5 となる t の有無を求めてください。
5. A = 1、B = 1 + 4i、P = 1 + 2(cos t + i sin t)、0 ≦ t < 2π とします。面積が0となる t と、そのときの P を求めてください。

練習の解答と照合

1. 底辺は8、高さは |sin t| です。したがって

S = (1/2)・8・|sin t|
  = 4|sin t|
|sin t| = 1/2

指定範囲の解は t = π/6、5π/6、7π/6、11π/6 です。各点の高さは1/2なので、元の底辺と掛けると面積2です。端点 0 は高さ0で、2π は範囲外です。

2. 底辺は虚軸上で長さ2です。高さは横座標の絶対値なので 3|cos t| です。

S = (1/2)・2・3|cos t|
  = 3|cos t|
|cos t| = 1/2

したがって t = π/3、2π/3、4π/3、5π/3 です。各点の横座標の絶対値は 3/2 で、底辺2から面積 3/2 に戻ります。虚軸を底辺とするとき、高さが虚部ではなく実部の絶対値になることが判断の分かれ目です。

3. AB は実軸に平行で長さ3です。平行移動しても距離は変わらないので、高さは 2|sin t| です。

S = (1/2)・3・2|sin t|
  = 3|sin t|

π ≦ t ≦ 3π/2 では sin t は0から-1まで連続して減少します。よって 0 ≦ |sin t| ≦ 1 の値をすべて取り、0 ≦ S ≦ 3 です。最大は t = 3π/2 です。このとき P = 2 − 3i であり、直線 AB との距離は2、面積は3になります。t = π では P = -i で直線上にあり、面積は0です。

4. 底辺は5、高さは 2|sin t| です。指定範囲では sin t ≧ 0 なので

S = 5 sin t
sin t = 1

しかし 0 ≦ t ≦ π/3 では sin t ≦ √3/2 < 1 です。したがって該当する t はありません。端点 t = π/3 でも面積は 5√3/2 で5に届かず、t = π/2 は元の範囲にありません。

5. AB は虚軸に平行で長さ4です。高さは P の実部と1との差の絶対値、すなわち 2|cos t| です。

S = (1/2)・4・2|cos t|
  = 4|cos t|
S = 0
cos t = 0

指定範囲では t = π/2、3π/2 です。対応する点はそれぞれ P = 1 + 2i、1 − 2i です。いずれも実部が1なので直線 AB 上にあり、底辺を含む直線への距離は0です。後者は線分の外側ですが、面積はやはり0です。

答案の最後に見ること

底辺の長さと向きを複素数の差で求めます。
回転角から底辺の方向を引き、高さを距離として表します。
絶対値を外す際は符号と角度範囲を分けます。
端点と一直線上の位置を、問題の条件に照らします。
求めた角を元の面積に戻して照合します。

式が負になった場合は、符号つきの虚部を距離へ直したかを見直します。値が正しくても解の個数が合わない場合は、絶対値の両方の符号と角度の端点を点検します。個別指導では、点を底辺の反対側へ動かした図を描き、どの長さが変わらず、どの符号が変わるかを本人の言葉と式で確かめます。回転の向きと距離の区別が、面積の条件を最後まで支えます。