高校数学II 相互関係での値の決定—与えられた一つの値と角の範囲から残りを求める｜武蔵野個別指導塾

一つの三角関数の値から残りを求める際に、平方根の符号を角の範囲で選び、軸上の例も判定します。

よくあるのは、高2がsinの値を1つ聞いて、cosも正の値に決めてしまう場面です。計算した平方根の大きさが正しくても、角の位置が左半分なら横座標は負です。同じ高さにある点は左右にあり、与えられた情報だけでは答えが分かれることもあります。式を覚えるだけでなく、何が決まり、何がまだ決まらないかを確かめてから計算しましょう。

一つの値から何を決めるか

たとえばsin θと角の範囲が与えられたら、二乗和からcos θの大きさを求め、範囲から符号を選びます。最後にcos θが0でないことを確かめてtan θを出します。cos θから始めるときも、先にsin θの大きさを求め、縦座標の符号を範囲で決めます。

tan θが与えられたときは、商の関係と二乗和を組み合わせます。tan θの符号はsin θとcos θの符号の組を絞りますが、同じ符号の組が2つの象限に現れることがあります。角の範囲がなければ、値の組を複数残す必要があります。

もう1つの型は、与えられた条件が軸上にあるか、そもそも成り立つかを判断する問題です。cos θが0ならtan θは定義できません。また、sin θやcos θの値は-1以上1以下です。この範囲の外の値を与えられた場合、平方根の計算を続けるのではなく、その条件を満たす角がないと答えます。

座標と式を対応させる

半径1の円の中心を原点とし、角θの動径と円との交点をPとします。Pの横座標がcos θ、縦座標がsin θです。原点からの距離が1なので、三平方の定理により次の関係が成り立ちます。ここでsin²θは(sin θ)²、cos²θは(cos θ)²を表します。

sin²θ + cos²θ = 1

図1のように、同じ高さの点でも右側と左側では横座標の符号が違います。縦座標から横座標の二乗を計算すると、その絶対値は決まりますが、左右のどちらかは二乗の式だけでは決まりません。角の範囲を読み、点が右か左かを確かめます。

図1では左右の点の縦座標は同じです。右の点のcosは正、左の点のcosは負です。横座標の符号は第1・第4象限で正、第2・第3象限で負となります。縦座標は第1・第2象限で正、第3・第4象限で負です。軸上の点は象限に含めず、座標を直接読みます。

cos θが0でないとき、tan θは縦座標を横座標で割った値です。この条件を満たす場合に限って、次の2つの式を使えます。

tan θ = sin θ / cos θ
1 + tan²θ = 1 / cos²θ

後の式は、二乗和の両辺を0でないcos²θで割り、sin θ / cos θをtan θに置き換えれば得られます。tan²θは(tan θ)²です。tan θが与えられているときは、その値が定義されているためcos θは0ではありません。一方、tan θが問題に現れず、cos θが0かもしれない段階では、分母の条件を先に調べます。

平方根の符号にも注意します。たとえばx² = 9/25からわかるのはx = 3/5またはx = -3/5です。√(9/25)という記号自体は0以上の平方根を表します。xが負になる条件なら、x = -√(9/25)を選びます。二乗した後に消えた符号を、座標の情報で戻すのです。

基本例題：高さと左側の条件

問題　π/2 < θ < πで、sin θ = 5/13とします。cos θとtan θを分数の厳密値で求めてください。

範囲は第2象限です。図2のように交点は左上にあるため、sin θは正で、cos θは負です。与えられた5/13も0と1の間にあり、第2象限の高さとして矛盾しません。

二乗和にsin θ = 5/13を代入します。式を1行ずつ変えて、cos θの二乗を求めます。

(5/13)² + cos²θ = 1
25/169 + cos²θ = 1
cos²θ = 144/169

二乗の値だけからはcos θ = 12/13またはcos θ = -12/13です。図2では点が縦軸の左側にあるので、負の方を選びます。

cos θ = -12/13

これは0ではないため、商の式を使えます。分数で割るときは割る数の逆数を掛けます。

tan θ = (5/13) / (-12/13)
tan θ = -5/12

答えはcos θ = -12/13、tan θ = -5/12です。点の座標を(-12/13, 5/13)とすると、横座標は負、縦座標は正で、指定された左上の範囲に戻ります。二乗の和は144/169 + 25/169 = 1で、縦座標を横座標で割ると-5/12です。したがって、与えられた高さと求めた正接の両方に合います。

もし角の範囲がなく、sin θ = 5/13だけが与えられていたらどうでしょう。右上の点も条件を満たすため、cos θ = 12/13、tan θ = 5/12の組も残ります。片方の符号を選ぶ根拠は、数値そのものではなく角の範囲です。

標準例題：正接から座標を戻す

問題　3π/2 < θ < 2πで、tan θ = -3/4とします。sin θとcos θを分数の厳密値で求めてください。

範囲は第4象限です。横座標は正、縦座標は負なので、正接が負という条件と一致します。tan θが定義されているためcos θは0でなく、正接を含む相互関係を使えます。

1 + tan²θ = 1 / cos²θ
1 + 9/16 = 1 / cos²θ
25/16 = 1 / cos²θ
cos²θ = 16/25

したがってcos θの候補は4/5と-4/5です。第4象限の横座標は正なので、cos θ = 4/5です。商の式をcos θについて掛け直すとsin θ = tan θ・cos θとなり、次の値が出ます。

sin θ = (-3/4)・(4/5)
sin θ = -3/5

答えはsin θ = -3/5、cos θ = 4/5です。座標(4/5, -3/5)は右下にあり、指定範囲に合います。二乗和は16/25 + 9/25 = 1で、縦を横で割れば-3/4です。正接の符号から第2象限もあり得ますが、今回の範囲が右下を指定しているため、そちらは採用しません。

別の見方として、sin θ = (-3/4)cos θを二乗和に代入しても同じ結果を得られます。このときも二乗から得たcos θの正負を、範囲に戻って選ぶ必要があります。いずれの方法でも、正接の符号だけで横座標の符号を決めないことが要点です。

発展例題：範囲が不足するときの答え

問題　0 ≤ θ < 2πで、sin θ = -8/17とします。可能なcos θとtan θの組をすべて分数の厳密値で求めてください。

与えられた値は負なので、交点は横軸より下にあります。ただし、第3象限と第4象限のどちらかは指定されていません。2つの可能性を残して計算します。

(-8/17)² + cos²θ = 1
64/289 + cos²θ = 1
cos²θ = 225/289

よってcos θは15/17または-15/17です。どちらも0ではないため、各場合に商の式を使えます。第4象限では横座標が正なので、次の組です。

cos θ = 15/17
tan θ = (-8/17) / (15/17)
tan θ = -8/15

第3象限では横座標が負なので、次の組です。

cos θ = -15/17
tan θ = (-8/17) / (-15/17)
tan θ = 8/15

答えは(cos θ, tan θ) = (15/17, -8/15)または(-15/17, 8/15)です。どちらの点も縦座標が-8/17で、二乗和は225/289 + 64/289 = 1です。前者は右下、後者は左下にあり、いずれも0 ≤ θ < 2πの範囲に対応します。二乗の方程式にはこれ以外の実数解がないため、組の候補もこの2つに尽きます。

たとえば問題に「π < θ < 3π/2」という条件が加われば左下の組に絞れます。一方、sin θが-1なら横座標は0になり、2つの符号を並べても同じ0です。この軸上の場合にはtan θを求める割り算ができないため、上の計算をそのまま流用しません。

誤答をほどく：正の平方根だけを選ぶ

基本例題で、次のように書く誤りを考えます。

cos²θ = 144/169
cos θ = 12/13
tan θ = 5/12

最初の行は正しい計算です。誤りは次の行で正の値しか考えず、θが第2象限にあるという条件を使わなかった点にあります。図3のように、正の横座標を採用すると点は右上に移り、指定の左上から外れます。二乗和を満たすだけでは、元の角の範囲を満たしたことにはなりません。

修正するときは、cos θ = ±12/13と候補を置いてから、横座標が負という理由で-12/13を選びます。その後でtan θを計算すれば、符号は負になります。最後の商だけにマイナスを付けても、もとの横座標の誤りが残るので、符号を落とした行まで戻るのが確実です。

別の失敗として、cos θ = 0に対してtan θ = sin θ / 0と書き、そのまま数値にすることがあります。0での割り算はできません。分母が0とわかった時点で「定義できない」と記します。また、sin θ = 6/5のように1を超える値は、円の縦座標として存在しません。根号の中が負になった理由を、与条件が実数の角に合わないこととして説明できます。

練習問題

いずれもθは実数とします。求める値は分数の厳密値で答え、値が定義できない場合や条件を満たす角がない場合はその旨を答えてください。

1. π < θ < 3π/2、sin θ = -7/25のとき、cos θとtan θを求めてください。
2. π/2 < θ < π、cos θ = -5/13のとき、sin θとtan θを求めてください。
3. π < θ < 3π/2、tan θ = 5/12のとき、sin θとcos θを求めてください。
4. 0 ≤ θ < 2π、cos θ = 0のとき、可能なsin θとtan θを求めてください。
5. 0 ≤ θ < 2π、sin θ = 6/5のとき、条件を満たすθがあるか判断してください。

練習問題の答えと考え方

1. 縦座標が負で、左下の点

第3象限では横座標も縦座標も負です。二乗和に与えられた値を代入します。

cos²θ = 1 - (-7/25)²
cos²θ = 1 - 49/625
cos²θ = 576/625

cos θの候補は±24/25です。左側の点なのでcos θ = -24/25を選びます。分母が0ではないため、tan θ = (-7/25) / (-24/25) = 7/24です。座標(-24/25, -7/25)は左下にあり、二乗和は1です。縦座標も与えられた-7/25に戻ります。

2. 横座標から縦座標を決める

第2象限なので縦座標は正です。cos θは0でなく、後で正接を求めることもできます。

sin²θ = 1 - (-5/13)²
sin²θ = 1 - 25/169
sin²θ = 144/169

sin θ = ±12/13のうち正を選び、sin θ = 12/13です。tan θ = (12/13) / (-5/13) = -12/5となります。点(-5/13, 12/13)は左上にあり、横座標は条件の-5/13です。二乗和が1となることも確かめられます。

3. 正の正接と左下の条件

第3象限ではsin θとcos θがともに負です。tan θが与えられているのでcos θは0ではなく、次の式を使えます。

1 + (5/12)² = 1 / cos²θ
169/144 = 1 / cos²θ
cos²θ = 144/169

cos θ = ±12/13のうち、負の-12/13を選びます。sin θ = (5/12)・(-12/13) = -5/13です。座標(-12/13, -5/13)は指定の左下にあり、縦を横で割ると5/12です。二乗和も1なので、もとの条件と円の両方に合います。

4. 軸上の2つの点

cos θが0なら、二乗和からsin²θ = 1です。よってsin θは1または-1です。0 ≤ θ < 2πではそれぞれθ = π/2、θ = 3π/2の点に対応し、どちらも指定された区間内です。

2つの点の横座標はともに0です。tan θの分母が0になるため、どちらの場合もtan θは定義できません。区間の端であるθ = 0は横座標が1、除外されるθ = 2πも横座標が1なので、この条件に加える点はありません。

5. 円の高さの範囲を超える条件

単位円の縦座標は-1以上1以下です。6/5は1より大きいため、その高さの点は単位円上にありません。したがって条件を満たすθはありません。

二乗和から確かめると、cos²θ = 1 − 36/25 = -11/25となります。実数の二乗は負にならないため、ここでも矛盾がわかります。答えを角の範囲へ戻す前に、そもそも円上の点を作れない条件です。

覚えておくこと

• 二乗和は残りの値の大きさを与えます。
• 符号は角の範囲と座標から選びます。
• 商や正接の関係はcos θが0でないときに使います。
• 軸上と条件を満たす角がない場合も調べます。
• 答えを座標、与えられた値、範囲に戻して確かめます。

どこでつまずいたかを見分ける

二乗までは合うのに符号を間違えるなら、どの象限でどちらの座標が負かを図に指さしながら説明できるかを確かめます。正接の計算だけが合わないなら、縦座標を横座標で割る順序と、分母が0でない理由を尋ねます。値が1を超える条件では、式の変形だけでなく、円の高さとして可能かを言葉にできるかが手がかりです。

個別指導で答案を確かめるときは、候補を2つ書いた後に範囲で絞れたか、軸上では象限の表に頼らず座標を読めたかを順に見ます。正しい答えが出た場合にも、与えられた値へ戻る計算を本人に説明してもらうと、偶然合った符号と根拠のある判断を区別できます。相互関係の式は、座標と条件を往復して初めて値を決める道具になります。