高校数学II 関連角の公式—単位円の対称移動から負の角と補角の値を結び付ける｜武蔵野個別指導塾

π/2を含む関連角で座標が交換される理由を、対称移動と象限ごとの符号を使って説明します。

よくあるのは、π/2から少し進んだ角の値を求めるとき、符号には気を配ったのにsinとcosの交換を忘れる場面です。たとえば最初の角の横座標をそのまま横座標として残すと、移した点の位置と式が合いません。角の記号を見たらすぐ暗記した符号を付けるのではなく、単位円の点をどの軸に関して移すのかを考えます。横と縦が入れ替わる場合と、符号だけが変わる場合を分けると、負の角や補角にも同じ考え方を使えます。

角の形から何を判断するか

関連角とは、ある角を基準にして、対称な位置や半回転の位置にある角です。問題の形によって、最初に見る点が変わります。

1つ目は、sin(π − θ)やcos(-θ)のように値を文字で表す型です。単位円上の点を横軸、縦軸、原点のどれに関して移すかを決め、横と縦の符号を読みます。π − θはπ/2を軸に折り返すので、横座標の符号が反転します。

2つ目は、sin(π/2 − θ)のようにπ/2を含む型です。対角線に関する対称移動で横と縦が入れ替わります。交換を先に行い、移った先の象限から符号を確かめると混乱しにくくなります。π/2 + θはそこから横座標の符号も反転します。

3つ目は、ある角の値と範囲が与えられ、別の角のsin、cos、tanを求める型です。最初の角の座標を確定し、関連角へ移してから必要な値を読みます。tanは縦座標を横座標で割った値なので、横座標が0でないことを必ず確認します。図から象限を予想した後も、軸上の点が条件に入るか別に点検します。

単位円で座標を移す

原点を中心とする半径1の円を単位円とします。正の横軸から反時計回りにθだけ回した点をPとすると、Pの座標は(cos θ, sin θ)です。横座標がcos θ、縦座標がsin θです。sin²θは(sin θ)²を表し、cos²θも同様です。円の方程式から、どの実数θでもsin²θ + cos²θ = 1が成り立ちます。

図1では、説明のため0 < θ < π/2としています。Pを横軸に関して折り返すと、横座標はそのままで縦座標の符号が反転します。その点は時計回りにθだけ回した点なので、角は-θです。同じ点は2π − θでも表せます。縦軸に関する折り返しでは横座標の符号が反転し、角はπ − θになります。原点に関して移すと両方の符号が反転し、角はπ + θです。

図1のように、点の位置を使うと次の座標が得られます。以下の対応はθが鋭角でなくても成り立ちます。回転の向きや対称移動は単位円上の任意の点に適用できるためです。

θ           (cos θ, sin θ)
-θ          (cos θ, -sin θ)
2π - θ      (cos θ, -sin θ)
π - θ       (-cos θ, sin θ)
π + θ       (-cos θ, -sin θ)

たとえばsin(-θ) = -sin θ、cos(π − θ) = -cos θです。記号の前の符号は、角の符号ではなく、移動した座標の符号を表します。cos θ自体が負のとき、-cos θは正です。「マイナスが付くから値も負」と決めないことが重要です。

次にπ/2を基準とする角を考えます。Pを直線y = xに関して折り返すと、横と縦が入れ替わって(sin θ, cos θ)になります。この点の角はπ/2 − θです。さらに縦軸に関して折り返せば、角π/2 + θの点(-sin θ, cos θ)を得ます。したがって、任意の実数θについて次のように読めます。

sin(π/2 - θ) = cos θ
cos(π/2 - θ) = sin θ
sin(π/2 + θ) = cos θ
cos(π/2 + θ) = -sin θ

この4式は加法定理を使わず、点の対称性から導いています。π/2を含むから常に正になるわけではありません。たとえばcos(π/2 + θ)の右辺は-sin θで、θが第1象限なら負です。θが別の象限にあれば、右辺のsin θ自体の符号も含めて判断します。

軸上でも座標の対応は成立します。θ = 0ならπ/2 − θ = π/2で、sin(π/2) = cos 0 = 1です。一方、cos(π/2) = 0なのでtan(π/2)は定義されません。sinとcosの式が成り立つことと、その商が使えることは別の確認です。

tanの対応は分母と一緒に読む

横軸についての折り返しで縦座標の符号だけが反転するため、cos θが0でないときtan(-θ) = -tan θです。π − θでは横座標が反転するので、同じ条件の下でtan(π − θ) = -tan θです。π + θでは横と縦の両方が反転し、tan(π + θ) = tan θとなります。2π − θは-θと同じ点なので、tan(2π − θ) = -tan θです。いずれも移動前後の横座標が0でないことが条件です。

π/2を含む場合は、分母も入れ替わります。π/2 − θの点の横座標はsin θなので、sin θが0でないときに限り、tan(π/2 − θ) = cos θ/sin θです。π/2 + θの点の横座標は-sin θです。同じ条件の下で、tan(π/2 + θ) = -cos θ/sin θとなります。ここではtan θを使って逆数にしなくても、移動先の座標から直接商を取れます。cos θが0でもsin θが0でなければ、この座標による式は使えます。

たとえばθ = π/2では、π/2 − θ = 0なのでtanの値は0です。元のtan θは定義されませんが、移動先の点は(1, 0)で横座標が0ではありません。逆にθ = 0では、移動先の角がπ/2となり、横座標が0なのでtanを求められません。変形後の式と元の式の両方が定義されるかを調べると、使える式の範囲を狭めすぎたり、定義されない値を計算したりする誤りを避けられます。

図の角が鋭角でないとき

図1のPは第1象限にありますが、折り返す操作はそこに限りません。元の点が第3象限なら、cos θとsin θはいずれも負です。π − θの点は横座標を反転するので、横が正、縦が負になります。このときπ − θという角は負の範囲に入ることもありますが、単位円上ではそのまま時計回りの角として読めます。必要なら1周分を加えて同じ点を表しても、座標は変わりません。

移動後の符号を確かめるには、文字式の負号を先に数値の符号だと決めず、元の座標を代入します。元の横座標が負なら、その反対の-cos θは正です。象限を図で確かめる方法と、式に元の符号を入れる方法が一致すれば、単なる公式の暗記以上に点の対応を確認できます。

基本例題：π/2をまたいだ点

0 < θ < π/2、sin θ = 3/5とします。角π/2 + θのsin、cos、tanを分数による厳密値で求めてください。

θは第1象限にあるのでcos θは正です。単位円の関係を用いて、まず元の点の横座標を求めます。

cos²θ = 1 - sin²θ
cos²θ = 1 - 9/25
cos²θ = 16/25
cos θ = 4/5

平方根を取るときに正を選んだ根拠は、θの範囲です。図2のように、元の点Pは(4/5, 3/5)です。π/2 + θの点Qは、横と縦を交換してから横座標を反転した(-3/5, 4/5)です。半径1を長さ250として描くと、Pは中心から右に200、上に150、Qは左に150、上に200の位置です。

Qの縦と横を読み、それぞれの値を求めます。Qの横座標は-3/5で0ではないため、tanも定義されます。

sin(π/2 + θ) = 4/5
cos(π/2 + θ) = -3/5
tan(π/2 + θ) = (4/5)/(-3/5)
tan(π/2 + θ) = -4/3

求めた座標は(-3/5)² + (4/5)² = 1を満たします。さらにQの縦座標4/5は元の横座標と一致し、横座標-3/5は元の縦座標の符号を反転したものです。Qはπ/2とπの間にあり、第2象限の横が負、縦が正という条件にも戻ります。値の大きさだけでなく、点の置かれた位置も確かめてください。

もし範囲がπ/2 < θ < πだったなら、同じsin θ = 3/5でも元のcos θは-4/5です。この場合に基本例題の正の値をそのまま流用すると、移動元の点が違ってしまいます。座標を復元する前に範囲を読む手順には、この違いを見落とさない役割があります。

標準例題：第2象限から補角へ

π/2 < α < π、cos α = -5/13とします。角π − αと角2π − αについて、それぞれsin、cosを分数による厳密値で求めてください。

αは第2象限なのでsin αは正です。円の関係から縦座標を求めます。

sin²α = 1 - cos²α
sin²α = 1 - 25/169
sin²α = 144/169
sin α = 12/13

π − αの点は元の点を縦軸に関して折り返します。2π − αの点は横軸に関して折り返します。よって、それぞれの座標と値は次のようになります。

π - α の点 = (5/13, 12/13)
sin(π - α) = 12/13
cos(π - α) = 5/13
2π - α の点 = (-5/13, -12/13)
sin(2π - α) = -12/13
cos(2π - α) = -5/13

範囲に戻して点を確認します。π − αは0とπ/2の間なので第1象限、2π − αはπと3π/2の間なので第3象限です。求めた符号は両方ともこの位置に合います。特に2π − αは、αが第1象限の場合の第4象限とは異なります。式の形だけで象限を決めず、与えられた角の範囲から移動先を確かめます。

2つの点を逆に折り返すと、どちらも(-5/13, 12/13)に戻ります。与えられたcos α = -5/13と、αが第2象限という条件を再現できるので、座標の対応も照合できます。

発展例題：条件を分けて値を決める

0 < β < π、sin β = 8/17とします。角π/2 − βのsinとcos、角π + βのsinとcosを分数による厳密値で求めてください。ただし、βがπ/2より小さい場合と大きい場合を分けます。

この範囲ではsin βが正ですが、横座標の符号はまだ決まりません。まず円の関係から横座標の大きさを求めます。

cos²β = 1 - sin²β
cos²β = 1 - 64/289
cos²β = 225/289
cos β = ±15/17

β = π/2ならsin β = 1となり、与えられた8/17と一致しません。そのため、条件を満たすβは2つの範囲のどちらかにあります。0 < β < π/2ならcos β = 15/17、π/2 < β < πならcos β = -15/17です。

座標の交換と符号反転を使えば、両方の場合に共通する式を先に書けます。

sin(π/2 - β) = cos β
cos(π/2 - β) = sin β
sin(π + β) = -sin β
cos(π + β) = -cos β

第1象限の場合は、順に15/17、8/17、-8/17、-15/17です。第2象限の場合は、順に-15/17、8/17、-8/17、15/17です。答えが分かれるのは、元のsin βだけでは横座標の符号が定まらないからです。

元の条件へ戻してみます。どちらの元の点も縦座標が8/17で、横座標の2乗と合わせると1です。第1象限の場合、π/2 − βは正の鋭角で両座標が正です。第2象限の場合、π/2 − βは-π/2と0の間で、横座標が正、縦座標が負です。π + βについても、それぞれ第3象限と第4象限になり、求めた符号と一致します。

条件がsin β = 1なら、β = π/2を別に扱います。このときcos β = 0で、π/2 − β = 0、π + β = 3π/2です。2つの象限のどちらにも押し込まず、軸上の座標から値を読むことができます。

誤答を点の移動に戻して直す

0 < θ < π/2のとき、cos(π/2 − θ) = cos θとした答案を考えます。角π/2 − θが第1象限にあることから、正の符号を選んだ点は合っています。しかし横座標をcos θのままにすると、対角線に関して折り返した後の点ではなく、元の点の横座標を読んでしまいます。

図3では元の点を(cos θ, sin θ)、移した点を(sin θ, cos θ)としています。移動先の横座標を読むので、修正はcos(π/2 − θ) = sin θです。符号が正しいかという確認と、横縦のどちらを読むかという確認は別の作業です。

たとえばθ = π/6なら、元の点は(√3/2, 1/2)で、π/2 − θ = π/3です。移動先の横座標は1/2です。誤答の√3/2では元の横座標が残っており、移動先の位置と合いません。特別にθ = π/4では横と縦が等しいため、間違った式でも同じ値になります。1つの代入で合ったからといって、式の理由まで正しいとは限りません。

もう1つの誤りは、tan(π/2 − θ)をいつでもcos θ/sin θとすることです。右辺はsin θが0のとき割れず、左辺もそのとき横座標が0なので定義されません。θ = 0を代入したときに「値は0」と処理せず、除数を見て式を使える範囲を判断します。

練習問題

次の5問は、答えを分数または根号を含む厳密値で表してください。角はラジアンです。必要な値が定義されない場合は、その理由も答えてください。

1. 0 < u < π/2、cos u = 7/25です。sin(-u)とcos(π − u)を求めてください。
2. π/2 < v < π、sin v = 5/13です。sin(π/2 − v)とcos(π/2 + v)を求めてください。
3. π < w < 3π/2、cos w = -8/17です。sin(2π − w)とcos(π + w)を求めてください。
4. 0 < t < π/2、sin t = 5/√29です。tan(π/2 − t)とtan(π + t)を求めてください。
5. 0 ≤ q ≤ π、sin q = 0です。条件を満たすqをπを含む角で列挙し、それぞれについてtan(π/2 − q)が定義されるか答えてください。

練習の答えと解き方

1. 横軸と縦軸の折り返し

uは第1象限なのでsin uは正です。円の関係から次を得ます。

sin²u = 1 - 49/625
sin²u = 576/625
sin u = 24/25
sin(-u) = -24/25
cos(π - u) = -7/25

-uの点は(7/25, -24/25)、π − uの点は(-7/25, 24/25)です。前者は第4象限、後者は第2象限にあり、折り返すとどちらも元の(7/25, 24/25)に戻ります。元の横座標7/25も再現しています。

2. 入れ替えた後に元の符号を使う

vは第2象限なのでcos vは負です。まず元の点を求めます。

cos²v = 1 - 25/169
cos²v = 144/169
cos v = -12/13
sin(π/2 - v) = cos v
sin(π/2 - v) = -12/13
cos(π/2 + v) = -sin v
cos(π/2 + v) = -5/13

π/2 − vは-π/2と0の間、π/2 + vはπと3π/2の間です。それぞれ縦座標、横座標が負という答えに合います。元の点(-12/13, 5/13)は条件のsin v = 5/13を満たし、座標の2乗の和も1です。

3. 第3象限の点を移す

wは第3象限なのでsin wは負です。符号を確かめてから平方根を取ります。

sin²w = 1 - 64/289
sin²w = 225/289
sin w = -15/17
sin(2π - w) = -sin w
sin(2π - w) = 15/17
cos(π + w) = -cos w
cos(π + w) = 8/17

2π − wはπ/2とπの間、π + wは2πと5π/2の間です。前者の縦座標と後者の横座標はいずれも正で、求めた値に合います。移動元の座標(-8/17, -15/17)はcos w = -8/17と指定された象限を満たします。

4. 商を取る前の確認

tは第1象限なのでcos tは正です。sin²t = 25/29からcos²t = 4/29となり、cos t = 2/√29です。π/2 − tの点は(5/√29, 2/√29)です。π + tの点は(-2/√29, -5/√29)です。横座標はいずれも0ではないので、商を取れます。

tan(π/2 - t) = (2/√29)/(5/√29)
tan(π/2 - t) = 2/5
tan(π + t) = (-5/√29)/(-2/√29)
tan(π + t) = 5/2

前者は第1象限、後者は第3象限にあるため、いずれのtanも正です。元の点(2/√29, 5/√29)は縦座標が与えられた値で、2つの座標の2乗の和は1です。

5. 軸上の点と定義されない商

単位円でsin q = 0となるのは、縦座標が0の点です。0 ≤ q ≤ πでは、条件を満たす角はq = 0、πです。両端を含むので、どちらも除きません。

q = 0ならπ/2 − q = π/2で、点は(0, 1)です。q = πならπ/2 − q = -π/2で、点は(0, -1)です。どちらも横座標が0なのでtanは定義されません。元の角0とπの点はそれぞれ(1, 0)、(-1, 0)であり、両方ともsin q = 0に戻ります。

覚えておくこと

• 単位円の横がcos、縦がsinです。
• 横軸・縦軸・原点への対称移動で符号を判断します。
• π/2を基準にした角では横と縦の交換を確認します。
• 平方根の符号と軸上の点は元の角の範囲で決めます。
• tanは移動先の横座標が0でないときに求めます。

つまずきの見分け方

符号を間違えた答案では、元の点を第何象限に置いたか、移動先をどの象限に置いたかを順に聞きます。点は正しく描けているのに式が違うなら、横をcos、縦をsinとして読めているかを確かめます。π/2を含む式で横と縦が交換されない場合は、直線y = xで折り返した点の座標を言葉で説明すると、符号の誤りとは別に原因を見つけられます。

個別指導で確認する箇所は、正解の値を言えるかだけではありません。与えられた角の範囲から平方根の符号を選べるか、軸上の値を別に調べられるか、tanの除数が0でないと説明できるかを見ます。図を使って元の条件へ点を戻せれば、覚えた公式を別の角にも落ち着いて適用できます。座標の交換と符号を順に追えば、関連角の式には確かな根拠が残ります。