高校数学III・C 曲線の回転体と場合分け—回転軸との位置から半径を選び直す｜武蔵野個別指導塾

軸をまたぐ縦の線分が作る円板と、軸から離れた線分が作る円環を比較し、積分区間を決める回転体の考え方をたどります。

理系高3の演習で、軸をまたぐ領域でも二つの半径を機械的に引いてしまう場面があります。回転前の縦の線分を1本取り出し、その線分が回転軸に触れるか、どちらの端が遠いかを見ると、回転後の断面が決まります。曲線で囲まれた領域を移した軸のまわりに回す問題を通して、図の情報を積分式に移す順番を練習しましょう。

軸の位置で立式を選ぶ

軸に平行な向きに領域を見て、軸に垂直な断面を積分します。軸が水平なら、x を固定した縦の線分を回転させ、その断面積を x について積分します。まず線分の下端と上端を求め、次に軸からの距離を比較します。曲線が上か下かという比較と、軸から遠いか近いかという比較は別です。

出方の1つは、線分が軸の片側にある場合です。このとき断面は円環になり、遠い端までの距離を外半径、近い端までの距離を内半径とします。軸が端点に接する場合は内半径が0になり、円板として扱えます。

もう1つは、線分が軸をまたぐ場合です。回転すると中心まで埋まるため、断面は円板です。外半径は両端までの距離の大きい方です。軸が領域を横切るときは、軸と境界曲線との交点に加え、両端までの距離が等しくなる位置も分割候補です。位置の変化を追い、同じ式で表せる区間を決めます。

線分から円板と円環へ

各 x で領域の縦の切り口が a(x) ≦ y ≦ b(x)、回転軸が y = c であるとします。a(x) ≦ b(x) をまず確認します。切り口を軸のまわりに1回転すると、軸に垂直な平面内に、切り口上の点と軸の距離を半径とする円が集まります。軸からの距離が0から最大値まで連続して現れるなら円板、正の最小値から最大値まで現れるなら円環です。

図1のように、線分が軸の片側なら、断面積は π(R² − r²) です。R は遠い端まで、r は近い端までの距離です。軸が線分の中にあるとき、距離0の点が含まれるので、断面積は πR² です。ここで R は両端までの距離の最大値です。図1の左右は別々の切り口を模式的に示しています。

図1のように、内側を引くかどうかは図形が軸を含むかで決めます。各区間で断面積が連続なら、断面積を積分して体積を得ます。境界で式が切り替わる場合も、区間ごとに積分し足せます。分割点の断面1枚は体積に影響しませんが、両側の式がそこで一致するかを確認すると位置関係の誤りを発見しやすくなります。

断面の説明を書くときは、まず固定した x における線分を示し、軸がその線分の内側か外側かを述べます。その後に半径を距離として書けば、式の意味を読み手がたどれます。たとえば上端が軸の下にあるときは、上端が近く、下端が遠くなります。上下の名前をそのまま外側と内側に対応させないことが、移した軸を扱う際の注意点です。

区間の分割候補があっても、その点の前後で断面の式が同じなら、積分を分ける必要はありません。一方、軸を境界が横切らなくても、軸をまたぐ切り口で遠い端が入れ替われば、外半径の式が変わります。交点を求めた後には、各区間の位置関係まで確かめます。

基本例題：軸が領域の下にあるとき

0 ≦ x ≦ 2、x² ≦ y ≦ 4 で表される領域を x 軸のまわりに回転させます。体積を π を用いた正確な値で求めてください。

この区間では 0 ≦ x² ≦ 4 です。放物線と直線は x = 2 で接するのではなく交わり、x = 0 では縦の境界が領域を閉じます。図2のように縦の切り口の上端は4、下端は x² です。x 軸はその下端以下にあり、回転断面の外半径は4、内半径は x² です。x = 0 では内半径が0なので円板ですが、同じ式に含まれます。

断面積 π(16 − x⁴) は連続です。図2の端点で断面積が0になることも式と一致します。したがって体積 V は次のようになります。

V = π∫[0→2] (16 - x⁴) dx
  = π[16x - x⁵/5] の x = 0 から 2 までの差
  = π(32 - 32/5)
  = 128π/5

値は正であり、半径4、長さ2の円柱の体積 32π より小さいので、領域を含む円柱との大小にも合います。内側を引く理由は、縦の切り口が軸から離れているところでは中心付近が回転によって通らないからです。

標準例題：同じ領域を通る軸

0 ≦ x ≦ 2、x² ≦ y ≦ 4 の領域を直線 y = 1 のまわりに回します。体積を π を用いた正確な値で求めてください。

固定した x で上端は4、下端は x² です。軸と下端が一致するのは x² = 1、指定範囲では x = 1 です。0 ≦ x ≦ 1 では軸は切り口内にあり、上端までの距離3と下端までの距離 1 − x² を比べます。後者は0以上1以下なので、遠い端は上端です。この区間の断面は半径3の円板です。

1 ≦ x ≦ 2 では切り口は軸の上にあり、外半径3、内半径 x² − 1 の円環です。分割点 x = 1 では内半径が0となり、両式とも断面積は 9π です。積分する関数は各区間で連続なので、体積を次のように求めます。

V = π∫[0→1] 9 dx + π∫[1→2] {9 - (x² - 1)²} dx
  = π(9 + ∫[1→2] (8 + 2x² - x⁴) dx)
  = π(9 + [8x + 2x³/3 - x⁵/5] の x = 1 から 2 までの差)
  = π(9 + 8 + 14/3 - 31/5)
  = 232π/15

元の切り口へ戻すと、x = 0 では y = 0 から4までが回り、最大距離は3です。x = 2 では上下端がともに4なので断面積は0です。積分式も両端でその形を表します。軸の上側の長さと下側の長さを引くのではなく、断面が埋まることを先に決める点が要所です。

発展例題：遠い端も途中で入れ替わる

0 ≦ x ≦ 2、0 ≦ y ≦ x² の領域を直線 y = 1 のまわりに回します。体積を π を用いた正確な値で求めてください。

下端から軸までの距離は常に1です。上端は x² なので、軸との交点は x = 1 です。0 ≦ x ≦ 1 では切り口が軸以下にあり、外半径1、内半径 1 − x² の円環です。x = 1 からは軸を含みますが、すぐに上端が遠くなるとは限りません。上端までの距離 x² − 1 と下端までの距離1が等しくなるのは x = √2 です。

したがって 1 ≦ x ≦ √2 は半径1の円板、√2 ≦ x ≦ 2 は半径 x² − 1 の円板です。x = 1 で円環の穴が消え、x = √2 で円板の外半径の表し方が変わります。各区間の断面積は連続で、分割点でも隣り合う式は一致します。

V = π∫[0→1] {1 - (1 - x²)²} dx
  + π∫[1→√2] 1 dx
  + π∫[√2→2] (x² - 1)² dx
  = π∫[0→1] (2x² - x⁴) dx
  + π(√2 - 1)
  + π∫[√2→2] (x⁴ - 2x² + 1) dx
  = π(2/3 - 1/5 + √2 - 1
  + [x⁵/5 - 2x³/3 + x] の x = √2 から 2 までの差)
  = π(7/15 + √2 - 1 + 46/15 - 7√2/15)
  = (38 + 8√2)π/15

x = 0 では切り口が1点なので断面積は0です。x = 2 では切り口は y = 0 から4までで、軸からの最大距離は3ですから断面積は 9π です。どちらも採用した式に戻して一致します。回転軸との交点を探すことと、遠い端が入れ替わる点を探すことは別の作業です。

誤答を断面から直す

発展例題で、0 ≦ x ≦ 2 の全域について断面積を π{1 − (x² − 1)²} とする答案を考えます。この式は x = 2 で負になります。面積は負にならないので、その時点で形の誤りが見つかります。ただし、たまたま正の値になる場所でも正しいとは限りません。

図3のように x = √2 では切り口が y = 0 から2まで伸び、軸 y = 1 をまたぎます。両端は軸からともに距離1です。誤った式では二つの距離の二乗を引いて断面積0としますが、実際には軸上を含む半径1の円板です。原因は、端点の距離をそのまま外半径と内半径に割り当てたことです。

修正答案では、図3の線分上に軸があることから内半径を0とします。両端の距離が等しいので外半径は1、断面積は π です。この1点の修正だけで積分全体を直したことにはなりません。軸との交点 x = 1 と距離の等しい点 x = √2 を境に、それぞれの区間の断面を調べ直します。

また、軸をまたぐとき常に上端が遠いと決めるのも誤りです。下端が遠い場合もあるので、両端の距離を比較します。等距離の位置ではどちらを使っても同じですが、その前後では遠い端が変わり得ます。端点での正値や0の確認は有用ですが、それだけでは中間の断面の説明の代わりにはなりません。

自分で切り口を決める5問

以下の体積は π を用いた正確な値で答えてください。各領域は境界を含み、指定した直線のまわりに1回転させます。

1. 0 ≦ x ≦ 1、0 ≦ y ≦ x² の領域を y = -1 のまわりに回す。
2. 0 ≦ x ≦ 1、x² ≦ y ≦ 1 の領域を y = 2 のまわりに回す。
3. 0 ≦ x ≦ 2、0 ≦ y ≦ x の領域を x 軸のまわりに回す。
4. 0 ≦ x ≦ 2、0 ≦ y ≦ x の領域を y = 1 のまわりに回す。
5. 0 ≦ x ≦ 3、0 ≦ y ≦ x の領域を y = 1 のまわりに回す。

問題4と5では、上端が軸を越えた後にも半径の比較が必要です。問題の領域を描いたら、解答を見る前に各分割点での切り口を縦線として書き入れてください。積分の値だけでなく、その線分から断面積が得られるかを照合します。

5問の解答と元の領域への照合

1の解答

軸は下端より1下です。外半径は x² + 1、内半径は1なので、連続な断面積を積分します。

V = π∫[0→1] {(x² + 1)² - 1} dx
  = π∫[0→1] (x⁴ + 2x²) dx
  = π(1/5 + 2/3)
  = 13π/15

x = 0 では上下端が一致し断面積は0、x = 1 では半径2と1の円環です。式に代入するとそれぞれ0と 3π になり、元の切り口に合います。

2の解答

軸は領域の上です。下端が軸から遠く、上端が近いため、外半径は 2 − x²、内半径は1です。

V = π∫[0→1] {(2 - x²)² - 1} dx
  = π∫[0→1] (3 - 4x² + x⁴) dx
  = π(3 - 4/3 + 1/5)
  = 28π/15

x = 0 で半径2と1の円環、x = 1 で両端が一致します。断面積の式は順に 3π と0なので、端点の図形に戻しても矛盾しません。

3の解答

各切り口は軸を端点に持ち、回転すると半径 x の円板です。x は指定区間で負ではありません。

V = π∫[0→2] x² dx
  = π[x³/3] の x = 0 から 2 までの差
  = 8π/3

x = 2 の切り口は y = 0 から2なので半径2、x = 0 では1点です。断面積はそれぞれ 4π と0で、積分式と一致します。

4の解答

0 ≦ x ≦ 1 では軸が切り口の上にあり、半径1と 1 − x の円環です。1 ≦ x ≦ 2 では軸を含み、上端までの距離 x − 1 は1以下なので、半径1の円板です。

V = π∫[0→1] {1 - (1 - x)²} dx + π∫[1→2] 1 dx
  = π∫[0→1] (2x - x²) dx + π
  = π(1 - 1/3 + 1)
  = 5π/3

x = 1 では切り口の上端が軸に達し、円環の穴が消えます。x = 2 では上下端が軸からともに距離1にあり、円板の半径も1です。境界で両方の式が π を与えます。

5の解答

x = 1 までは問題4と同じ円環、1 から2までは半径1の円板です。x = 2 で両端までの距離が等しく、2 から3までは上端の方が遠いので半径 x − 1 の円板になります。

V = π∫[0→1] (2x - x²) dx + π∫[1→2] 1 dx
  + π∫[2→3] (x - 1)² dx
  = π(2/3 + 1 + [(x - 1)³/3] の x = 2 から 3 までの差)
  = π(2/3 + 1 + 7/3)
  = 4π

x = 3 の切り口は y = 0 から3です。軸からの最大距離は2なので、断面積 4π は最後の式に合います。x = 2 でも前後の円板の半径はいずれも1です。

答案に残す判断

1. 軸に垂直な切り口の上下端と、軸の位置を決めます。
2. 軸を含まない切り口は、遠い距離と近い距離で円環を作ります。
3. 軸を含む切り口は、両端の遠い方を半径とする円板を作ります。
4. 軸との交点と両端の等距離点で式が変わるか調べます。
5. 各区間で積分し、端点と分割点の断面へ戻して照合します。

式が負になる人は外半径と内半径の順序を、軸をまたぐ場所で差を取る人は中心に穴があるかを図で確かめてください。分割点を見つけても区間内での遠近を決められない場合は、代表の x を1つ選んで上下端から軸までの距離を比較します。個別指導では、切り口を1本指定し、回転前の線分から円板または円環を描き、半径と積分式を自分の言葉で結べるかを確かめます。断面の形が決まれば、体積の式にはその根拠が残ります。