高校数学III・C 二次曲線の接線と面積—接点の条件を積分する境界へつなぐ｜武蔵野個別指導塾

2本の接線の交点で積分を分ける手順と、楕円の接線が作る三角形から曲線の内側を引く根拠を確かめます。

よくあるのは、理系高3の演習で、接線の式は出せても囲まれる区間が定まらないという場面です。接点を積分の端にするのか、別の直線との交点を使うのかは、境界を一周して初めて決まります。接線の式を出した後に図と差の符号へ戻り、面積を表す区間を選びましょう。

何が領域を閉じるのか

問題の形は大きく3つあります。放物線の2点で引いた2本の接線と曲線が囲む場合は、接線どうしの交点で上側または下側の境界が切り替わります。外部の点から引いた2本の接線でも、まず接点が2つ存在する条件を確かめ、同様に交点から境界を追います。楕円では、接線と別の直線、あるいは座標軸が領域を閉じる場合に、曲線の上側と下側のどちらを使うかが焦点です。

接線と放物線だけを取り出しても、接点以外の交点がなく、有限の領域が囲まれないことがあります。式の見た目から積分区間を作らず、問題文で指定された境界を確認します。交点が得られても、その点が実際に境界の切り替えに使われるかを図と符号で確かめます。

接触から縦の幅へ

微分可能な関数 y = f(x) の x = t における接線は、接点 (t, f(t)) を通り、傾きが f′(t) である直線です。その式は y = f(t) + f′(t)(x − t) です。曲線との共有点を調べるときは、この式と曲線の式の差を因数分解します。接点で差が0になることと、差の導関数も0になることが、重なった解として現れます。

放物線 y = x² では f′(t) = 2t なので、接線は y = 2tx − t² です。差は x² − (2tx − t²) = (x − t)² となり、全ての実数 x で曲線が接線以上です。等号は x = t のときです。接線が下にある理由は図の印象ではなく、この差の符号で示せます。

図1のように、接点と傾きから直線を決め、交点と上下関係から積分の境界へ進みます。連続な2曲線に挟まれ、各 x で上側と下側が決まる領域の面積は、右端までの「上の関数 − 下の関数」の定積分です。途中で境界が入れ替われば、その位置で積分を分けます。接点の重解は境界の端であって、必ずしも2本の接線の切り替え点ではありません。

接線の交点が接点の間にあるかも、計算で確かめる必要があります。例えば放物線の異なる2点の横座標を a、b とすると、接線の交点は 2ax − a² = 2bx − b² を満たします。a ≠ b より両辺を整理すると x = (a + b)/2 です。これは a と b の中間にあるので、2本の接線を下側として使う境界の切り替え位置になります。ただし、別の曲線や別の境界を加えた問題には、そのまま適用せず交点を調べ直します。

基本例題：2本の接線の交点で分ける

放物線 y = x² の点 A(0, 0)、B(2, 4) における接線と放物線で囲まれる部分の面積を分数で求めます。

この関数は全実数で微分可能です。接点の横座標における接線の傾きはそれぞれ 0、4 ですから、接線は順に y = 0、y = 4x − 4 です。両直線の交点の横座標は 0 = 4x − 4 より x = 1 です。交点は (1, 0) で、2つの接点の間にあります。

図2のように、0 ≦ x ≦ 1 では y = 0 が下側の境界、1 ≦ x ≦ 2 では y = 4x − 4 が下側の境界です。前者では 4x − 4 ≦ 0、後者では 4x − 4 ≧ 0 です。また x² − 0 = x² ≧ 0、x² − (4x − 4) = (x − 2)² ≧ 0 です。したがって曲線は両区間で上側にあります。

S = ∫[0→1] x² dx + ∫[1→2] (x - 2)² dx
  = [x³/3]₀¹ + [(x - 2)³/3]₁²
  = 1/3 + 1/3
  = 2/3

両接線は指定の接点を通り、傾きも導関数の値に一致します。交点から接点までの2つの弧と線分が領域を閉じ、積分した幅は負になりません。よって求める面積は 2/3 です。

標準例題：外部の点から接点を探す

点 P(0, -4) を通る放物線 y = x² の接線を全て求め、それらと放物線で囲まれる部分の面積を分数で求めます。接線の式は整数係数で表します。

接点の横座標を t とすると接線は y = 2tx − t² です。P を通る条件は -4 = -t²、すなわち t² = 4 です。したがって候補は t = -2、2 です。逆にこの2つの値を接線の式に代入すると、どちらも P を通ります。よって接線は y = -4x − 4、y = 4x − 4 の2本です。他の接点は条件を満たさないため、ほかに接線はありません。

交点 P の横座標は 0 で、接点の横座標 -2 と 2 の間にあります。-2 ≦ x ≦ 0 では -4x − 4 ≧ 4x − 4 です。0 ≦ x ≦ 2 では逆です。放物線との差はそれぞれ (x + 2)²、(x − 2)² なので、曲線が上、2本の接線のうち高い方が下の境界です。

S = ∫[-2→0] (x + 2)² dx + ∫[0→2] (x - 2)² dx
  = [(x + 2)³/3]₋₂⁰ + [(x - 2)³/3]₀²
  = 8/3 + 8/3
  = 16/3

接点 (-2, 4)、(2, 4) をそれぞれの直線に代入すると両辺が一致し、傾き -4、4 は導関数 2x の値と一致します。共通点を通る候補を求めることと、実際に接線であることの確認を分けて書くと、存在と個数が明確になります。

発展例題：楕円の上半分と接線

楕円 x²/4 + y² = 1 の第1象限の点 A(1, √3/2) における接線と、x 軸、y 軸で囲まれる三角形から、楕円と両座標軸で囲まれる第1象限の部分を除いた面積を求めます。答えは π と √3 を含む正確な式で表します。

上半分は y = f(x) = √(1 − x²/4) で、0 < x < 2 で微分可能です。A は楕円上にあり、

f′(x) = -x/(4√(1 - x²/4))
f′(1) = -1/(2√3)
y - √3/2 = -(x - 1)/(2√3)
y = (4 - x)/(2√3)

接線は y 軸と (0, 2/√3)、x 軸と (4, 0) で交わります。両切片が正なので三角形の面積は 4/√3 です。楕円の第1象限部分がこの三角形内にあることを確認します。0 ≦ x ≦ 2 で接線の値は正であり、

((4 - x)/(2√3))² - (1 - x²/4)
= (x - 1)²/3
≧ 0

両辺が非負なので、接線は上半分の曲線以上です。x = 2 から 4 では三角形は存在しますが、楕円の第1象限部分はありません。したがって差の面積を求めるには、三角形全体から楕円部分を引けます。

楕円部分の面積を T とします。x = 2 sin θ、0 ≦ θ ≦ π/2 と置くと、dx = 2 cos θ dθ で、平方根は cos θ です。この区間では x は 0 から 2 へ増加します。

T = ∫[0→2] √(1 - x²/4) dx
  = ∫[0→π/2] 2 cos² θ dθ
  = ∫[0→π/2] (1 + cos 2θ) dθ
  = [θ + (sin 2θ)/2]₀π/2
  = π/2
S = 4/√3 - π/2

接線は A を通り、傾きも上で求めた導関数に一致します。差の平方と両切片の位置により、引き算の対象が三角形に収まることも確かめました。曲線を x = 4 まで延長して積分する必要はありません。

誤答を境界から直す

基本例題で「2本の接線は y = 0 と y = 4x − 4 だから、面積は ∫[0→2] x² dx = 8/3」とする答案を考えます。積分計算自体は正しくても、1 < x ≦ 2 では y = 0 が囲まれた部分の境界ではありません。直線 y = 4x − 4 がその上に現れ、余分な部分まで数えています。

図3のように、交点の左右で2本の直線の大小を比べます。修正答案では x = 1 を境に下側を切り替え、曲線との差をそれぞれ積分します。面積が正だから正しいとは限りません。どの縦線でも、積分する長さが指定された領域の上端と下端の差になっているかが判断の基準です。

別の失敗は、外部の点からの接線を考えるとき、接点を表す方程式に実数解があるか確かめないことです。例えば y = x² の接線が (0, 1) を通るなら t² = -1 となり、実数の接点は存在しません。実数解のない状態で2本の直線を描き、面積を計算することはできません。逆に重解なら接線は1本です。接線が1本の場合も、別の境界を指定せず有限の領域が閉じるとは結論できません。

練習問題

いずれも答えを分数または π を含む正確な式で求めます。接線は実数の接点を持つものとします。

1. y = x² の x = 1、3 における2本の接線と曲線で囲まれる面積を求めます。
2. y = x² と点 (0, -9) からの2本の接線で囲まれる面積を求めます。
3. y = 2x² の x = 0、1 における2本の接線と曲線で囲まれる面積を求めます。
4. y = x² の接線で点 (0, 2) を通るものの本数を求めます。有限の囲まれた領域を、放物線とその接線から作れるかも答えます。
5. 円 x² + y² = 9 の第1象限の部分と両座標軸で囲まれる部分を、直線 x + y = 3 と両座標軸で囲まれる三角形から除くのではなく、円の部分からその三角形を除いた面積を求めます。直線の両端点での接線かどうかも調べます。

練習問題の解答

1

接線の一般式 y = 2tx − t² に t = 1、3 を代入します。

y = 2x - 1
y = 6x - 9
2x - 1 = 6x - 9
x = 2

接線の交点は接点の間です。1 ≦ x ≦ 2 では前者、2 ≦ x ≦ 3 では後者が高く、放物線との差は順に (x − 1)²、(x − 3)² です。接線は各接点を通り、傾きは 2、6 で導関数の値と一致します。

S = ∫[1→2] (x - 1)² dx + ∫[2→3] (x - 3)² dx
  = 1/3 + 1/3
  = 2/3

2

接点の横座標を t とします。接線が指定点を通る条件とその解は次のとおりです。

-9 = -t²
t² = 9
t = -3, 3

接線は y = -6x − 9、y = 6x − 9 です。どちらも (0, -9) を通り、各接点で曲線の傾きに一致します。交点の左右で高い方を下側として、

S = ∫[-3→0] (x + 3)² dx + ∫[0→3] (x - 3)² dx
  = 9 + 9
  = 18

差は各区間で非負です。したがって符号つきの面積を誤って相殺していません。

3

導関数は 4x です。指定の2点における接線は y = 0、y = 4x − 2 で、交点の横座標は 1/2 です。それぞれ接点 (0, 0)、(1, 2) を通り、傾きは 0、4 です。

2x² - (4x - 2) = 2(x - 1)²
S = ∫[0→1/2] 2x² dx + ∫[1/2→1] 2(x - 1)² dx
  = 1/12 + 1/12
  = 1/6

交点の左では y = 0、右では y = 4x − 2 が高いので、この分割が指定領域に対応します。

4

接点の横座標を t とすると接線は y = 2tx − t² です。(0, 2) を通るには t² = -2 が必要です。実数 t に対し t² ≧ 0 なので解はなく、接線は 0 本です。したがって指定の放物線とそのような接線で囲まれた有限の領域も作れません。存在しない接点を積分端に置かないことが要点です。

5

円の上半分は y = √(9 − x²) です。0 ≦ x ≦ 3 で直線の値 3 − x は非負で、

9 - x² - (3 - x)² = 2x(3 - x) ≧ 0

よって円弧は直線以上です。x = 3 sin θ と置くと、θ は 0 から π/2 まで増加し、dx = 3 cos θ dθ です。

S = ∫[0→3] √(9 - x²) dx - (3・3)/2
  = ∫[0→π/2] 9 cos² θ dθ - 9/2
  = 9π/4 - 9/2

直線は円と (0, 3)、(3, 0) の2点で交わります。(0, 3) における円の接線は y = 3、(3, 0) における接線は x = 3 ですから、与えられた直線はどちらの接線でもありません。2つの端点を結ぶ直線と接線を混同しないようにします。

答案を閉じる前に

接点の条件から、実際に存在する接線を決めます。 交点を並べ、境界が切り替わる位置を選びます。 上下の差の符号を確かめ、区間ごとに積分します。 元の接点と傾きへ戻し、面積が指定領域に対応するか見直します。

接線は求まるのに面積が合わない場合は、縦線を1本引いて上下の境界を指せるか確かめます。接点が出ない場合は、接点の文字に課した方程式の実数解の個数から見直します。個別指導では、途中式の計算だけでなく、交点の左右で境界を言葉にできるか、接線が存在しない場合に作図を止められるかを確かめます。接点から領域を一周する視点が、面積の積分区間を決めます。