高校数学III・C 面積列と極限—図形の差を積分で表して収束まで説明する｜武蔵野個別指導塾

動く直線との交点から積分区間を定め、残る部分の評価から面積列と極限を読み解きます。

理系高3の演習でよくあるのは、直線を動かすと囲まれる領域も変わるのに、最初に見た積分区間を固定したまま計算する場面です。式の計算が正確でも、面積の対象が違えば答えは変わります。まず各 n で交点と上下関係を調べ、面積 Sₙ を有限区間の積分で表します。その後に n を大きくしたときの変化を追います。

動く境界を見て方針を選ぶ

面積列には、動く直線と曲線の交点が端点となり、積分区間自体が伸びたり縮んだりする型があります。交点を n の式で求め、曲線と直線のどちらが上かを確かめてから積分します。端点が収束しても、直ちに積分の中へ極限を入れるのではなく、まず有限の n に対する面積を求めます。

もう1つは、固定された大きな領域から細い部分を取り除く型です。大きな面積を A、除く面積を Rₙ とすると Sₙ = A − Rₙ です。Rₙ が求めにくくても、幅と高さを使って 0 ≤ Rₙ ≤ Bₙ と評価し、Bₙ が 0 に近づけば十分です。図形の包含関係を示せないときは、面積の差をそのまま残りの面積と呼べません。

交点の位置が途中で入れ替わる場合には、上下関係や区間を分けます。極限に必要なのが十分大きな n だけだとしても、問題が各 n の面積を求めるなら小さい n の場合も別に扱います。この区別が、式の通用範囲を答案に残す手掛かりです。

図形の差から数列へ

連続な2つの関数 f、g が閉区間 [a, b] で f(x) ≥ g(x) を満たすとき、2曲線と x = a、x = b で囲まれる領域の面積は ∫[a→b] (f(x) − g(x)) dx です。面積は負にならないため、上下が逆になる場所では区間を分けます。交点で等しくなることは、区間の内側での上下関係を保証しません。差の符号も調べます。

図1のように、各 n の領域を固定した領域から切り落とせるとき、残りの面積 Rₙ を介して面積列と極限が結びつきます。例えば残りが幅 wₙ、高さ hₙ の長方形に収まれば、0 ≤ Rₙ ≤ wₙhₙ です。両端が 0 に収束すると、はさみうちの原理により Rₙ も 0 に収束します。

図1の式は、切り落とす部分がもとの領域に含まれる場合の関係です。含まれない部分まで引くと、図の差と面積の差は一致しません。また、面積列が増加して上から抑えられていることは収束の根拠になりますが、それだけで極限値は決まりません。候補との差が 0 に近づくことまで示します。

基本例題：交点が動く放物線

正の整数 n に対し、放物線 y = x² と直線 y = x/n の間に囲まれる領域の面積を Sₙ とします。Sₙ と lim[n→∞] Sₙ を分数を用いて正確に求めてください。

交点を求めると、

x² = x/n
x(x - 1/n) = 0
x = 0, 1/n

0 ≤ x ≤ 1/n では x/n − x² = x(1/n − x) ≥ 0 です。したがって図2のように、直線が上、放物線が下です。2つの境界はどちらもこの区間で x 軸以上なので、囲まれる面積は2曲線の間の面積です。

図2では n = 1 の位置を描き、動く交点を 1/n と表しています。各 n について積分区間を取り直すと、

Sₙ = ∫[0→1/n] (x/n - x²) dx
   = [x²/(2n) - x³/3] の 0 から 1/n までの差
   = 1/(2n³) - 1/(3n³)
   = 1/(6n³)
lim[n→∞] Sₙ = 0

元の2式に x = 1/n を代入すると、どちらも 1/n² です。交点は正しく、差は区間内で負にならないので、得た面積も正です。n が大きいと交点が原点へ近づき、領域が縮む様子と結果も一致します。

区間を [0, 1] のまま固定すると、n > 1 のとき 1/n より右側で上下関係が逆になり、求める領域の外まで含みます。n = 1 で合っていても、一般の n で正しいとは限りません。積分の前に交点を毎回式で書くことで、この取り違えを防げます。

標準例題：大きな面積から切り落とす

正の整数 n に対し、放物線 y = x²、直線 y = 1、直線 x = 1/n、および y 軸で囲まれる領域を除き、放物線 y = x²、直線 y = 1、y 軸で囲まれる領域の残りの面積を Tₙ とします。Tₙ とその極限を正確な分数で求めてください。

固定した領域は 0 ≤ x ≤ 1 で x² ≤ y ≤ 1 です。動く直線 x = 1/n は n ≥ 1 でこの区間にあり、除く部分は 0 ≤ x ≤ 1/n に対応します。n = 1 では全体を除くので、残りの面積は 0 です。端の場合も同じ式で扱えるか最後に確かめます。

A = ∫[0→1] (1 - x²) dx
  = [x - x³/3] の 0 から 1 までの差
  = 2/3
Rₙ = ∫[0→1/n] (1 - x²) dx
   = [x - x³/3] の 0 から 1/n までの差
   = 1/n - 1/(3n³)
Tₙ = A - Rₙ
   = 2/3 - 1/n + 1/(3n³)
lim[n→∞] Tₙ = 2/3

n = 1 を代入すると T₁ = 2/3 − 1 + 1/3 = 0 です。また直接、残りの区間 [1/n, 1] で 1 − x² を積分しても同じ式が得られます。固定領域と除く領域の双方で高さが 1 − x² であることが、差を取る理由です。

極限だけなら Rₙ を詳しく積分しなくても済みます。0 ≤ x ≤ 1/n では 0 ≤ 1 − x² ≤ 1 なので、0 ≤ Rₙ ≤ 1/n です。幅 1/n、高さ 1 の長方形に切り落とす部分が収まり、面積が 0 に近づきます。ただしこの評価だけから各 Tₙ の正確な値は出ないため、面積列も問われたこの問題では積分を残します。

発展例題：交点の位置と面積の差を追う

正の整数 n に対し、曲線 y = 1 − x²、x 軸、y 軸、直線 x = 1 − 1/(n + 1) で囲まれる領域の面積を Uₙ とします。Uₙ と lim[n→∞] Uₙ を正確な分数で求め、極限との差が正であることも示してください。

まず tₙ = 1 − 1/(n + 1) = n/(n + 1) と置きます。n ≥ 1 より 0 < tₙ < 1 です。曲線と x 軸の交点は x = 1 と x = -1 であり、扱う領域は 0 ≤ x ≤ tₙ の第1象限側です。この範囲で 1 − x² > 0 ですから、

Uₙ = ∫[0→tₙ] (1 - x²) dx
   = tₙ - tₙ³/3
   = n/(n + 1) - n³/(3(n + 1)³)
   = n(2n² + 6n + 3)/(3(n + 1)³)

極限の候補は直線が x = 1 へ近づいたときの固定領域の面積です。連続な曲線の下の有限区間の面積を計算すると、

A = ∫[0→1] (1 - x²) dx
  = [x - x³/3] の 0 から 1 までの差
  = 2/3

ただし図形が近づくという見た目だけで結論にせず、残りの面積を評価します。tₙ ≤ x ≤ 1 では 0 ≤ 1 − x² ≤ 1 です。この残りは幅 1/(n + 1)、高さ 1 の長方形に含まれるので、

0 ≤ A - Uₙ
A - Uₙ = ∫[tₙ→1] (1 - x²) dx
A - Uₙ ≤ 1/(n + 1)
lim[n→∞] (A - Uₙ) = 0
lim[n→∞] Uₙ = 2/3

さらに、0 ≤ x < 1 では 1 − x² > 0 であり、tₙ < 1 です。残りの領域には正の幅と高さを持つ部分があるので、各 n で A − Uₙ > 0 です。実際に差を計算しても次のようになり、正であることと極限への近づき方が確かめられます。

A - Uₙ = (2 - 3tₙ + tₙ³)/3
       = (1 - tₙ)²(2 + tₙ)/3
       = (3n + 2)/(3(n + 1)³)

tₙ を元の直線に戻すと x = n/(n + 1) であり、曲線の高さは 1 − tₙ² > 0 です。よって面積は正で、終端を x = 1 とした固定領域より小さいという図形の条件にも合います。幅だけで評価した上界は正確な差より大きくても、0 に収束する証明には十分です。

誤った区間を直す

基本例題について、次のような答案を考えます。

誤答：Sₙ = ∫[0→1] (x/n - x²) dx
           = 1/(2n) - 1/3

図3のように、n > 1 では x = 1/n の右で放物線が直線より上です。そこは囲まれた領域の外であり、符号つきの差まで足しています。実際、n = 2 では誤答が -1/12 になり、面積が負になるという矛盾が現れます。

図3の修正では、図形の境界である交点を 0 と 1/n と求め、0 ≤ x ≤ 1/n で差が非負と確かめてから積分します。すると Sₙ = 1/(6n³) です。負にならないことは必要な点検ですが、正の数になっただけでは区間が正しい証明にはなりません。交点と上下関係の両方を答案に残します。

別の失敗は、面積が増えていることから極限を固定領域の面積と決めることです。増加して上から抑えられるだけなら、上界より小さい値に収束する可能性もあります。固定領域との差を実際に示し、0 に近づく評価を添えると、収束先まで結論できます。

手を動かす5問

各問で n は正の整数です。面積と極限は分数を用いた正確な値で答えてください。曲線と直線の交点、境界、上下関係を先に確認します。

1. y = x² と y = 2x/n で囲まれる領域の面積を Aₙ とします。Aₙ とその極限を求めてください。
2. y = x²、y = 4、y 軸、x = 2/n で囲まれる領域の面積を Bₙ とします。Bₙ とその極限を求めてください。
3. y = 3 − x、x 軸、y 軸、x = 3n/(n + 1) で囲まれる領域の面積を Cₙ とします。Cₙ とその極限を求めてください。
4. y = x²、y = 2x、x = 1/n、x = 1 で囲まれる領域の面積を Dₙ とします。Dₙ とその極限を求めてください。n = 1 の退化した場合も含めます。
5. y = 4 − x²、x 軸、y 軸、x = 2 − 1/n で囲まれる領域の面積を Eₙ とします。Eₙ とその極限を求め、固定領域との差が 0 に近づく理由も示してください。

5問の解答と境界の照合

1. 交点は x² = 2x/n より x = 0、2/n です。区間内では x(2/n − x) ≥ 0 なので直線が上です。

Aₙ = ∫[0→2/n] (2x/n - x²) dx
   = [x²/n - x³/3] の 0 から 2/n までの差
   = 4/n³ - 8/(3n³)
   = 4/(3n³)
lim[n→∞] Aₙ = 0

右端を元の2式へ代入すると、どちらも 4/n² です。区間の幅と面積は正で、極限は縮む領域と一致します。

2. n ≥ 1 より 0 < 2/n ≤ 2 です。この範囲で 4 − x² ≥ 0 なので、

Bₙ = ∫[0→2/n] (4 - x²) dx
   = [4x - x³/3] の 0 から 2/n までの差
   = 8/n - 8/(3n³)
lim[n→∞] Bₙ = 0

n = 1 では右端が曲線と直線 y = 4 の交点 x = 2 に一致します。n > 1 では右端で 4/n² < 4 となり、上下関係も元の境界に合います。

3. t = 3n/(n + 1) とすると 0 < t < 3 です。y = 3 − x はその区間で正なので、

Cₙ = ∫[0→t] (3 - x) dx
   = 3t - t²/2
   = 9n/(n + 1) - 9n²/(2(n + 1)²)
   = 9n(n + 2)/(2(n + 1)²)
lim[n→∞] Cₙ = 9/2

右端の高さは 3 − t = 3/(n + 1) > 0 です。直線の x 軸との交点は 3 なので、極限 9/2 は底辺 3、高さ 3 の三角形の面積とも一致します。

4. 1/n ≤ x ≤ 1 では 2x − x² = x(2 − x) ≥ 0 です。したがって、

Dₙ = ∫[1/n→1] (2x - x²) dx
   = [x² - x³/3] の 1/n から 1 までの差
   = 2/3 - 1/n² + 1/(3n³)
lim[n→∞] Dₙ = 2/3

n = 1 のとき両端が一致し、式も 0 を返します。n > 1 では右端の上下の高さはそれぞれ 2 と 1 で、面積が正の領域を確かに含みます。

5. t = 2 − 1/n とすると 1 ≤ t < 2 です。0 ≤ x ≤ t では 4 − x² > 0 ですから、

Eₙ = ∫[0→t] (4 - x²) dx
   = 4t - t³/3
   = 16/3 - 2/n² + 1/(3n³)
lim[n→∞] Eₙ = 16/3

固定領域の面積は ∫[0→2] (4 − x²) dx = 16/3 です。差は [t, 2] の下の面積で、幅 1/n、高さ 4 の長方形に収まるため 0 ≤ 16/3 − Eₙ ≤ 4/n です。右端での高さは 4 − (2 − 1/n)² = 4/n − 1/n² > 0 で、元の領域の条件にも合います。

答案を点検する順番

• 交点と動く直線の位置から、その n の積分区間を決めます。
• 区間内で上下を比べ、面積を非負の差で表します。
• 固定領域との差を使うときは、包含関係を明記します。
• 残りを上下から評価し、極限値まで結びつけます。
• 端の n と元の境界に答えを戻して照合します。

積分はできるのに答えが負になる場合は、上下の逆転か不要な区間の混入を疑います。図の境界を式にできない場合は、交点の方程式と n の範囲を別々に書いてから図へ戻します。個別指導で確かめるなら、まず1つの n で領域を塗り、次に別の n で端点がどう変わるかを本人の言葉で説明してもらいます。面積列の極限は、動く境界を最後まで追った答案から見えてきます。