高校数学II 一点と傾きから直線を求める方法—条件を代入し縦の直線も式に表す｜武蔵野個別指導塾

点と傾きから式を作り、縦の直線や係数が消える場合も判定して、条件に合う一点と傾きの直線を描き出します。

よくあるのは、高2が縦の直線にも傾きを付けようとする場面です。横に進む量が 0 なのに、縦に進む量をそれで割ろうとすると、傾きは定まりません。一方、縦の直線も座標を使った方程式で表せます。通る点と方向を別々に確かめ、式に表せる直線の範囲まで見ていきましょう。

条件を式へ移す3つの場面

1つ目は、点の座標と数で与えられた傾きから直線の方程式を作る場面です。点を通るという条件は座標の代入で表せます。傾きは横の増加量に対する縦の増加量の比です。式を作った後も、点の代入と係数の読み取りを別々に行うと、符号の間違いを見つけやすくなります。

2つ目は、座標軸との向きが指定される場面です。x軸に平行な直線は横向きで、傾きは 0 です。y軸に平行な直線は縦向きで、傾きは定義されません。どちらも通る点を指定すれば式が決まりますが、同じ形に押し込めることはできません。軸そのものを含めて「軸に垂直」と言われたときも、この向きを考えます。

3つ目は、係数に文字を含む式が直線になる条件を考える場面です。yの係数が 0 になると縦の直線になる可能性があります。さらにxとyの係数が両方 0 になると、式は直線を表しません。式の形を変える前に、割ろうとする係数が 0 かどうかを調べます。

点と方向をつなぐ式

点 P(a, b) を通り、傾きが実数 m の直線を考えます。直線上の点を (x, y) とすると、x が a と異なるとき、傾きの定義から次が成り立ちます。

(y - b)/(x - a) = m
y - b = m(x - a)

後の式は x = a のときも y = b を与え、点 P 自身を含みます。逆にこの式を満たす点は、x が a と異なれば P からの変化の比が m です。したがって、実数 m に対してこの式は P を通る傾き m の直線を表します。これを点傾き式と呼びます。

図1のように、横に 1 進むと縦には m だけ変化します。m が負なら縦の変化は下向きです。m = 0 なら縦座標が変わらず、y = b という横の直線です。横の増加量を負に選んでも、縦の変化はその m 倍なので同じ直線上にあります。

図1では横に 1、縦に 2 進む例を描いています。横の変化が 0 の縦の直線では、この比の分母が 0 です。傾きを数で指定できないため、点傾き式には入れず、x座標が一定であることから x = a と書きます。特に a = 0 なら y軸そのものです。同様に b = 0 の y = b は x軸そのものです。

直線を Ax + By + C = 0 と書くこともあります。ただし A と B は同時に 0 ではありません。B が 0 でなければ、y = -(A/B)x − C/B と変形でき、傾きは -A/B です。B = 0 なら A は 0 ではなく、x = -C/A という縦の直線です。A = B = 0 のときは C = 0 なら平面上のどの点も式を満たし、C が 0 でなければ満たす点がありません。いずれも1本の直線ではありません。

一般形の係数を同じ 0 でない数倍にしても、等式を満たす点は変わりません。例えば A、B、C をすべて -1 倍しても同じ直線です。したがって答えの符号が見本と逆でも、対応する係数を比べて同じ直線か判断できます。ただし係数の一部だけを変えると別の式です。

点傾き式の括弧は、通る点を代入すると両辺が 0 になるように作られています。点の座標が負の場合、引き算と負号が重なります。展開する前に座標を入れて 0 になるか調べると、後から長い計算を直す手間を減らせます。縦の直線についても、指定された点のx座標を式に代入し、同じ値になることを確かめます。

基本例題：負の傾きと符号

点 P(2, -1) を通り、傾きが -2 の直線の方程式を、一般形で求めてください。

傾きは実数なので点傾き式を使えます。b = -1 を代入すると、y − b は y + 1 です。図2のように、右へ 1 進むと下へ 2 進む向きに注意します。

y - (-1) = -2(x - 2)
y + 1 = -2x + 4
2x + y - 3 = 0

答えは 2x + y − 3 = 0 です。図2の P を代入すると 2・2 − 1 − 3 = 0 です。また、y = -2x + 3 と直せるので傾きは -2 です。通る点だけを確かめても、P を通る別の直線は多数あります。傾きも確認して初めて両方の条件を満たすといえます。

切片から求める方法もあります。y = -2x + c に P を代入すると -1 = -4 + c、よって c = 3 です。こちらも同じ式になりますが、c を先に -1 とすると、P のy座標をy切片と取り違えます。P は y軸上にないので、その値は切片ではありません。

標準例題：軸に垂直な向き

点 Q(-3, 4) を通り、x軸に垂直な直線と、y軸に垂直な直線の方程式をそれぞれ求めてください。

x軸は横向きです。これに垂直な直線は縦向きで、Q と同じx座標を持つ点からなります。したがって式は x = -3 です。傾きは定義されないため、y = mx + c の m に数を入れる方法は使えません。

一方、y軸は縦向きです。これに垂直な直線は横向きで、Q と同じy座標を持つ点からなります。式は y = 4 で、傾きは 0 です。Q の座標をそれぞれに代入すると、-3 = -3 と 4 = 4 が成り立ちます。さらに前者ではxが一定、後者ではyが一定なので、指定された軸との向きも確かです。

「垂直な軸」の名前と、一定になる座標の名前は一致します。x軸に垂直なら x が一定、y軸に垂直なら y が一定です。ただし名前の対応を覚えるだけでなく、軸を紙に描いて向きを確認すると、平行という条件に変わっても判断できます。x軸に平行なら y が一定、y軸に平行なら x が一定です。

発展例題：文字による場合分け

実数 t に対して、点 R(1, -2) を通る式

t(x - 1) + (t - 2)(y + 2) = 0

が表す図形を調べ、直線なら傾きまたは縦の直線であることを答えてください。さらに傾きが 1 となる t を求めてください。

まず R を代入すると両方の括弧が 0 になり、どの t でも式を満たします。xとyの係数は t と t − 2 です。これらが同時に 0 となるには t = 0 と t = 2 が同時に必要ですが、そのような t はありません。よってどの実数 t でも式は直線です。

傾きを求めるために y の係数 t − 2 で割る前に、その値を分けます。t = 2 では次のようになります。

2(x - 1) = 0
x - 1 = 0
x = 1

これは R を通る縦の直線で、傾きは定義されません。t が 2 と異なる場合は、次のように変形できます。

(t - 2)(y + 2) = -t(x - 1)
y + 2 = -t/(t - 2)・(x - 1)

傾きは -t/(t − 2) です。傾きが 1 となるには、t が 2 と異なる条件のもとで次を解きます。

-t/(t - 2) = 1
-t = t - 2
2t = 2
t = 1

得られた t = 1 は 2 と異なります。元の式に戻すと (x − 1) − (y + 2) = 0、すなわち y + 2 = x − 1 です。R を通り、傾きが確かに 1 です。t = 2 の縦の直線は傾きが 1 ではないので、別に調べた後で除きます。

なお t = 0 では y + 2 = 0、つまり y = -2 となり、傾き 0 の横の直線です。係数が片方だけ 0 になることと、両方 0 になることは別の状況です。前者は直線として残り、後者は直線の定義から外れます。

誤答を図に戻して直す

点 S(3, 1) を通り、y軸に平行な直線を求めるとき、「傾きが 0 だから y = 1」とする答えを考えます。S は y = 1 を満たすため、点の代入だけでは誤りが見えません。しかし y = 1 は横の直線で、y軸に垂直です。

図3のように、正しい直線上では縦座標が変わっても横座標は 3 のままです。したがって修正した式は x = 3 です。S を代入すると 3 = 3 で、y軸と同じ縦向きになります。誤った y = 1 も S を通るため、通過条件だけでなく向きまで確かめる必要があります。

別の失敗は「縦の直線の傾きは 0」とすることです。傾き 0 は、横の変化が 0 でないときに縦の変化が 0 という意味です。縦の直線では横の変化が 0 なので、比を作る段階で割り算ができません。数として 0 と置くのではなく、傾きが定義されないと書きます。

練習：式と条件を往復する

次の5問は、それぞれ方程式または指定された数を正確に求めてください。分数は約分した形で表します。

1. 点 A(-1, 3) を通り、傾きが 2 の直線を一般形で求めてください。
2. 点 B(4, -5) を通り、x軸に平行な直線とx軸に垂直な直線をそれぞれ求めてください。
3. 点 C(2, 5) を通る直線 3x + ky − 16 = 0 の定数 k と、その直線の傾きを求めてください。
4. 点 D(-2, 1) を通る式 s(x + 2) + (s + 1)(y − 1) = 0 について、縦の直線になる s と、その直線の方程式を求めてください。
5. 点 E(3, -4) を通り、y軸との交点のy座標が 2 である直線の方程式を一般形で求めてください。

練習の解答と確かめ

1. 括弧の中の符号

傾きは 2 なので、点傾き式に A を入れます。

y - 3 = 2(x - (-1))
y - 3 = 2x + 2
2x - y + 5 = 0

答えは 2x − y + 5 = 0 です。A を代入すると -2 − 3 + 5 = 0 です。y = 2x + 5 と直せば傾きが 2 と読めます。x + 1 の符号と、移項後のyの符号を両方確かめます。

2. 一定になる座標

x軸に平行な直線は横向きなので、B のy座標を使い y = -5 です。x軸に垂直な直線は縦向きなので、B のx座標を使い x = 4 です。B を両式に代入するとそれぞれ -5 = -5、4 = 4 となります。横の直線の傾きは 0 ですが、縦の直線の傾きは定義されません。

3. 通過条件で係数を決める

C の座標を与式へ代入します。

3・2 + 5k - 16 = 0
5k - 10 = 0
k = 2

元の式は 3x + 2y − 16 = 0 です。yの係数 2 は 0 ではないので、yについて解けます。

2y = -3x + 16
y = -(3/2)x + 8

答えは k = 2、傾きは -3/2 です。C を元の式に戻すと 6 + 10 − 16 = 0 で、変形後の式でも 5 = -3 + 8 です。点の所属と傾きをそれぞれ確認できます。

4. 割れない場合を先に調べる

縦の直線になるにはyの係数が 0 で、xの係数は 0 でない必要があります。

s + 1 = 0
s = -1

このとき x の係数は -1 で 0 ではありません。元の式へ戻します。

-(x + 2) = 0
x + 2 = 0
x = -2

答えは s = -1、直線は x = -2 です。D のx座標は -2 なので通過条件も満たします。s = 0 では逆に x の係数が 0 となり、y = 1 という横の直線です。係数のどちらが消えるかで向きが変わります。

5. 切片を使って傾きを決める

y軸との交点のy座標が 2 なので、求める直線を y = mx + 2 と置けます。この形で縦の直線を落とさない理由も必要です。E を通る縦の直線は x = 3 であり、y軸 x = 0 と交わらないため、与えられた条件に合いません。

E を代入して m を求めます。

-4 = 3m + 2
3m = -6
m = -2
y = -2x + 2
2x + y - 2 = 0

答えは 2x + y − 2 = 0 です。E を代入すると 6 − 4 − 2 = 0 です。また x = 0 とすると y = 2 なので、y軸との交点の条件にも戻ります。縦の直線を除いた理由まで述べると、式の候補を見落としていないことが伝わります。

手元に残す要点

点 (a, b) と実数の傾き m から y − b = m(x − a) を作ります。 x = a は縦の直線で、傾きは定義されません。 y = b は横の直線で、傾きは 0 です。 一般形ではxとyの係数が同時に 0 でないことを確かめます。

どこで止まったかを見分ける

式が合わないときは「通る点を代入すると 0 になるか」「傾きの係数は指定どおりか」と順に問い直します。前者だけが違えば点傾き式の括弧、後者だけが違えば傾きの符号や一般形からの変形を見直せます。両方合っていても、縦の直線を候補から外してよい根拠は別に必要です。

個別指導では、まず軸を描いて指定された向きに線を引き、その線上で一定の座標を口にしてもらいます。文字係数の問題なら、割る前にその係数が 0 になる値を書き、そこで元の式が何を表すかを確かめます。点の所属と方向をそれぞれ式に戻せば、直線を定める条件が見えてきます。