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高校数学II 座標を用いる図形の証明—原点と軸の置き方を選んで距離や中点を比べる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 図形と方程式を掘り下げる

二等辺三角形と一般の三角形で座標の置き方を比較し、中点や距離を使う証明で退化条件を確かめる理由を探ります。

よくあるのは、高2の人が図の見た目だけを頼りに、三角形の頂点を左右対称な座標に置いてしまう場面です。描いた図が対称に見えても、問題の仮定にその対称性がなければ、対象を一部に狭めています。座標を置く作業は計算の準備であると同時に、どの図形を証明するのかを決める作業です。原点と軸の自由な選択と、仮定から導くべき関係を分けて考えましょう。

要点（結論から）

軸の向きは自由に選べますが、対称な位置には根拠が要ります。
長さは二乗、中点は2つの座標を比べます。
文字の条件で、点の重なりや一直線上への退化を除きます。

どんな結論を座標で示すか

第1の型は、2つの線分の長さが等しいことの証明です。両端の座標差からそれぞれの長さの二乗を作り、等しいことを示します。長さは負にならないため、二乗が等しければ元の長さも等しくなります。根号を最後まで持ち歩かずに比較できる点が便利です。

第2の型は、中点を使う証明です。対角線の中点が一致することを示して四角形を調べたり、三角形の中線が1点で交わることを示したりできます。ただし、中点が同じという計算結果から図形の名前を結論するときには、点の重なりや一直線上への退化を忘れずに調べます。

第3の型は、対称性が成立する条件を調べる問題です。左右対称に置けば式は短くなりますが、置ける理由を先に示す必要があります。与えられた辺の長さの等しさから垂直二等分線上の位置を導くのか、それとも一般の座標で計算するのかを選びます。

軸を選ぶ自由と仮定から出る制約

異なる2点を結ぶ直線を横軸にし、その一方を原点に置くことは、座標の位置と向きを選ぶ操作です。長さや中点などの図形の性質は座標軸の選び方によって変わりません。三角形の底辺を横軸にすれば、もう1つの頂点が底辺のどちら側にあるかに合わせて縦軸の正の向きを選べます。

一方、底辺の中点を原点とし、両端を A(-a, 0)、B(a, 0) と置いたとき、頂点 C を C(0, b) とするには根拠が要ります。図1のように、CA = CB が仮定なら C は底辺の垂直二等分線上にあります。実際、一般に C(u, b) と置いて距離の二乗を比べれば、そのことを式からも示せます。

CA² = (u + a)² + b²
CB² = (u - a)² + b²
CA² - CB² = 4au

a > 0 なので 4a は零ではありません。CA = CB なら 4au = 0 より u = 0 です。逆に u = 0 なら二乗が等しく、CA = CB です。対称な座標は、等しい辺という仮定に支えられています。

図1のように C が軸上にあっても、b = 0 なら3点は一直線上に並び、三角形になりません。三角形として扱うときは b ≠ 0 が必要です。上下の向きを選んで b > 0 としても一般性は失われません。さらに a = 0 も底辺の両端が重なるので除きます。

別の基本事実も確かめておきます。P(x₁, y₁)、Q(x₂, y₂) の中点の座標は ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) です。各座標をそれぞれ平均するので、横か縦の片方だけを比べて中点が一致すると結論してはいけません。長さの比較では PQ² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² を使います。

基本例題: 等しい辺から中線を調べる

問題: 三角形 ABC で CA = CB とします。底辺 AB の中点を M とするとき、CM が AB に垂直であることを証明し、CM の長さを a、b を用いて表してください。ここで AB = 2a、C から直線 AB までの距離を b として a > 0、b > 0 とします。

底辺の中点を原点に、AB を横軸に選びます。C 側を縦軸の正の向きとし、図2のように A(-a, 0)、B(a, 0)、C(u, b)、M(0, 0) と置きます。最初から u = 0 と置かず、等しい辺から導きます。

CA² - CB² = (u + a)² + b² - {(u - a)² + b²}
= (u² + 2au + a²) - (u² - 2au + a²)
= 4au

仮定 CA = CB により 4au = 0 です。a > 0 だから u = 0 となり、C(0, b) です。C と M は縦軸上にあり、b > 0 なので異なる2点です。したがって CM は縦軸、AB は横軸であり、CM は AB に垂直です。

図2の線分の長さも座標に戻して確かめます。M(0, 0)、C(0, b) から CM² = b² であり、b > 0 なので CM = b です。また CA² = a² + b²、CB² = a² + b² となって、等しい辺という元の条件に合います。

座標を置く前に CM を縦軸としてよいと決めてしまうと、証明したい垂直を最初から使うことになります。底辺を横軸にする自由と、頂点が縦軸上にあるという結論の違いを確認してください。例えば頂点がずれている三角形なら同じ置き方はできません。

標準例題: 四角形の辺の中点を結ぶ

問題: 凸四角形 ABCD の辺 AB、BC、CD、DA の中点をそれぞれ E、F、G、H とします。四角形 EFGH が平行四辺形であることを証明してください。凸とは、四角形の内部に折れ込みがなく、対角線が内部で交わる形です。

A を原点、AB の向きを横軸にし、D 側に縦軸の正の向きを選びます。座標を A(0, 0)、B(2a, 0)、C(2b, 2c)、D(2d, 2e) と置きます。ここで a > 0 です。凸四角形という仮定は文字に追加条件を課しますが、C や D を左右対称とは置きません。

中点の公式を各辺に使うと、次のようになります。

E = (a, 0)
F = (a + b, c)
G = (b + d, c + e)
H = (d, e)

対角線 EG の中点を P、FH の中点を Q とします。両方の座標を求めます。

P = ((a + b + d)/2, (c + e)/2)
Q = ((a + b + d)/2, (c + e)/2)

P と Q は一致します。凸四角形の2本の対角線 AC と BD は内部で交わり、同一直線ではありません。各中点を結ぶ EF は AC と平行で長さは AC の半分、FG は BD と平行で長さは BD の半分です。実際、F と E の座標差は (b, c)、G と F の座標差は (d − a, e) であり、それぞれ AC、BD の座標差の半分です。したがって隣り合う辺は同一直線上にならず、EFGH は退化しません。

そこで、対角線が互いに中点で交わる四角形は平行四辺形であるという定理を適用できます。この定理は、交点で分けた2組の線分がそれぞれ等しく、対頂角が等しいので三角形の合同を使って示せます。中点の一致に加え、四角形として成立することを点検してから結論を出すのが要点です。

数の例として A(0, 0)、B(6, 0)、C(8, 4)、D(0, 4) を選ぶと、E(3, 0)、F(7, 2)、G(4, 4)、H(0, 2) です。EG と FH の中点はいずれも (7/2, 2) で、元の4点も凸四角形を作ります。この確認は式の符号を点検するためであり、一般の証明そのものは文字式で行っています。

発展例題: 3本の中線が交わる位置

問題: 三角形 ABC の各頂点と、その向かい側の辺の中点を結ぶ3本の中線について、1点で交わり、その点が各中線を頂点側から 2 : 1 に内分することを証明してください。交点の座標を文字で表してください。

A を原点、AB を横軸に置き、C 側を縦軸の正に選びます。A(0, 0)、B(2p, 0)、C(2q, 2r) と置けば、p > 0、r > 0 です。q は任意の実数で、C の横座標を底辺の中点に制限しません。r > 0 は3点が一直線上にないことを表します。

BC、CA、AB の中点をそれぞれ D、E、F とします。

D = (p + q, r)
E = (q, r)
F = (p, 0)

AD を頂点 A から 2 : 1 に内分する点を T と置きます。内分点は A から D へ3等分のうち2つ進んだ点なので、次の座標です。

T = (2(p + q)/3, 2r/3)

同じように BE を B から 2 : 1 に内分する点 U の座標を計算します。

U = ((2p + 2q)/3, 2r/3)

CF を C から 2 : 1 に内分する点 V は次のとおりです。

V = ((2q + 2p)/3, 2r/3)

T、U、V は一致します。よって3本の中線はこの点で交わり、各頂点から向かいの中点までを 2 : 1 に内分します。いずれの中線も、三角形の頂点と向かいの辺上の点を結ぶため長さが正です。点が重なって比が意味を失う場合は、p > 0、r > 0 という条件で除かれています。

比を元の図に戻してみましょう。例えば AD 上では T が A から D までの 2/3 の位置にあり、残りは 1/3 です。したがって AT : TD = 2 : 1 です。点の座標が一致するという計算と、線分上の位置という結論が対応しています。

この証明では3本の直線の方程式を作って連立する必要はありません。各中線に共通する候補を内分点として作り、それぞれの座標を比べています。逆に、図を見て交わる点を底辺の中央の真上と決める方法は、q が自由に動ける一般の三角形を扱えません。

誤答を図に戻して直す

誤答: 「任意の三角形 ABC の底辺の中点を原点にすれば、A(-a, 0)、B(a, 0)、C(0, b) と置ける。よって CA = CB である。」

この計算では、結論を作る条件を座標設定に紛れ込ませています。底辺を横軸にすることと、その頂点が縦軸上にあることは別です。図3の C は中点の真上からずれており、底辺の端からの距離は等しくありません。

図3では A(-3, 0)、B(3, 0)、C(1, 3) とします。底辺の中点は確かに原点ですが、距離を計算すると次のように異なります。

CA² = (1 + 3)² + 3² = 25
CB² = (1 - 3)² + 3² = 13

CA = 5、CB = √13 なので、等しい辺とは限りません。修正するときは C(u, b) と置いて u を残します。CA = CB が仮定にある場合に限り、先ほどの差 4au = 0 から u = 0 を導きます。仮定がない場合、u = 0 と決めることはできません。

この反例では b = 3 なので3点は一直線上にならず、確かに三角形です。単に式が合わない例ではなく、元の「任意の三角形」という条件を満たす図で主張が破れることを確かめています。逆に a = 0 や b = 0 では、三角形の反例として使えません。

練習問題

答えは座標、等式、または証明で示してください。問題をまとめて読んでから、下の解答で筋道と条件を確かめましょう。

A(-4, 0)、B(4, 0)、C(0, 5) について、CA² と CB² を整数で求め、CA = CB を示してください。AB の中点 M の座標も求めてください。
P(0, 0)、Q(8, 0)、R(2, 6) について、PQ の中点 N の座標を求め、RN が PQ に垂直かどうかを理由とともに答えてください。
A(0, 0)、B(10, 0)、C(4, 8) の三角形で、BC の中点 D と CA の中点 E を求め、AD と BE をそれぞれ頂点から 2 : 1 に内分する点が一致することを示してください。座標は分数で表してください。
四角形の頂点を順に A(0, 0)、B(8, 0)、C(10, 6)、D(2, 6) とします。各辺の中点を E、F、G、H とし、EG と FH の中点を求めて EFGH が平行四辺形であることを示してください。
A(-t, 0)、B(t, 0)、C(s, 4) とします。t > 0 のとき、CA = CB となる s を求めてください。また t = 0 の場合に、同じ3点を三角形として扱えるか答えてください。

練習問題の解答

中点の公式と距離の二乗を用います。

M = ((-4 + 4)/2, (0 + 0)/2) = (0, 0)
CA² = (0 + 4)² + (5 - 0)² = 41
CB² = (0 - 4)² + (5 - 0)² = 41

距離はどちらも正なので CA = CB = √41 です。M は A、B の横座標の平均が 0、縦座標も 0 である点です。差を元の座標に戻しても、左右への隔たりの大きさはともに 4、高さはともに 5 です。

N = ((0 + 8)/2, 0) = (4, 0) です。PQ は横軸上にあり、それに垂直な N を通る直線は x = 4 です。R の横座標は 2 なので R はこの直線上にありません。したがって RN は PQ に垂直ではありません。R の縦座標が 6 であるため、P、Q、R は三角形を作ります。
中点は D(7, 4)、E(2, 4) です。AD を A から 2 : 1 に内分する点を S、BE を B から 2 : 1 に内分する点を T とします。

S = (2・7/3, 2・4/3) = (14/3, 8/3)
T = ((10 + 2・2)/3, (0 + 2・4)/3)
T = (14/3, 8/3)

両点が一致します。S は A から D へ 2/3、T は B から E へ 2/3 進んだ点なので、いずれも頂点側と中点側の長さの比は 2 : 1 です。C の縦座標は 8 で、AB は長さ 10 なので、三角形は退化していません。

中点を順に求めます。

E = (4, 0)
F = (9, 3)
G = (6, 6)
H = (1, 3)
EG の中点 = ((4 + 6)/2, (0 + 6)/2) = (5, 3)
FH の中点 = ((9 + 1)/2, (3 + 3)/2) = (5, 3)

2本の対角線が互いの中点で交わります。また EF は横に 5、縦に 3 進み、FG は横に -3、縦に 3 進むため、隣り合う辺は同一直線上ではありません。よって EFGH は平行四辺形です。元の四角形も AB と CD が平行で、横方向にずれた高さ 6 の四角形として成立します。

距離の二乗の差を計算します。

CA² = (s + t)² + 16
CB² = (s - t)² + 16
CA² - CB² = 4st

CA = CB なら 4st = 0 です。t > 0 より s = 0 です。逆に s = 0 を代入すると両方の二乗は t² + 16 で、距離が等しくなります。t = 0 なら A と B はともに原点に重なり、3点は三角形を作りません。この場合は距離の等しさ自体は成り立っても、三角形についての結論には使えません。