高校数学II 中点と重心の座標—中線上の比を使い頂点や重心の未知座標を求める｜武蔵野個別指導塾

中線の2:1から座標の平均を導き、未知の頂点を復元する道筋をたどる中点と重心の話です。

よくあるのは、高2が三角形の重心を辺の中点と混同する場面です。辺の両端を平均する計算は合っていても、その点は辺の上にあります。重心は頂点と向かい側の辺の中点を結ぶ線分上にあり、位置を決める比も必要です。図に点の役割を書き込み、式から求めた座標を元の条件へ戻して確かめましょう。

どの座標を求めるか

中点と重心の問題は、まず未知の点がどの立場にあるかで分けられます。2点が与えられ、その中間の位置を求める型では、それぞれの座標を2で割る前に同じ成分どうしを足します。中点と一方の端点から他方を求める型では、平均の式を逆向きに使います。

3頂点から重心を求める型では、まず1辺の中点を作り、頂点からその中点へ向かう中線の比を使います。中線とは、頂点とその対辺の中点を結ぶ線分です。3つの頂点の平均という形を覚えていても、どの3点を足すかを図で確認すれば、辺の中点を重心としてしまう誤りを防げます。

重心と2頂点から残りの頂点を求める型では、3倍してから既知の座標を引きます。計算後は3点が一直線上に並ばないかも確認します。一直線上なら三角形ができず、三角形の重心という条件を満たせないためです。

平均と中線の比をつなぐ

2点 A(a, b)、B(c, d) の中点 M は、線分 AB を 1:1 に内分する点です。各成分の平均をとるので、M((a + c)/2, (b + d)/2) です。A と B が異なれば線分の中点として考えられます。2点が一致すると式はその共通点を与えますが、長さの比 1:1 として扱うときには両方の長さが0になる点に注意します。

三角形 ABC の辺 BC の中点を M、重心を G とします。図1のように G は中線 AM 上にあり、AG:GM = 2:1 です。中点 M と重心 G は別の役割を持ちます。三角形がつぶれていなければ A と M は異なるので、この比を使えます。

図1では頂点 A から重心までが2つ分、重心から M までが1つ分です。重心の座標が3頂点の平均になる理由を、内分点の式から確かめます。A(a, b)、B(c, d)、C(e, f) とすると、まず M の座標は ((c + e)/2, (d + f)/2) です。G は AM を 2:1 に内分するので、対応する座標は次のようになります。

Gのx座標 = {a + 2(c + e)/2}/3
           = (a + c + e)/3
Gのy座標 = {b + 2(d + f)/2}/3
           = (b + d + f)/3

したがって G((a + c + e)/3, (b + d + f)/3) です。どの頂点を最初に選んでも同じ平均が得られます。これは3本の中線が同じ点で交わり、その点がそれぞれの中線を頂点側から 2:1 に分けるという重心の性質と一致します。頂点側に近いのは G ではなく M から見た G です。比の順序を AG:GM と明記して判断します。

逆算するときの見通し

重心 G(p, q) と A(a, b)、B(c, d) が与えられ、C が未知の場合を考えます。C(x, y) と置けば、重心の公式から (a + c + x)/3 = p、(b + d + y)/3 = q です。各式の両辺に3を掛けて、x = 3p − a − c、y = 3q − b − d と求められます。3で割る計算を逆にするので、既知の頂点を引く前に重心の座標を3倍します。

この式は候補を一意に決めますが、候補が三角形を作ることまでは保証しません。A と B が一致していれば初めから三角形は存在せず、異なる場合でも候補 C が直線 AB 上にあれば三角形はつぶれます。したがって、先に A と B の違いを確認し、候補を得た後に直線上かどうかを判定します。縦の直線では傾きを計算できないため、A と B の x座標が同じなら C の x座標も同じかどうかで判定できます。

中点から端点を逆算するときも同じ考え方です。中点の座標を2倍して既知の端点の座標を引けば、もう一方の端点が得られます。求めた2点を平均して元の中点に戻すと、符号を間違えた成分を特定しやすくなります。重心の場合は3点を平均し、さらに図形の条件を調べます。

中点の確認では、両端からの距離が等しいことに加え、その点が両端の間にあることも必要です。平面には両端から等距離の点がほかにもあるため、等距離という条件だけでは中点と決まりません。座標を平均して得た点なら、各成分の変化が両側で等しくなることも確認できます。

基本例題：中点を経由して重心へ

三角形 ABC の頂点が A(0, 6)、B(-6, 0)、C(6, 0) です。辺 BC の中点 M と重心 G の座標を、それぞれ整数の組で求めてください。

図2のように、まず底辺の両端から M を求めます。B と C は異なり、A は直線 BC 上にないので、三角形はつぶれていません。

Mのx座標 = (-6 + 6)/2
           = 0
Mのy座標 = (0 + 0)/2
           = 0
M = (0, 0)

図2で A から M への中線を頂点側から 2:1 に分ける点が G です。内分点の式を各成分に適用します。

Gのx座標 = (1・0 + 2・0)/3
           = 0
Gのy座標 = (1・6 + 2・0)/3
           = 2
G = (0, 2)

確認として、A、B、C の座標を直接平均すると、x座標は (0 − 6 + 6)/3 = 0、y座標は (6 + 0 + 0)/3 = 2 です。また AG = 4、GM = 2 なので、比は 2:1 に戻ります。M(0, 0) を答えにすると、この比を満たさず、重心と中点を取り違えたことに気づけます。

標準例題：重心から頂点を復元する

A(-2, 5)、B(4, -1)を2頂点とし、重心がG(1, 2)となる三角形ABCを考えます。平均の式から頂点Cの候補を整数の組で求め、その候補が三角形を作るか判定してください。

C(x, y) と置きます。重心の各成分は3頂点の対応する成分の平均ですから、次の2式を得ます。

(-2 + 4 + x)/3 = 1
2 + x = 3
x = 1
(5 - 1 + y)/3 = 2
4 + y = 6
y = 2

計算上の候補は C(1, 2) です。しかし、この候補は G と一致します。さらに A と B の中点は ((-2 + 4)/2, (5 − 1)/2) = (1, 2) ですから、C は辺 AB の中点に重なり、3点は一直線上です。したがって、条件を満たす三角形は存在しません。

平均の式に候補を戻せば G(1, 2) になりますが、それは座標の等式の確認です。三角形の存在まで確認するには不十分です。このように、座標を求める計算が正常に終わっても、元の図形が成立しない場合があります。候補を答えとして確定する前に、点の一致や一直線上の配置を調べます。

発展例題：中点の条件と重心を合わせる

三角形 ABC で A(1, 5)、辺 BC の中点 M(4, 2)、重心 G が直線 x + y = 5 上にあります。この条件を満たす三角形が存在するか判定してください。また、存在する場合は G の座標を整数の組で求めてください。

A と M が異なるので、三角形が存在するなら G は線分 AM を 2:1 に内分します。まず重心の候補を求めます。

Gのx座標 = (1 + 2・4)/3
           = 3
Gのy座標 = (5 + 2・2)/3
           = 3
G = (3, 3)

これを指定された直線の式に戻すと、3 + 3 = 6 です。5 ではないので、候補は直線上にありません。よって条件を満たす三角形は存在せず、重心の座標として答える点もありません。

B と C の位置が未指定でも、M が固定されると G は A と M によって決まります。例えば直線の条件がなければ、M を中点とする B、C を直線 AM の外に選んで三角形を作れます。しかし元の直線条件を外してはいけません。候補の算出と条件への代入は別の段階です。

間違いを図に戻す

基本例題と同じ A(0, 6)、B(-6, 0)、C(6, 0) を考えます。「B と C の平均は (0, 0) だから、重心も (0, 0)」という答えは誤りです。図3のように、その計算が作るのは辺 BC の中点 M です。A の位置を計算に入れていないため、A を動かしても答えが変わらない点にも矛盾が見えます。

図3では M から A に向かって3分の1進んだ点が G です。式を直すには A の座標も含めて3頂点を平均します。

x = (0 - 6 + 6)/3
  = 0
y = (6 + 0 + 0)/3
  = 2
G = (0, 2)

別の誤りは、AG:GM = 2:1 を逆に読むことです。逆に分けると (0, 4) になり、AG:GM = 2:4 = 1:2 です。比を実際の長さに戻せば、式の係数を覚え違えても修正できます。図では中点と重心に異なる文字を付け、どの2つの長さを比べるのかを示しましょう。

自分で解く5問

各問の座標は整数または既約分数の組で答えてください。三角形の存在を問う場合は、存在しないときも理由を示してください。

1. P(-5, 3)、Q(7, -9) の中点を求めてください。
2. 線分 DE の中点が N(2, -3)、D(-4, 1) です。E の座標を求めてください。
3. 三角形の頂点が A(2, 7)、B(-4, 1)、C(8, -2) です。重心を求めてください。
4. 三角形の A(0, 0)、B(6, 0)、重心 G(2, 1) が与えられています。C を求め、三角形の存在を確かめてください。
5. A(0, 0)、B(4, 0) を2頂点とする三角形の重心が G(3, 0) です。残りの頂点の候補を求め、三角形が存在するか判定してください。

解答と確かめ

1. 対応する成分を平均する

x = (-5 + 7)/2
  = 1
y = (3 - 9)/2
  = -3

中点は (1, -3) です。P から中点までの座標の変化は (6, -6)、中点から Q までも (6, -6) です。両方の長さが等しく、求めた点は2点の間にあります。

2. 平均の式を逆に解く

E(x, y) とします。中点の定義から成分ごとに式を立てます。

(-4 + x)/2 = 2
-4 + x = 4
x = 8
(1 + y)/2 = -3
1 + y = -6
y = -7

E(8, -7) です。D と E の各成分を平均すると (2, -3) となり、指定された中点に戻ります。2を掛ける前に D の成分を引くと順序が変わるので、等式の両辺を同じ順に操作します。

3. 3頂点を一度ずつ使う

x = (2 - 4 + 8)/3
  = 6/3
  = 2
y = (7 + 1 - 2)/3
  = 6/3
  = 2

重心は (2, 2) です。B と C の中点は (2, -1/2) なので、A とその中点は異なります。A から (2, 2) までの長さは5、その点から中点までは 5/2 で、比は 2:1 です。また BC は傾き -1/4 の直線で、x = 2 のとき y = -1/2 です。A はその直線上にないので三角形はつぶれていません。

4. 残りの頂点を求める

C(x, y) と置きます。

(0 + 6 + x)/3 = 2
6 + x = 6
x = 0
(0 + 0 + y)/3 = 1
y = 3

C(0, 3) です。3頂点を平均すると (2, 1) に戻ります。A と B は x軸上の異なる点で、C の y座標は0ではありません。したがって3点は一直線上になく、三角形が存在します。

5. 候補が三角形を作るか調べる

C(x, y) と置いて、重心の平均の式を解きます。

(0 + 4 + x)/3 = 3
4 + x = 9
x = 5
(0 + 0 + y)/3 = 0
y = 0

候補は C(5, 0) です。平均は確かに (3, 0) ですが、A、B、C はすべて x軸上にあります。よって三角形は存在しません。平均の式を満たす点が求まる場合と、条件を満たす図形が存在する場合を区別します。

手元に残す要点

中点は2端点の対応する座標の平均です。 重心は中線を頂点側から 2:1 に分けます。 重心の各座標は3頂点の対応する座標の平均です。 逆算した頂点は元の条件と三角形の成立に戻して確かめます。

式が止まったときの問い

中点と重心のどちらを求めていますか。図に M と G を分けて書き、M がどの2点の平均か、G がどの3点の平均かを指で追ってみてください。中線上の比を使うときは、長い方が AG と GM のどちらかを先に確かめます。

個別指導で確認するなら、まず中点の式を本人に立ててもらい、次に重心から頂点を逆算する式を見ます。等式の両辺を3倍できるかだけでなく、求めた点を平均に戻せるか、3頂点が一直線上にないかを尋ねます。計算結果と図形の成立を別々に確かめると、座標の答えに根拠が残ります。