高校数学II 2次方程式の解の符号—実数である条件と和や積の条件を重ねる｜武蔵野個別指導塾

解が実数である条件を確かめてから和と積の符号を重ね、重解や零を境界に文字定数の範囲を追います。

よくあるのは、高2の高校生が、2次方程式の解の和と積がともに正だから、2つの解も正だと判断する場面です。和と積の符号は確かに手掛かりですが、実数の解が存在することを先に確かめなければ、正負を論じることはできません。重解を含むか、零を正にも負にも入れないかによって、不等号の端も変わります。ここでは判別式と和・積の条件を重ね、境界を含めて判定します。

問いの形を見分ける

1つ目は、係数が決まった方程式について、解を求めずに正負を判定する問いです。判別式で実数解を確認し、解と係数の関係で和と積を読み取ります。解の公式で値を求める方法もありますが、符号が目的なら和と積を使うと根号の大小比較を避けられます。

2つ目は、文字定数の範囲を求める問いです。判別式、和、積のそれぞれから範囲を作り、最後に共通部分を取ります。途中の範囲の1つを答えにすると、実数ではない場合や零を解に持つ場合が混ざります。

3つ目は、正の解と負の解を1つずつ持つ条件です。この場合は積が負なら、実係数の2次方程式であることを前提に実数解の存在まで保証されます。それでも、その理由を説明できるようにしておくと、条件の省略が思い込みになりません。

実数の存在と符号を別々に見る

実数 a、b、c について a ≠ 0 とし、方程式 ax² + bx + c = 0 の2解を α、β とします。重解のときも同じ値を2回数えます。判別式 D = b² − 4ac が正なら異なる2つの実数解、零なら実数の重解、負なら実数解を持ちません。数学IIで扱う解と係数の関係から、和 S = α + β = -b/a、積 P = αβ = c/a です。

図1のように、まず D の条件を置き、その後に S と P を見ます。図の正負の条件は重解を2回数える場合です。異なる2解を指定されたら D > 0 に替えます。

図1の3つの行は、実数解があることを前提にしています。P > 0 なら2解は同符号です。そこで S > 0 なら両方正、S < 0 なら両方負と決まります。逆に、両方正なら和と積は正、両方負なら和は負で積は正です。この両方向を確認することで、条件が必要であるだけでなく十分でもあるとわかります。

P < 0 なら2つの実数は異符号です。実係数の2次方程式で P = c/a < 0 の場合、D = b² − 4ac は b² に正の数を加える形なので D > 0 です。よって積が負という条件だけで異なる実数解の存在も続きます。和が零でも、正と負の大きさが等しいだけで異符号です。

P = 0 は境界です。少なくとも一方が零なので、両方正、両方負、異符号のいずれにも入りません。D = 0 も境界です。重解を含む指定なら調べますが、異なる2解という指定なら除きます。たとえば重解が正なら S > 0、P > 0 であり、D = 0 を含めて正の2解と数えます。

基本例題：正の解になる範囲

実数 t に対し、x² − 4x + t = 0 が正の2解を持つような t の範囲を求めてください。重解は2解として含めます。答えは不等式で表します。

解を α、β とすると、解と係数の関係より次のようになります。

S = α + β = 4
P = αβ = t
D = (-4)² - 4・1・t
  = 16 - 4t

正の2解には D ≧ 0、S > 0、P > 0 が必要十分です。図2のように条件をそれぞれ解き、同時に満たす範囲を取ります。

D ≧ 0 より 16 - 4t ≧ 0
したがって t ≦ 4
S = 4 > 0 は常に成立
P > 0 より t > 0
よって 0 < t ≦ 4

図2の右端を含む理由は、t = 4 のとき元の式が (x − 2)² = 0 となり、正の重解 2 を持つからです。左端 t = 0 では x(x − 4) = 0 となり、解に零が含まれるので除きます。範囲内の例として t = 3 を戻すと (x − 1)(x − 3) = 0 で、両方正です。

この例では和が一定で正なので、和の条件は範囲を狭めません。しかし、書かなくてよいという意味ではありません。和が負であれば積が正でも2解は負となるため、和の確認を手順から外さないことが重要です。

標準例題：異なる負の2解

実数 k に対し、x² + 2kx + k + 2 = 0 が異なる2つの負の実数解を持つような k の範囲を求めてください。答えは不等式で表します。

負の2解であり、しかも異なるので D > 0、S < 0、P > 0 を同時に使います。各条件を独立に整理します。

S = -2k
P = k + 2
D = (2k)² - 4(k + 2)
  = 4(k² - k - 2)
  = 4(k - 2)(k + 1)

D > 0 より k < -1 または k > 2
S < 0 より -2k < 0、すなわち k > 0
P > 0 より k + 2 > 0、すなわち k > -2

3つの条件の共通部分は k > 2 です。k = 2 では元の式は x² + 4x + 4 = (x + 2)² です。負の重解ですが、異なるという指定に合わないため除きます。k = -1 でも D = 0 ですが、重解は正なので負の解の条件にも合いません。

範囲内の k = 3 では x² + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5) となり、解は -1、-5 です。元の係数に戻すと和は -6、積は 5 で、どちらも元の式の条件と一致します。範囲外の k = 1 では和は負、積は正ですが D = -8 なので、実数解がありません。これが判別式を省けない具体例です。

発展例題：係数が零になる場合を分ける

実数 m に対し、(m − 1)x² − 2mx + m + 1 = 0 が正と負の実数解を1つずつ持つような m の範囲を求めてください。答えは不等式で表します。

まず m = 1 では2次の係数が零です。元の式は -2x + 2 = 0 となり、解は 1 の1つなので条件を満たしません。m ≠ 1 なら2次方程式であり、異符号の条件は積が負であることと同値です。

P = (m + 1)/(m - 1)
P < 0 より (m + 1)/(m - 1) < 0

分子と分母が異符号になる場合を分けます。

m + 1 > 0 かつ m - 1 < 0 のとき -1 < m < 1
m + 1 < 0 かつ m - 1 > 0 のとき共通範囲なし

よって答えは -1 < m < 1 です。この範囲では m ≠ 1 が自動的に満たされます。積が負のとき ac < 0 なので D = b² − 4ac > 0 となり、異なる実数解が確かに存在します。判別式を別に計算すると D = 4m² − 4(m − 1)(m + 1) = 4 で、同じ結論を確認できます。

端の m = -1 では元の式は -2x² + 2x = 0 で、解は 0 と 1 です。零は負ではないので除きます。もう一方の端 m = 1 は最初に調べた1次方程式です。範囲内の m = 0 では -x² + 1 = 0 となり、解 1 と -1 を元の式に代入するとどちらも零になります。範囲外の m = 2 では x² − 4x + 3 = 0、解は 1 と 3 であり、異符号ではありません。

分母 m − 1 を含む不等式を解くとき、符号を調べずに両辺に m − 1 を掛けると不等号の向きを誤ることがあります。分子と分母の符号で分ければ、負の数を掛ける場合も見落としません。係数が零になる値は、解と係数の関係を使う前に元の式で調べます。

誤答から条件を戻す

「x² − 2x + 5 = 0 は和が 2、積が 5 だから正の2解を持つ」という答えを考えます。和と積の計算は正しいものの、実数であることを確かめていません。図3のように、符号の判定に進む前に判別式を置きます。

D = (-2)² - 4・1・5
  = -16
  < 0

図3の例には実数解がないので、正の2解という結論は成立しません。解は 1 + 2i、1 − 2i で、和が 2、積が 5 になることも確かめられます。複素数の解にも和と積の関係は成り立ちますが、正負による分類は実数について行います。

別の間違いは、積が正なら正の2解とすることです。実数解が存在しても、和が負なら2解は負です。また、積が零のときは一方が零なので、正の解が1つあっても正の2解とは呼べません。間違えた行に戻り、判別式、和、積のうち何を使っていないかを点検します。

練習：条件を立ててから範囲を取る

次の5問は、特に断りのない限り実数の文字定数を用います。範囲は不等式で答え、重解を含むかどうかは各問の指定に従ってください。

1. x² − 6x + q = 0 が正の2解を持つ q の範囲を求めてください。重解を含めます。
2. x² + 4x + r = 0 が異なる2つの負の実数解を持つ r の範囲を求めてください。
3. x² + 3x + s = 0 が正と負の解を1つずつ持つ s の範囲を求めてください。
4. x² − 2ux + u + 2 = 0 が正の2解を持つ u の範囲を求めてください。重解を含めます。
5. (v + 2)x² + 3x + v − 1 = 0 が正と負の解を1つずつ持つ v の範囲を求めてください。

解答と解き方

1. S = 6、P = q、D = 36 − 4q です。正の2解には P > 0 と D ≧ 0 が必要で、和は常に正です。したがって答えは 0 < q ≦ 9 です。q = 9 を元に戻すと (x − 3)² = 0 で正の重解です。q = 0 では x(x − 6) = 0 となり、零を含むため除きます。例えば q = 8 では解が 2、4 で、和 6 と積 8 が元の係数に一致します。

2. S = -4、P = r、D = 16 − 4r です。異なる負の2解には S < 0、P > 0、D > 0 が必要十分なので、答えは 0 < r < 4 です。r = 4 は (x + 2)² = 0 の重解なので除き、r = 0 は零を含むので除きます。r = 3 を戻すと (x + 1)(x + 3) = 0 となり、異なる負の解です。

3. 積 P = s が負であることと、正負の解を1つずつ持つことは同値です。よって s < 0 です。このとき D = 9 − 4s > 0 も成り立ちます。s = 0 では x(x + 3) = 0 で零を含みます。s = -4 では (x + 4)(x − 1) = 0 となり、正負の解を元の式に戻せます。

4. S = 2u、P = u + 2、D = 4(u² − u − 2) = 4(u − 2)(u + 1) です。条件は u > 0、u > -2、u ≦ -1 または u ≧ 2 です。共通部分は u ≧ 2 です。u = 2 を元に戻すと (x − 2)² = 0 で、指定どおり正の重解を含みます。u = 1 では和と積は正ですが D < 0 なので含みません。

5. v = -2 では2次ではなく、元の式は 3x − 3 = 0 で、条件を満たしません。v ≠ -2 では積 P = (v − 1)/(v + 2) が負ならよいので、答えは -2 < v < 1 です。v = 1 では 3x² + 3x = 0 となり零を含みます。範囲内の v = 0 では 2x² + 3x − 1 = 0、積は -1/2 で、判別式は 17 > 0 です。したがって元の方程式の実数解は確かに異符号です。

手元に残す4行

正負を決める前に、2次の係数と実数解の存在を確認します。 両方正は D ≧ 0、S > 0、P > 0、両方負は D ≧ 0、S < 0、P > 0 です。 異符号は P < 0 で判定でき、P = 0 では零を含みます。 異なる2解なら D > 0 とし、各条件の共通部分を取ります。

どこで止まったかを式で探す

個別指導で考えを確かめるなら、まず「この式はどの値でも2次ですか」と問い、最高次係数が零になる値を元の式へ戻します。次に「和と積が正でも実数解はありますか」と尋ね、判別式を書けるか見ます。範囲を出した後は、端の値を代入して重解か零かを言葉にしてもらいます。

条件を一度に暗記しようとして混乱したら、実数解がある場合の2数を想像し、積が正なら同符号、和がその共通の符号を決めると説明し直します。積が負の場合は一方ずつ正負になる理由を確認します。実数の存在と符号の条件を重ねることで、境界まで筋道を持って答えられます。

境界を調べる際は、記号の向きにも意味があります。D ≧ 0 の等号は実数の重解を許すという意味ですが、P > 0 の等号を含めると零を解に持つ場合が混ざります。同じ問題の中でも、一方の等号は含み、もう一方は含まないことがあります。端点を機械的にそろえず、それぞれが何を表すかに戻って判断します。

また、条件を並べる順序は答えの範囲を変えませんが、計算の安全性には影響します。2次の係数が文字を含むときは、その係数が零にならないことを確認してから和と積を分数で表します。範囲を求めたら、境界の値だけでなく範囲の内側と外側からも1つずつ選び、元の方程式の解の様子を確かめます。内側の1例は条件が実現することの確認になり、外側の1例は除いた理由を具体的に見せます。ただし、数例の確認は範囲全体の証明にはならず、必要十分な条件の共通部分を求める論証が必要です。

解の符号についての言葉も正確に読みます。「正の解がある」なら、もう一方が負や零でも条件を満たすことがあります。「正の2解」とは要求が異なるため、そのまま同じ条件を使えません。この違いを問題文に線を引いて見分ければ、途中の計算が合っていても別の問いに答えてしまう失敗を防げます。