高校数学II 複素数の四則計算—共役を掛け分母を実数に直して整理する｜武蔵野個別指導塾

分子と分母に同じ共役を掛ける理由から、零になる分母の見分け方まで、式を戻して点検する、共役による除法です。

よくあるのは、高2の高校生が複素数の分数を整理するとき、分母の符号を変えた式を分母にだけ掛けてしまう場面です。分母から i は消えても、分数の値は元の値と一致するとは限りません。実数の分数を通分するときと同じように、分子と分母に同じ零でない数を掛けることが必要です。分母が零にならないかを先に調べ、最後に商と除数の積を元の数に戻すところまで追います。

どの計算を先に選ぶか

複素数の四則計算には、見た目によって選びやすい手順があります。和や差なら実数の部分と i の係数をそれぞれ集めます。積なら分配法則で展開し、i² = -1 を使って整理します。例えば (2 + i)(1 − 3i) では、積の中の -3i² が正の実数になる点に注意します。

商では、割る数が実数でないことがあります。このとき分母の共役を分子と分母の両方に掛けると、分母を実数に直せます。分母が実数になってから各項を割ると、実数部分と i の係数が読み取れます。掛ける前に元の分母が零でないことも確かめます。

もう1つの出方は、分母に実数の文字を含む場合です。先に共役を掛けた結果がきれいに見えても、元の分母が零になる値を除かなければ計算は成立しません。文字の条件を調べてから式変形に入ると、計算できない場合を見落としにくくなります。

共役を使う前に守る条件

実数 a, b を用いて a + bi と表される数を複素数といいます。i は i² = -1 を満たす虚数単位です。a + bi の共役な複素数は a − bi です。実数部分はそのまま、i の係数の符号を反対にします。b = 0 なら共役も元の実数と同じです。

共役を掛けると、和と差の積として次のようになります。

(a + bi)(a - bi)
= a² - (bi)²
= a² - b²i²
= a² + b²

これは実数です。a, b が実数なので、それぞれの平方は負になりません。a² + b² = 0 となるのは a = 0 かつ b = 0 のときです。したがって a + bi が零でなければ、その共役も零でなく、積 a² + b² は正です。

図1のように、元の数と共役の積が正の実数になることが除法の根拠です。分母が a + bi で零でなければ、分子と分母に a − bi を掛けても、分数には 1 を掛けたことになります。共役が零でないからこそ、この操作が可能です。

分母が初めから実数なら、その実数が零でないことを確認して各項を割れます。逆に分母が 0 + 0i なら、共役を掛けても分母は零のままです。零で割る計算は定義されないので、約分や形式的な変形で答えを作ることはできません。数学IIの複素数の範囲で、共役と四則を扱います。

分母が純虚数の場合も同じ考えで扱えます。例えば 3i の共役は -3i で、積は 9 です。ただし、分母と分子に共役を掛ける前に 3i が零でないことを確かめます。実際には i で割ることを -i を掛ける計算に直してもよいですが、その理由は i・(-i) = 1 という積にあります。

共役は元の数の符号をすべて反転する操作ではありません。例えば -2 + 3i の共役は -2 − 3i です。実数部分の -2 を残し、i の係数だけを変えます。共役をさらにもう一度取れば元の数に戻ることも、符号を見直す手掛かりになります。分母を実数にする目的と、式の値を保つ目的は別々に確認してください。前者は共役との積、後者は上下に同じ零でない数を掛ける操作から得られます。

基本例題：商を元の積へ戻す

(3 + 2i)/(1 − i) を a + bi の形で求めてください。ただし a, b は実数です。

分母 1 − i は実数部分が 1 なので零ではありません。共役は 1 + i です。これを分子と分母の両方に掛けます。分母だけに掛けると、分数全体に 1 を掛けたことにはなりません。

(3 + 2i)/(1 - i)
= ((3 + 2i)(1 + i))/((1 - i)(1 + i))
= (3 + 3i + 2i + 2i²)/(1 - i²)
= (3 + 5i - 2)/(1 + 1)
= (1 + 5i)/2
= 1/2 + (5/2)i

図2のように、分母の共役が分子にも入っているかを先に見ます。その後で分配し、i² を -1 に置き換えます。最後に分母の 2 で実数部分と虚数部分の両方を割ります。

答えが元の商かどうかは、除数を掛けて割られる数に戻せば調べられます。実際に次のようになります。

(1/2 + (5/2)i)(1 - i)
= 1/2 - (1/2)i + (5/2)i - (5/2)i²
= 1/2 + 2i + 5/2
= 3 + 2i

元の分子に戻りました。実部だけが合っていても十分ではなく、i の係数まで照合します。特に分母の正負を写し間違えたときは、この逆向きの積で違いが表れます。

標準例題：四則を順に組み合わせる

(2 − 3i) + (1 + 2i)(3 − i) − (4 + i)/(2 + i) を a + bi の形で求めてください。ただし a, b は実数です。

まず積と商を別々に整理してから、和と差をまとめます。分母 2 + i は零でないので、共役 2 − i を掛けられます。積では i² の項を、商では分子全体を括弧に残して扱います。

(1 + 2i)(3 - i)
= 3 - i + 6i - 2i²
= 5 + 5i

(4 + i)/(2 + i)
= ((4 + i)(2 - i))/((2 + i)(2 - i))
= (8 - 4i + 2i - i²)/(4 - i²)
= (9 - 2i)/5
= 9/5 - (2/5)i

これらを元の式に戻します。商を引くので、商の i の項の符号も反対にします。

(2 - 3i) + (5 + 5i) - (9/5 - (2/5)i)
= 7 + 2i - 9/5 + (2/5)i
= 26/5 + (12/5)i

途中の商を検算すると、(9/5 − (2/5)i)(2 + i) = 4 + i です。また答えに商を加えて最初の2項へ戻すと、7 + 2i になります。足し算だけを確かめるのでなく、割り算の元の分子まで戻すと、商の符号の誤りを調べられます。

一度にすべてを展開する方法でも求められますが、引き算の括弧が長くなります。積と商を別にしたのは、どの段階で i² を処理したかを残し、最後の負号を点検しやすくするためです。

発展例題：文字が入るときの除外

実数 t について、(2 + i)/(t + ti) を計算できる t の条件を示し、計算できる場合に a + bi の形で表してください。ただし a, b は t を用いて表します。

分母 t + ti の実数部分と i の係数はともに t です。両方が零になるのは t = 0 の場合です。したがって計算できる条件は t ≠ 0 です。t = 0 では分子が零でないことに関係なく、分母が零なので割り算は定義されません。

条件を置いたうえで共役 t − ti を掛けます。

(2 + i)/(t + ti)
= ((2 + i)(t - ti))/((t + ti)(t - ti))
= (2t - 2ti + ti - ti²)/(t² + t²)
= (3t - ti)/(2t²)
= 3/(2t) - (1/(2t))i

最後の約分は t ≠ 0 によって正当化されます。逆に条件を書かずに t を消すと、t = 0 も使えるかのように見えてしまいます。文字を含む共役の積は 2t² なので、分母が正になる条件とも一致します。

答えを元の除数に掛けて確かめます。

(3/(2t) - (1/(2t))i)(t + ti)
= 3/2 + (3/2)i - (1/2)i - (1/2)i²
= 3/2 + i + 1/2
= 2 + i

別の道として、t + ti = t(1 + i) と因数分解してから、1 + i の共役を使っても同じ答えです。ただしこの方法でも最初に t ≠ 0 が必要です。共通因数を見つけても、その因数が零でない理由は省略しません。

誤答を分母と分子の両側から直す

基本例題で、分母だけに 1 + i を掛ける誤りを考えます。次の右辺の分母は実数ですが、左辺と等しいとは限りません。

(3 + 2i)/(1 - i)
→ (3 + 2i)/2

この操作では分母が 1 + i 倍になったのに、分子は変わっていません。分数全体に同じ数を掛けて打ち消したわけではないため、値が変わります。実際、誤った候補を元の除数に掛けると次の値になります。

((3 + 2i)/2)(1 - i)
= (3 - 3i + 2i - 2i²)/2
= (5 - i)/2

これは元の 3 + 2i ではありません。図3のように、共役を掛ける矢印を上下にそろえてから分配すれば、元の値を保てます。

もう1つの誤りは、(1 − i)(1 + i) を 1 − i² = 0 とすることです。i² = -1 なので、1 − i² = 2 です。符号の入れ替えと i² の置き換えを同時に暗算せず、1 − (-1) を一度書けば修正できます。実数の平方と虚数単位の平方を同じものとして扱わないことが要点です。

手を動かす5問

いずれも答えは a + bi の形で示してください。a, b は実数とし、文字を含む場合は計算できる条件も示します。

1. (5 − 2i) + (-1 + 4i) を求めてください。
2. (2 + 3i)(-1 + 2i) を求めてください。
3. (1 + 4i)/(2 − i) を求めてください。
4. (3 − i)/(1 + 2i) を求めてください。
5. 実数 s について、(1 − 2i)/(s − si) を求めてください。

5問の答えと戻し方

1

(5 - 2i) + (-1 + 4i)
= 5 - 1 + (-2 + 4)i
= 4 + 2i

答えから後の加数を引くと (4 + 2i) − (-1 + 4i) = 5 − 2i となり、元の最初の加数に戻ります。実数部分と i の係数を別々に加えたかを点検できます。

2

(2 + 3i)(-1 + 2i)
= -2 + 4i - 3i + 6i²
= -8 + i

元の2つの因数を展開した結果は、実数部分が -2 − 6、i の係数が 4 − 3 です。答えの -8 + i と両方が一致します。積では i² の係数 6 が、そのまま正の実数として残るわけではありません。

3

分母 2 − i は零でなく、共役は 2 + i です。

(1 + 4i)/(2 - i)
= ((1 + 4i)(2 + i))/((2 - i)(2 + i))
= (2 + i + 8i + 4i²)/(4 - i²)
= (-2 + 9i)/5
= -2/5 + (9/5)i

答えに 2 − i を掛けると、実数部分は -4/5 + 9/5 = 1、i の係数は 2/5 + 18/5 = 4 です。元の分子 1 + 4i に戻ります。

4

分母 1 + 2i は零でなく、共役は 1 − 2i です。

(3 - i)/(1 + 2i)
= ((3 - i)(1 - 2i))/((1 + 2i)(1 - 2i))
= (3 - 6i - i + 2i²)/(1 - 4i²)
= (1 - 7i)/5
= 1/5 - (7/5)i

答えに 1 + 2i を掛けると、実数部分は 1/5 + 14/5 = 3、i の係数は 2/5 − 7/5 = -1 です。割られる数 3 − i と一致します。

5

s − si が零となるのは s = 0 のときなので、計算できる条件は s ≠ 0 です。共役は s + si です。

(1 - 2i)/(s - si)
= ((1 - 2i)(s + si))/((s - si)(s + si))
= (s + si - 2si - 2si²)/(s² + s²)
= (3s - si)/(2s²)
= 3/(2s) - (1/(2s))i

s ≠ 0 のもとで答えに s − si を掛けると、実数部分は 3/2 − 1/2 = 1、i の係数は -3/2 − 1/2 = -2 です。元の 1 − 2i に戻ります。s = 0 を代入して得られる分母は零なので、その場合には答えを当てはめられません。

覚えておくこと

• 和と差は実数部分と i の係数を分け、積は i² = -1 を使います。
• a + bi の共役は a − bi で、その積は a² + b² です。
• 割る数が零でないことを確認し、共役を分子と分母の両方に掛けます。
• 商に元の除数を掛け、割られる数へ戻して点検します。

つまずいた場所を見分ける

分母が実数になったのに元へ戻らないときは、まず分子にも共役を掛けたかを見ます。次に展開した4項と i² の符号を追います。分母が零で計算自体ができない場合は、数値を出してから直すのではなく、元の条件に戻って除外値を記します。分数の一方の項だけを分母で割っていないか、最後の a と b を別々に確かめることも有効です。

個別指導で説明するなら、「分母と分子に何を掛け、それはなぜ零でないか」を式と声の両方で示してみてください。文字がある場合は、約分前の分母が零となる値を先に挙げます。計算できない値と計算結果を元に戻せる値を分けると、複素数の除法の筋道が見えます。