高校数学II 分数式の乗除—因数のまとまりと除外する値を残して約分する｜武蔵野個別指導塾

元の分母と除数が零になる値を拾い、逆数に直した後も除外値を残しながら、積の因数を約分します。

よくあるのは、高2の高校生が (x + 2)/x を見て、分子の x と分母の x を消してしまう場面です。分子の x は足し算の一部なので、分母全体との共通因数ではありません。一方、(x + 2)x/x なら、分子全体に x が掛かっているので、x が0でない範囲で約分できます。見た目が似た式でも、どこまでが掛け算のまとまりなのかが違います。計算後の式が短くなっても、最初に使えなかった値を忘れずに残すことまで考えましょう。

数学IIの学習範囲には分数式が含まれます。ここでは乗除と、その式が定義される値に絞り、通分による加減は扱いません。

どこで判断が分かれるか

分数式の乗除には、まず掛け算の形に直して共通因数を探す問いがあります。分子や分母を因数分解すると、展開された形では見えなかった共通のまとまりが現れます。足し算の記号の両側をそれぞれ消すのではなく、分子全体と分母全体に共通する因数を探すことが判断の中心です。

次に、分数式で割る問いでは、割る式を逆数に直します。数の場合と同じく0で割ることはできません。元の分母が0でないことに加え、割る式の値が0でないことを確かめます。割る式の分子が0になる値を見落とすと、元の計算に使えない値を答えに混ぜてしまいます。

さらに、約分して消えた因数があっても、元の式の分母を0にする値は除いたままにする問いがあります。簡単になった式がその値で計算できるとしても、元の式をそこで計算したことにはなりません。式の形と、その式が定義される値を一組にして答えます。

因数と定義される値を先に見る

分数式は、整式を整式で割る形の式です。分母は0であってはいけません。例えば (x² − 16)/(x − 4) の分母は x = 4 で0なので、元の式はその値では定義されません。分子を因数分解すると次のようになります。

(x² - 16)/(x - 4)
= (x - 4)(x + 4)/(x - 4)
= x + 4    （x ≠ 4）

最後の式は x = 4 でも値を持ちますが、元の式にはその値を代入できません。等号は、元の式が定義されている範囲での等号です。消えた因数の零点が、答えの条件として残ります。

約分できる理由は、分子と分母を同じ0でない数で割っても分数の値が変わらないからです。例えば A = BC、D = BE で B ≠ 0、E ≠ 0 なら、A/D = C/E です。B が分子と分母の両方に掛かっていることが必要です。B が足し算の一部に現れるだけでは、同じ操作になりません。

割り算の条件は図1のように元の形から拾います。A/B ÷ C/D では、まず B ≠ 0 と D ≠ 0 が必要です。さらに除数 C/D が0でない必要があります。D ≠ 0 の下では C/D = 0 と C = 0 は同じ条件ですから、C ≠ 0 も必要になります。

図1の3つの条件をそろえてから A/B × D/C に直します。この順番なら、逆数にしてから分母に現れた C だけを見て、元の分母 D の制限を失うことを防げます。分子 A が0になる値は、ほかの条件に反しなければ許されます。0を割ることと0で割ることは別です。

値を除くときは、因数分解した式の各因数が0になる値を調べます。例えば分母が (x − 5)(x + 1) なら、x = 5 と x = -1 を除きます。同じ値が複数の条件から現れても、除外値として1回書けば足ります。定義域をまず書き、変形の間もその条件を持ち続けましょう。

基本例題：掛け算で共通因数を追う

次の式を簡単にし、元の式が定義される実数 x の条件も答えてください。

(x² - 9)/(x² - x - 6) × (x + 2)/(x + 3)

最初に元の分母を調べます。x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) なので、x = 3 と x = -2 は使えません。もう一方の分母 x + 3 から、x = -3 も除きます。したがって条件は x ≠ 3、-2、-3 です。

分子と分母を因数に分け、掛け算のまとまりを残して変形します。

(x² - 9)/(x² - x - 6) × (x + 2)/(x + 3)
= {(x - 3)(x + 3)}/{(x - 3)(x + 2)} × (x + 2)/(x + 3)
= {(x - 3)(x + 3)(x + 2)}/{(x - 3)(x + 2)(x + 3)}
= 1

答えは 1、ただし x ≠ 3、-2、-3 です。図2のように、上下に現れる同じ括弧を因数として対応させます。許された範囲では、消した3つの因数はどれも0でありません。

式が1になったので、制限も消えたように感じるかもしれません。しかし x = 3 や x = -2 では最初の分母が0になり、x = -3 では後の分母が0になります。したがって、その3つを答えの条件から外すことはできません。

確認として、許される x = 0 を元の式に戻します。最初の分数は (-9)/(-6) = 3/2、次の分数は 2/3 です。その積は1で、簡単にした式の値と一致します。1つの値の一致だけで変形全体を証明することはできませんが、符号や因数の転記を点検する手掛かりになります。

標準例題：除数が0になる値も除く

次の式を簡単にし、元の式が定義される実数 x の条件を答えてください。

(x² - 4)/(x² + 3x + 2) ÷ (x - 2)/(x + 1)

元の分母は x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) と x + 1 です。したがって x = -1、-2 を除きます。割る式 (x − 2)/(x + 1) が0になる x = 2 も除きます。これで x ≠ -1、-2、2 です。

この条件の下では割る式が定義され、しかも0ではありません。その逆数を掛けて計算できます。

(x² - 4)/(x² + 3x + 2) ÷ (x - 2)/(x + 1)
= {(x - 2)(x + 2)}/{(x + 1)(x + 2)} ÷ (x - 2)/(x + 1)
= {(x - 2)(x + 2)}/{(x + 1)(x + 2)} × (x + 1)/(x - 2)
= {(x - 2)(x + 2)(x + 1)}/{(x + 1)(x + 2)(x - 2)}
= 1

答えは 1、ただし x ≠ -1、-2、2 です。x = 2 は元の2つの分母を0にしませんが、割る式自体が0になるため除きます。逆に x = -1 は割る式を逆数にした後では分子側に移ります。それでも元の割る式が定義されなかった値ですから、条件から消せません。

x = 0 で元の式を確かめると、(-4)/2 ÷ (-2)/1 = (-2) ÷ (-2) = 1 です。x = 2 を代入しようとすると除数が0であり、この確認自体ができません。答えが1であることと、どの実数でも元の計算ができることは別の主張です。

別の見方として、最初の分数を先に (x − 2)/(x + 1) に約分する方法もあります。このときも x ≠ -1、-2 を引き継ぎ、さらに割る式が0にならない x ≠ 2 を追加します。同じ式をその式自身で割ると1になりますが、その式が0でないことを確認して初めて使える見方です。

発展例題：重なった因数と逆数を整理する

次の式を簡単にし、元の式が定義される実数 x の条件を答えてください。答えは因数分解した形で表してください。

(x² - 1)/(x² - 4x + 3) ÷ (x² - 4)/(x² - 2x + 1)

まず分母を因数分解します。x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)、x² − 2x + 1 = (x − 1)² です。元の分母から x = 1、3 を除きます。割る式の分子は x² − 4 = (x − 2)(x + 2) なので、除数が0となる x = 2、-2 も除きます。よって x ≠ 1、3、2、-2 です。

同じ x = 1 が2つの分母に現れますが、除外値は重ねて書く必要がありません。一方、(x − 1)² の2つの因数は計算中に別々に数えます。逆数にした後で何個残るか、丁寧に追います。

(x² - 1)/(x² - 4x + 3) ÷ (x² - 4)/(x² - 2x + 1)
= {(x - 1)(x + 1)}/{(x - 1)(x - 3)} ÷ {(x - 2)(x + 2)}/(x - 1)²
= {(x - 1)(x + 1)}/{(x - 1)(x - 3)} × (x - 1)²/{(x - 2)(x + 2)}
= {(x - 1)(x + 1)(x - 1)²}/{(x - 1)(x - 3)(x - 2)(x + 2)}
= {(x + 1)(x - 1)²}/{(x - 3)(x - 2)(x + 2)}

答えは最後の分数式で、条件は x ≠ 1、3、2、-2 です。分子の (x − 1) は全部で3個あり、分母の1個と約分した後に2個残ります。x = 1 は最終式の分母を0にしませんが、元の2つの分母を0にするので除外したままです。

x = 0 を元の式に戻すと、(-1)/3 ÷ (-4)/1 = 1/12 です。最後の式でも、1・1/{(-3)(-2)・2} = 1/12 となります。また x = -1 は除外されていません。元の最初の分子が0になり、除数は0でないため、元の式の値は0です。最後の分子も0になり、一致します。分子が0になること自体は失敗ではありません。

誤答から直す：和の一部を消さない

(x + 6)/x を 6 とする誤答を考えます。分子の x と分母の x を消したつもりでも、x + 6 は積ではなく和です。分子全体に x が掛かっているわけではないため、約分の根拠がありません。図3のように、消したい部分が足し算の片方であるか、全体に掛かる因数であるかを見分けます。

例えば x = 2 なら、元の式は (2 + 6)/2 = 4 で、誤答の6と一致しません。反例が1つあれば、その変形が常に正しいという主張は崩れます。正しくは分子を2つに分け、(x + 6)/x = x/x + 6/x = 1 + 6/x とできます。ただし x ≠ 0 です。この分割は確認のためで、乗除の計算では因数のまとまりを探す方法を優先すると見通しがよくなります。

もう1つの誤りは、割り算を逆数に直した後の式だけから条件を決めることです。例えば (x + 7)/(x − 1) ÷ (x + 4)/(x − 5) では、x ≠ 1、5、-4 です。x = 5 は逆数の分子に移りますが、元の除数が定義されないため使えません。式を直す前に元の2つの分母と除数の分子を確認すると、条件が残ります。

手を動かす5問

それぞれ式を簡単にし、元の式が定義される実数 x の条件を答えてください。答えが分数式の場合は因数分解した形で表してください。

1. (x² − 25)/(x + 5) × 3/(x − 5)
2. (x² − 9)/(x + 1) ÷ (x − 3)/(x + 1)
3. (x² − 4)/(x² + x − 6) × (x + 3)/(x + 2)
4. (x + 4)/(x − 2) ÷ (x² − 16)/(x² − 4)
5. (x² − 36)/(x² − 7x + 6) ÷ (x + 6)/(x − 1)

答えと確かめ方

1の答え

元の分母から x ≠ -5、5 です。分子を因数分解すると、次のようになります。

(x² - 25)/(x + 5) × 3/(x - 5)
= {(x - 5)(x + 5)}/(x + 5) × 3/(x - 5)
= 3

答えは 3、ただし x ≠ -5、5 です。例えば x = 0 を元の式に入れると、(-25)/5 × 3/(-5) = 3 です。x = 5 では計算後の値が書けても、元の後ろの分母が0になります。

2の答え

分母から x ≠ -1、除数の分子から x ≠ 3 です。除数の分子が0になる値を含めて条件にします。

(x² - 9)/(x + 1) ÷ (x - 3)/(x + 1)
= {(x - 3)(x + 3)}/(x + 1) × (x + 1)/(x - 3)
= x + 3

答えは x + 3、ただし x ≠ -1、3 です。x = 0 では元の式は (-9)/1 ÷ (-3)/1 = 3 で、答えと一致します。x = 3 では除数が0なので使えません。

3の答え

x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2) です。元の分母から x ≠ -3、2、-2 となります。

(x² - 4)/(x² + x - 6) × (x + 3)/(x + 2)
= {(x - 2)(x + 2)}/{(x + 3)(x - 2)} × (x + 3)/(x + 2)
= 1

答えは 1、ただし x ≠ -3、2、-2 です。x = 0 を戻すと (-4)/(-6) × 3/2 = 1 です。約分で消えた因数が定義域の制限に対応しています。

4の答え

元の分母は x − 2 と x² − 4 = (x − 2)(x + 2) です。さらに除数の分子 x² − 16 = (x − 4)(x + 4) が0になってはいけません。条件は x ≠ 2、-2、4、-4 です。

(x + 4)/(x - 2) ÷ (x² - 16)/(x² - 4)
= (x + 4)/(x - 2) × {(x - 2)(x + 2)}/{(x - 4)(x + 4)}
= (x + 2)/(x - 4)

答えは (x + 2)/(x − 4)、ただし x ≠ 2、-2、4、-4 です。x = 0 なら元の式は 4/(-2) ÷ {(-16)/(-4)} = -1/2、答えも 2/(-4) = -1/2 です。約分後の分母に残らない値も、条件には残ります。

5の答え

x² − 7x + 6 = (x − 1)(x − 6) です。元の分母から x ≠ 1、6、除数が0でない条件から x ≠ -6 を得ます。

(x² - 36)/(x² - 7x + 6) ÷ (x + 6)/(x - 1)
= {(x - 6)(x + 6)}/{(x - 1)(x - 6)} × (x - 1)/(x + 6)
= 1

答えは 1、ただし x ≠ 1、6、-6 です。x = 0 で元の式を計算すると (-36)/6 ÷ 6/(-1) = 1 です。x = -6 は元の分母を0にしませんが、割る式を0にするので除きます。

手元に残す要点

• 元の分母を0にする値を、変形する前に除きます。
• 分数式で割るときは、除数が0になる値も除きます。
• 逆数を掛ける前に条件をそろえ、約分後も引き継ぎます。
• 約分できるのは分子全体と分母全体に共通する0でない因数です。
• 答えの式と元の式が定義される値を一緒に書きます。

つまずきを見つける問い

途中式に消し線を入れた場所が、足し算の項なのか掛け算の因数なのかを声に出して確かめます。「この括弧は分子全体に掛かっていますか」と問われて説明できなければ、まず分子を積の形に書き直します。書き直せない部分は消さずに残します。

条件を落としがちなときは、変形後の式を隠して、元の分母と割る式だけを見ます。「この値では、どの分母が0になりますか」「割る式は0になりませんか」と順に確かめると、除外した理由を区別できます。個別指導で自分の途中式を示すときも、消した因数と除外した値を対応させて説明すると、符号の誤りや条件の抜けをその場で見つけやすくなります。約分の線を引く前に、元の式の使える範囲を決めましょう。