高校数学II 文字を含む割り算—どの文字について整理するか決め次数を確認する｜武蔵野個別指導塾

割る式の文字係数が0になる場合を分け、主変数に沿う筆算と掛け戻しから商と余りを導きます。

高2の高校生が、文字を含む割り算の途中で係数 a を見つけ、ためらわずに a で割る場面があります。数字なら0でないと見て取れることも、文字ではまだ決まっていません。a = 0 が許されるなら、その行は使えず、割る式の次数も変わるかもしれません。まず何を変数と見るか、次に割ろうとする係数が0にならないかを確かめましょう。

問われ方はどこで分かれるか

1つ目は、x について整式を割り、商と余りを求める形です。a が式にあっても、x の次数を数えるときは a を係数として扱います。例えば ax² + 3x + 2 は、a が0でなければ x の2次式ですが、a = 0 なら1次式です。係数の値を決めていない間は、次数がいつも同じだとは限りません。

2つ目は、割る式の最高次係数に文字がある形です。先頭の項を消すにはその係数で割りますから、0の場合を先に分けます。0になると割る式が低い次数になり、余りに課される次数の条件も変わります。割る式そのものが0になる場合は、割り算を定義できません。

3つ目は、文字について整理する方向によって計算の見通しが変わる形です。同じ式でも x についての次数と a についての次数は別です。問題が指定した文字を守り、その文字の降べきの順に並べてから計算します。ここでは整式の除法を扱い、分数式の約分や方程式の解法には立ち入りません。

主変数と係数を決める

割られる式を P、0でない割る式を D とします。指定した文字について、商 Q と余り R は P = DQ + R を満たします。余りが0でないとき、その次数は D の次数より小さくします。余りが0なら次数を比べる必要はありません。0でない定数で割る場合、余りは0です。定数より低い次数を持つ0でない整式がないためです。

主変数とは、次数を数えて整理する対象の文字です。例えば P = ax² + (a + 1)x + 2 を x について見ると、係数は順に a、a + 1、2 です。一方、a について見ると P = (x² + x)a + x + 2 という1次以下の式です。x と a のどちらが偉いという話ではなく、問題の指定に合わせて役割を固定します。

図1のように、まず主変数を決め、割る式の先頭の係数を調べます。x の係数に別の文字が含まれても、その文字を勝手に消したり、0でないと決めたりしません。数値を固定してから計算する場合と、文字のまま式を求める場合の両方で、割る式が0かどうかを最初に調べます。

図1の分岐で0でない側は、先頭係数で割って筆算を進められます。0の側では、消えた項を除いた割る式を改めて見ます。残りが0でなければその次数で割り、残りまで0なら除法そのものができません。この判定は、途中で分母に文字が現れる計算の前提です。

基本例題：係数を固定して先頭から消す

x について、P = x² + (a + 2)x + 2a + 3 を D = x + 2 で割った商と余りを求めてください。a は実数とし、答えは a を用いた式で表します。

D の x の係数は1なので、どの a でも D は1次式です。余りは x を含まない式になります。最初に x² を消すため、商の先頭を x とします。

P - x(x + 2)
= x² + (a + 2)x + 2a + 3 - x² - 2x
= ax + 2a + 3

次に ax を消すため、商に a を加えます。引く式全体に括弧を付けると、定数項の符号を落としにくくなります。

ax + 2a + 3 - a(x + 2)
= ax + 2a + 3 - ax - 2a
= 3

したがって商は x + a、余りは3です。図2のように、先頭の項を消す操作を2回行い、残りが定数になったところで止めます。余り3の次数は1より小さいので、停止条件も満たします。

最後に答えを元の式へ戻します。商と余りを単に再掲するのでなく、積を展開して元の各係数に戻るかを見ます。

(x + 2)(x + a) + 3
= x² + ax + 2x + 2a + 3
= x² + (a + 2)x + 2a + 3
= P

図2の最後の3は、引き算を終えた後の余りです。途中の 2a + 3 をそのまま余りにしてはいけません。まだ ax が残っている間は、1次の割る式より次数が下がっていないからです。a = 0 でも商は x、余りは3となり、元の式 x² + 2x + 3 に戻ります。

標準例題：割る式の次数が変わる

実数 a について、P = x² + 2x + 3 を D = ax + 1 で割ります。x についての商と余りを、a の値で場合分けして求めてください。答えは a を用いた式で表します。

まず a ≠ 0 とします。D は x の1次式なので、余りは定数です。x² を消すため商の先頭は x/a です。

P - (x/a)(ax + 1)
= x² + 2x + 3 - x² - x/a
= ((2a - 1)/a)x + 3

次の先頭項を消すには、さらに (2a − 1)/a² を商に加えます。ここでは a ≠ 0 なので分母は0ではありません。

((2a - 1)/a)x + 3 - ((2a - 1)/a²)(ax + 1)
= 3 - (2a - 1)/a²
= (3a² - 2a + 1)/a²

よって a ≠ 0 では、商は x/a + (2a − 1)/a²、余りは (3a² − 2a + 1)/a² です。余りに x はなく、1次式で割った条件を満たします。例えば a = 1 なら商 x + 1、余り2です。実際に (x + 1)(x + 1) + 2 = x² + 2x + 3 となります。

次に a = 0 とすると D = 1 です。先ほどの式に0を代入するのではなく、定数1で割り直します。

P = 1・(x² + 2x + 3) + 0

この場合の商は x² + 2x + 3、余りは0です。a ≠ 0 で出た分数には a が分母にあり、a = 0 では値を持ちません。場合分けは式の見た目を整えるためではなく、使う除法の条件を守るために必要です。

一般の a ≠ 0 についても積に戻して確かめます。

(ax + 1)(x/a + (2a - 1)/a²) + (3a² - 2a + 1)/a²
= x² + ((2a - 1)/a)x + x/a + (2a - 1)/a² + (3a² - 2a + 1)/a²
= x² + 2x + 3
= P

発展例題：割る式が0になる場合まで調べる

実数 a について、P = x² + 3x + 2 を D = ax + a − 1 で割ります。x についての商と余りを場合分けし、割り算ができない値があれば示してください。答えは a を用いた式で表します。

まず a ≠ 0 なら D は1次式です。先頭の x² を消す商の項は x/a です。

P - (x/a)(ax + a - 1)
= x² + 3x + 2 - x² - ((a - 1)/a)x
= ((2a + 1)/a)x + 2

続いて x の項を消します。商に加える項は (2a + 1)/a² です。

((2a + 1)/a)x + 2 - ((2a + 1)/a²)(ax + a - 1)
= 2 - ((2a + 1)(a - 1))/a²
= (2a² - (2a² - a - 1))/a²
= (a + 1)/a²

a ≠ 0 の商は x/a + (2a + 1)/a²、余りは (a + 1)/a² です。余りは定数なので次数の条件を満たします。実際に割る式と商の積へ余りを足すと、次のように P に戻ります。

(ax + a - 1)(x/a + (2a + 1)/a²) + (a + 1)/a²
= x² + ((a - 1)/a)x + ((2a + 1)/a)x + ((a - 1)(2a + 1) + a + 1)/a²
= x² + 3x + 2
= P

a = 0 では D = -1 です。0次の割る式なので、余りは0で、商は P の符号を変えた式になります。

P = (-1)(-x² - 3x - 2) + 0

したがって商は -x² − 3x − 2、余りは0です。a ≠ 0 では x の係数が0でないため D は0の式になりません。a = 0 では D = -1 なので、この問題には割り算ができない a はありません。先頭係数が0になることと、割る式全体が0になることは別の判定です。

例えば別の割る式 ax + a なら、a = 0 で両方の項が消えます。その場合は0で割ることになり、商と余りを求める操作を行えません。定数が残る場合との違いを、式を代入して確かめてください。

誤答を分岐から直す

標準例題で「商は x/a + (2a − 1)/a²、余りは (3a² − 2a + 1)/a²。これはすべての a で成り立つ」と書くのは誤りです。計算自体は a ≠ 0 の範囲で正しくても、a = 0 を含めた結論は分母が0になるため成立しません。

図3のように、誤りの原因は a で割る前に条件を書かなかったことです。式の形だけを直すのでなく、分岐まで戻りましょう。a = 0 なら割る式は1になり、商は元の P、余りは0です。a ≠ 0 なら筆算で得た分数の式を使えます。

図3の右側で行うのは、0を分母に代入して値を探す操作ではありません。割る式自体に0を代入して、改めて何次の式かを確かめる操作です。もう1つの失敗は、余りが定数なら何でもよいと判断することです。次数の条件は必要ですが、それだけでは不十分です。P = DQ + R も同時に満たして初めて答えになります。

練習：先に条件を書いてから計算する

各問とも文字は実数とし、指定した文字について商と余りを求めてください。文字を含む答えはその文字の式で表し、割る式が0となる場合は割り算ができないと答えます。

1. x² + (b + 4)x + 4b + 5 を x + 4 で、x について割ります。
2. 2x² + (2c − 3)x − 3c + 7 を 2x − 3 で、x について割ります。
3. x² + x + 1 を tx + 2 で、x について割ります。t の値で分けてください。
4. x² + 2 を ux + u で、x について割ります。u の値で分けてください。
5. a² + (x + 3)a + 3x + 4 を a + 3 で、a について割ります。

答えと解き方

1. 割る式は常に1次式です。まず x を掛けた式を引き、残る bx を消します。

x² + (b + 4)x + 4b + 5 - x(x + 4)
= bx + 4b + 5
= b(x + 4) + 5

商は x + b、余りは5です。逆に (x + 4)(x + b) + 5 を展開すると与式に戻ります。余りは定数で、割る式より低い次数です。

2. 最初の商の項は x、次は c です。

2x² + (2c - 3)x - 3c + 7 - x(2x - 3)
= 2cx - 3c + 7
= c(2x - 3) + 7

商は x + c、余りは7です。(2x − 3)(x + c) + 7 を展開すれば元の係数に戻ります。割る式の先頭係数2は0ではありません。

3. t ≠ 0 なら割る式は1次式です。

x² + x + 1 - (x/t)(tx + 2)
= ((t - 2)/t)x + 1
= ((t - 2)/t²)(tx + 2) + 1 - 2(t - 2)/t²

商は x/t + (t − 2)/t²、余りは (t² − 2t + 4)/t² です。積と余りを足すと x の係数は 2/t + (t − 2)/t = 1、定数は1となり、元の式に戻ります。t = 0 なら割る式は2なので、商は (x² + x + 1)/2、余りは0です。2を掛け戻すと与式です。

4. u ≠ 0 なら、割る式は1次式です。

x² + 2 - (x/u)(ux + u)
= -x + 2
= (-1/u)(ux + u) + 3

商は x/u − 1/u、余りは3です。(ux + u)(x/u − 1/u) + 3 = x² + 2 で確かめられます。u = 0 なら割る式全体が0ですから、商と余りは定義できません。先頭項だけでなく定数項も消えることが判定の理由です。

5. 主変数は a なので x は係数として扱います。

a² + (x + 3)a + 3x + 4 - a(a + 3)
= xa + 3x + 4
= x(a + 3) + 4

商は a + x、余りは4です。(a + 3)(a + x) + 4 を展開すると与式に戻ります。x について割った答えを求める問題ではないことにも注意します。

手元に残す要点

• 主変数を決め、その文字の次数で整理します。
• 割る式の先頭係数が0かどうかを調べます。
• 0なら残った式の次数と、割る式全体が0かを確認します。
• 余りの次数と P = DQ + R の両方を確かめます。

途中式から迷いを見分ける

計算が止まったら、まず「どの文字の次数を数えていますか」と自分に尋ねます。練習5で a の降べきに並べられなければ、x を係数として囲んでから書き直すと整理できます。個別指導の場でも、答えの数字だけでなく、この並べ替えを声に出して説明できるかが手がかりになります。

次に「この文字で割ってよい条件は何ですか」と確認します。標準例題で a ≠ 0 を言えたら、a = 0 の割る式も別に書きます。商を掛け戻して元の式が得られても、余りの次数が高ければ割り算はまだ終わっていません。条件、等式、次数を順に点検すると、文字係数を含む割り算の答えが定まります。