高校数学C 帯グラフと構成比—全体の大きさを添えて割合と実数の違いを示す｜武蔵野個別指導塾

架空の集計で母数の異なる集団の個数と割合、丸めによる合計のずれを読み取る構成比です。

よくあるのは、理系の高3が2つの集団の帯グラフを見て、同じ割合の部分は個数も同じだと考える場面です。帯の長さをどちらも100%にそろえると、内訳は比べやすくなりますが、元の人数や個数の違いは帯の長さからは消えます。割合の分母と、何を数えた表なのかを横に置いて読みましょう。

帯から何を読み取るか

出題には主に3つの形があります。まず、分類ごとの個数と合計から構成比を計算し、100%の帯に区切りを入れる形です。次に、複数の帯の同じ分類を比べ、割合と実際の個数が同じ順序になるかを判断する形があります。さらに、表示された割合が丸められている場合に、合計が100%にならない理由や元の個数を一意に決められるかを考える形もあります。

いずれも、分類が重ならず、対象の全件がどれか1つに入る表を前提にします。複数回答を重複して数えた表では、回答者数を分母にした割合を足しても100%とは限りません。未回答を含む場合も、回答者だけを分母にするのか対象者全体を分母にするのかを先に決めます。以下の数字は説明のために作った集計で、実際の調査結果ではありません。

全体を100%にする意味

構成比は、ある分類の個数を、その内訳を合計した全体の個数で割った割合です。全体が正のとき、パーセントで表すには次のように計算します。

構成比 = 分類の個数 / 全体の個数 × 100（%）
分類の個数 = 全体の個数 × 構成比 / 100

分母となる全体を母数と呼びます。全体が0個のときは0で割れないため、構成比を定められません。個数が0で全体が正なら、その分類の構成比は0%です。この2つは違います。

図1のように、同じ幅の帯を全体100%とし、左から分類を積み上げます。帯の各部分の幅はその構成比に比例します。境界の位置は左からの累積割合であって、その区間自体の割合とは限りません。例えば左端から30%、次が45%なら境界は75%です。

図1では区間の幅が30%、45%、25%で、右端は100%です。2番目の部分の右端が75%だからといって、その部分の構成比が75%になるわけではありません。分類の順序と色を帯ごとにそろえると、対応する部分を探しやすくなります。

円グラフも全体を100%として内訳を表します。1つの集団の内訳を示すときには円の中心角で構成比を表せます。一方、複数の集団を同じ分類順で比較するなら、帯を並べると共通の尺度で境界を追えます。いずれも全体の個数を別に添えなければ、割合だけから個数を比較できません。

帯を作る前には、対象の期間や範囲もそろえておきます。例えば片方が棚全体、もう片方が一部の棚だけなら、同じ名称の分類でも比較の意味が変わります。また、分類の合計が母数と合わないときは、丸めを始める前に数え漏れや重複を点検します。帯の右端を100%にする操作だけでは、元の表の不整合は直りません。

基本例題：本の種類を比べる

架空の展示棚Aには物語12冊、図鑑18冊、その他10冊があります。展示棚Bには物語18冊、図鑑12冊、その他30冊があります。各棚の全冊数を母数として、各種類の構成比を整数の%で求め、物語の割合と冊数を比較してください。図2はこの条件を表します。

まず棚ごとの合計を求めます。種類が重ならず全冊を分類しているので、この合計を分母に使えます。

Aの合計 = 12 + 18 + 10 = 40（冊）
Bの合計 = 18 + 12 + 30 = 60（冊）

各種類をそれぞれの棚の合計で割ります。AとBで分母を共通の100冊に変えたわけではありません。

Aの物語 = 12 / 40 × 100 = 30（%）
Aの図鑑 = 18 / 40 × 100 = 45（%）
Aのその他 = 10 / 40 × 100 = 25（%）
Bの物語 = 18 / 60 × 100 = 30（%）
Bの図鑑 = 12 / 60 × 100 = 20（%）
Bのその他 = 30 / 60 × 100 = 50（%）

帯の境界はAが30%、75%、100%、Bが30%、50%、100%です。物語の割合はいずれも30%ですが、冊数はAが12冊、Bが18冊です。図2のように全体の冊数を添えることで、同じ幅の部分に異なる冊数が対応することを示せます。

元の場面にも戻して確かめます。40冊の30%は12冊、60冊の30%は18冊です。各棚で種類別の冊数を足すと元の合計に戻り、割合もそれぞれ100%になります。割合の一致は、棚全体に対する比の一致を意味します。

標準例題：割合の大小と個数の大小

架空の作業室Pでは完成品80個のうち赤い箱が28個、青い箱が52個です。作業室Qでは完成品50個のうち赤い箱が20個、青い箱が30個です。各作業室の完成品を母数として赤い箱の割合を整数の%で求め、赤い箱の割合と個数をそれぞれ比較してください。

Pの赤の割合 = 28 / 80 × 100 = 35（%）
Qの赤の割合 = 20 / 50 × 100 = 40（%）

割合はQの方が5ポイント大きいですが、個数はPの方が8個多いです。パーセントポイントは割合どうしの引き算の単位です。40%が35%より5ポイント大きいことと、個数が5%増えたことは別です。

青い箱も確かめると、Pは52 / 80 × 100 = 65%、Qは30 / 50 × 100 = 60%です。赤と青の割合は各室で100%になり、個数も28 + 52 = 80、20 + 30 = 50と条件に戻ります。割合が高い方の個数が必ず多いという判定は、母数が異なると成立しません。

母数が同じ正の数なら、割合の大きい分類の個数も大きくなります。共通の母数を掛けると大小関係が保たれるためです。母数が異なる場合は、それぞれに掛け戻してから比べる必要があります。帯は構成の比較に向きますが、全体の生産量や差の原因を帯だけから判断することはできません。

発展例題：丸めた割合から何が言えるか

架空の配布物7枚をしおり2枚、カード2枚、案内3枚に分類しました。各分類の構成比を小数第1位で四捨五入して整数の%で表示し、表示値の合計とその意味を説明してください。また、別の配布物が20枚あり、ある分類が表示上30%とだけ示された場合、その分類の個数が何枚かを求めてください。こちらも整数の%への四捨五入です。

まず7枚の構成比を、丸める前の分数とともに記録します。

しおり = 2 / 7 × 100 = 200 / 7（%）→ 29%
カード = 2 / 7 × 100 = 200 / 7（%）→ 29%
案内 = 3 / 7 × 100 = 300 / 7（%）→ 43%
表示値の合計 = 29 + 29 + 43 = 101（%）

丸める前の合計は (200 + 200 + 300) / 7 = 100%です。それぞれを別々に四捨五入したため、表示の合計が1ポイント大きくなりました。元の7枚が8枚になったわけではありません。合計が100%からずれることを注記し、元の個数も添えると読み手が確認できます。最後の分類を勝手に42%に直せば見かけの合計は100%になりますが、それは各値を同じ規則で丸めた結果ではありません。

20枚の方は、枚数をnとすると、丸められる前の割合は5n%です。整数の%への四捨五入で30%となる範囲は29.5%以上30.5%未満です。

29.5 ≦ 5n < 30.5
5.9 ≦ n < 6.1
n = 6

枚数は整数なので6枚に決まります。実際に6 / 20 × 100 = 30%と元の条件に戻ります。ただし、母数が異なれば表示値だけで個数が1通りに決まるとは限りません。例えば母数が200枚なら、59枚は29.5%、60枚は30%、いずれも整数に丸めると30%です。割合と母数、それに丸め方を合わせて読む必要があります。

誤答を直す：同じ幅は同じ数か

基本例題について「図2の物語の帯は同じ幅だから、物語は両方12冊」と答えたとします。これは割合を実数と取り違えた誤答です。図3のように、同じ30%でも全体の冊数が異なると、対応する冊数は変わります。

原因は、帯の全長が実際の冊数ではなく、それぞれの棚の100%を表すことを見落とした点にあります。直すには、各帯の横に母数を書き、30 / 100をそれぞれの母数に掛けます。Aは40 × 30 / 100 = 12冊、Bは60 × 30 / 100 = 18冊です。図3の数は元の内訳と一致します。

別の誤りは、Aの図鑑を75%と読むことです。75%は物語と図鑑を合わせた境界であり、図鑑自体は75 − 30 = 45%です。帯の左端を0として区間の両端を読み、右端から左端を引くと区間幅に戻せます。分類の順序が異なる帯を比較するときも、同じ位置ではなくラベルを対応させます。

練習問題

次の集計はすべて作ったものです。分類は重ならず、示された内訳が対象の全体です。割合は指定がない限り整数の%で答えてください。

1. 花壇の花は黄9本、白6本、紫15本です。各色の構成比と、黄・白・紫の順に並べた帯の境界を求めてください。
2. 箱Xには部品が25個あり、そのうち丸形は10個です。箱Yには部品が75個あり、そのうち丸形は30個です。丸形の構成比と個数を比較してください。
3. 袋Mは玉40個のうち緑が18個、袋Nは玉100個のうち緑が40個です。緑の構成比と個数の大小をそれぞれ答えてください。
4. ある記録の5件は、分類アが1件、イが1件、ウが3件です。各構成比を整数の%に四捨五入し、表示値の合計を求めてください。四捨五入前の合計も答えてください。
5. ある集団の構成比を示す帯で、左から分類カ、キ、クの順です。境界は左から20%、65%、100%で、全体は80個です。各分類の構成比と個数を求めてください。

練習問題の答えと解き方

1. 合計は9 + 6 + 15 = 30本です。黄は9 / 30 × 100 = 30%、白は6 / 30 × 100 = 20%、紫は15 / 30 × 100 = 50%です。境界は30%、50%、100%です。30本にそれぞれの割合を掛け戻すと9本、6本、15本となり、元の花の内訳に戻ります。

2. Xの丸形は10 / 25 × 100 = 40%、Yの丸形は30 / 75 × 100 = 40%です。割合は同じで、個数はYが20個多いです。25個と75個にそれぞれ40 / 100を掛けると10個と30個になり、箱ごとの条件を満たします。

3. Mの緑は18 / 40 × 100 = 45%、Nの緑は40 / 100 × 100 = 40%です。割合はMが大きく、個数はNが多いです。残りはMが22個、Nが60個で、緑と合わせるとそれぞれ40個、100個に戻ります。母数が違うため、割合と個数の順序は逆になりえます。

4. アとイはそれぞれ1 / 5 × 100 = 20%、ウは3 / 5 × 100 = 60%です。いずれも整数なので丸めた表示は20%、20%、60%、合計は100%です。丸める前も100%で、5件に各割合を掛けると1件、1件、3件です。丸めを行っても必ずずれるわけではありません。

5. カは20 − 0 = 20%、キは65 − 20 = 45%、クは100 − 65 = 35%です。個数は順に80 × 20 / 100 = 16個、80 × 45 / 100 = 36個、80 × 35 / 100 = 28個です。16 + 36 + 28 = 80個で全体に戻り、累積割合も20%、65%、100%と条件に一致します。

覚えておくこと

• 構成比は分類の個数を正の母数で割り、100を掛けます。
• 帯の区間幅は構成比、境界は左からの累積割合です。
• 個数を比べるときは各母数に割合を掛け戻します。
• 丸めた表示の合計は100%と異なる場合があります。

つまずきを見分ける

割合は計算できても比較を誤る場合は、解答の分母と単位の書き込みを見ます。2つの集団の母数を同じ数にしていないか、%と個数を同じ欄に書いていないかが手掛かりです。境界をそのまま区間の割合にした記録があれば、帯の両端に累積値を書き、差を取るところから確認します。

個別指導では、計算結果だけでなく元の表、分母、丸める前の値、掛け戻した個数を順に照らします。合計が100%になったかだけでなく、合計がずれる例とずれない例を区別できるかも確かめます。帯の幅が示す比と、その背後の個数は、母数を通して結び付きます。