高校数学C データ表現と分類—度数と割合の表を作り比較の目的をはっきりさせる｜武蔵野個別指導塾

未回答を零と区別し、16人の回答者と20人の対象者を分母にした割合を比べると、同じ人数でも問いによって比率が変わる理由を確かめられます。

よくあるのは、理系の高3がアンケートの未回答を零個とみなし、割合に混ぜてしまう場面です。たとえば利用回数が書かれていない人を「利用しなかった人」に入れると、実際には利用したかもしれない人まで零の組に移ります。表の計算が合っていても、表に入れる前の分類が違えば、読み取る内容も変わります。

ここでは自作のカテゴリーデータを使い、対象者、回答者、未回答者を区別します。割合は何を知りたいかによって分母が変わります。得られた表の範囲を超えて、他の集団の割合を推定することはしません。

表で何を比べるのか

出方の一つは、記録を分類して度数表を作る問題です。各記録を一つの区分に入れ、区分ごとの人数を数えます。その前に、区分が重ならないか、どの回答も分類できるかを確認します。対象者の数と集計した度数の合計が一致しなければ、記録の抜けや重複を調べます。

もう一つは、同じ表から異なる分母の割合を求める問題です。回答者の中の構成を知るなら回答者数を分母にし、対象者全体の中で該当する人の比率を知るなら対象者数を分母にします。分母を書かずに「割合が高い」と述べると、異なる量を比べる危険があります。

さらに、二つの集団の表を比較する問題では、質問の内容と期間、分類基準、対象者の決め方をそろえます。回答者の割合を比べられても、未回答の多さが異なれば、対象者全体の特徴として同じ結論を述べることはできません。表が示すのは記録された範囲の事実です。

分類と分母を決める

度数は各区分に入った記録の数です。相対度数は、指定された全体の度数に対する各区分の度数の割合です。百分率で表すときは、度数を分母で割って100を掛けます。分母が零なら割り算が定義されないため、割合は求められません。

図1のように、記録の有無を先に分けると、零という回答と未回答の置き場所が明確です。利用回数の記録が「0」であれば利用しなかったという回答です。空欄なら利用回数が不明という状態であり、0回とは限りません。

図1の分類では、回答者を0回と1回以上に分けています。未回答は回答者の内訳に入れず、対象者全体を点検するため別に残します。0回の人数が0人であることと、0回の人数が不明であることも別です。前者は観測された度数が零、後者は必要な記録がありません。

一人が複数の選択肢を選べる質問では、選択肢ごとの度数を足すと回答者数を超えることがあります。その場合は各人を一つの区分に割り当てる表とは異なり、割合の和を100%と決めつけません。一つ選ぶ質問なら、区分の重複をなくすことで回答者数と度数の和が対応します。

数値をまとめるときも境界が必要です。0回、1〜2回、3回以上なら、非負の整数の回答は重ならずに入ります。一方、0〜2回と2〜4回では2回の置き場所が重なります。元の記録を保持して基準を決め直し、重なった人数を勝手に片方へ配分しないことが必要です。

基本例題：回答者の内訳を作る

ある週の図書室の利用回数を、対象の20人に一つずつ尋ねました。自作の記録は0回が6人、1〜2回が8人、3回以上が2人、未回答が4人です。回答者の中の各区分の割合と、対象者全体の中の未回答の割合を百分率で求めます。百分率の小数第1位を四捨五入し、整数の%で答えてください。

図2のように、3つの回答区分を合計してから回答者の割合を計算します。未回答はその合計には加えません。

回答者数は次のとおりです。

6 + 8 + 2 = 16人
16 + 4 = 20人

後の式で対象者の人数に戻るので、区分の合計に抜けはありません。回答者16人を分母とすると、各割合は次のようになります。

0回: 6/16 × 100 = 37.5%
1〜2回: 8/16 × 100 = 50%
3回以上: 2/16 × 100 = 12.5%

整数に四捨五入すると、それぞれ38%、50%、13%です。丸め前の合計は37.5 + 50 + 12.5 = 100%ですが、丸め後の合計は101%です。各割合を別々に丸めたためで、度数の合計が間違っているとは限りません。丸めた結果をさらに足すときは、このずれを記します。

未回答の割合は対象者20人を分母にします。

4/20 × 100 = 20%

答えは回答者の内訳が順に38%、50%、13%、対象者全体の未回答が20%です。元の人数に戻して確認すると、回答16人に未回答4人を加えて20人です。回答者の内訳と未回答の割合は分母が異なるので、それらを足して全体の構成比にすることはできません。

もし対象者全体に占める0回の人の割合を問われたなら、6/20 × 100 = 30%です。37.5%とは分母が異なります。どちらも条件に合う計算ですが、答えている問いは異なります。

標準例題：分母をそろえて比較する

架空の2組で、同じ週に同じ質問をしました。一つ選ぶ回答は「徒歩」「自転車」「その他」で、空欄は未回答です。A組は対象30人のうち徒歩12人、自転車9人、その他3人、未回答6人です。B組は対象25人のうち徒歩10人、自転車10人、その他5人、未回答0人です。各組の回答者に占める徒歩の割合を百分率の整数で求め、対象者全体に占める徒歩の割合も求めて比較します。

まず各組の回答者数を数え、対象者に戻します。

A組: 12 + 9 + 3 = 24人
24 + 6 = 30人
B組: 10 + 10 + 5 = 25人
25 + 0 = 25人

回答者の中の徒歩の割合は次のとおりです。

A組: 12/24 × 100 = 50%
B組: 10/25 × 100 = 40%

対象者全体を分母にすると、次の値です。

A組: 12/30 × 100 = 40%
B組: 10/25 × 100 = 40%

回答者の中ではA組が10ポイント高く、対象者全体のうち徒歩と回答した人の割合は同じ40%です。ポイントは百分率どうしの差を表します。A組の未回答6人の移動手段は不明なので、徒歩の実際の人数を12人と断定することはできません。

逆に人数へ戻すと、A組の回答者24人の50%は12人、対象30人の40%も12人です。B組では25人の40%が10人です。別の分母でも同じ人数を示すことがあり、数値だけを比べるのではなく、分母の意味を添える必要があります。

発展例題：未回答の影響を範囲で考える

ある講座の対象40人に、課題の提出状況を「提出した」「提出していない」から一つ選んでもらいました。提出したと回答した人は18人、提出していないと回答した人は14人、未回答は8人です。各人の実際の状態もこの二つのいずれかであるとします。対象者全体の実際の提出者の割合が取りうる最小値と最大値を、百分率の整数で求めます。

まず回答者数と対象者数を照合します。

18 + 14 = 32人
32 + 8 = 40人

回答が正しいとすると、提出者は少なくとも18人です。未回答者8人が全員提出していなければ最小になります。

最小の提出者数: 18 + 0 = 18人
最小の割合: 18/40 × 100 = 45%

未回答者8人が全員提出していれば最大です。

最大の提出者数: 18 + 8 = 26人
最大の割合: 26/40 × 100 = 65%

答えは最小45%、最大65%です。最小の場合は提出18人、未提出14 + 8 = 22人、最大の場合は提出26人、未提出14人で、いずれも合計40人に戻ります。未回答者の実際の状態が与えられていないため、範囲内の一つの割合に決めることはできません。

回答者に占める提出した人の割合は18/32 × 100 = 56.25%です。この値を対象者全体の実際の割合としてそのまま使うには、未回答者についての追加の根拠が必要です。範囲の両端は与えられた条件から可能な場合を示すもので、どちらが起こりやすいかを示すものではありません。

誤答を分類から直す

基本例題で「0回が6人、未回答が4人だから、0回は10人。回答者は20人」とする誤答を考えます。計算すると10/20 × 100 = 50%ですが、これは0回と回答した割合ではありません。0回と未回答をまとめた別の区分の、対象者全体に占める割合です。

図3のように、誤りの原因は割り算より前の分類にあります。空欄から利用しなかったと判断する情報は得られません。未回答を分離し、回答者数を16人に戻して、問いに合う分母を選び直します。

図3で分けた後、回答者の0回は6/16で、対象者全体の0回という回答は6/20です。6人の意味は共通でも、分母が違うため割合は変わります。対象者全員が0回と答えた場合には未回答が0人であり、未回答が残る場合とは区別します。

別の失敗として、対象者全員が未回答という場合があります。回答者数が0人なので、回答者に占める各回答の割合は計算できません。対象者が20人なら未回答の割合は20/20 × 100 = 100%と表せますが、回答内容の内訳が零%だと結論することはできません。

練習問題

次の記録は練習用に作ったものです。人数は各人を1回ずつ数え、指定がなければ百分率を整数で答えます。

1. 休み時間の過ごし方を一つ選ぶ調査で、対象24人のうち読書9人、会話6人、運動3人、未回答6人でした。回答者数と、回答者に占める読書の割合を求めてください。
2. 作品の提出方法を一つ選ぶ調査で、対象40人のうち紙12人、電子20人、未回答8人でした。対象者全体に占める電子の回答と未回答の割合をそれぞれ求めてください。
3. 道具の利用回数について、0回7人、1回以上13人、未回答5人でした。対象者数と、回答者に占める0回の割合を求めてください。
4. ある集まりの対象50人のうち、参加したと回答した人が20人、参加しなかったと回答した人が20人、未回答が10人でした。回答は正しく、実際の状態は参加か不参加のいずれかとします。実際の参加者の割合の最小値と最大値を対象者全体に対する百分率で求めてください。
5. 対象12人に好きな活動を一つ尋ねたところ、全員が未回答でした。回答者に占める各活動の割合と、対象者に占める未回答の割合を求められるか判断し、求められるものは百分率で答えてください。

練習問題の答えと解き方

1. 回答者は9 + 6 + 3 = 18人です。読書の割合は9/18 × 100 = 50%です。18 + 6 = 24人と対象者に戻り、18人の半分が9人であることも確かめられます。

2. 電子は20/40 × 100 = 50%、未回答は8/40 × 100 = 20%です。紙12人を含めると12 + 20 + 8 = 40人です。40人の50%と20%はそれぞれ20人と8人に戻ります。

3. 対象者は7 + 13 + 5 = 25人、回答者は7 + 13 = 20人です。求める割合は7/20 × 100 = 35%です。20人の35%が7人であり、未回答5人を加えると対象の25人に戻ります。

4. 最小は未回答者全員が不参加のときで、20/50 × 100 = 40%です。最大は全員が参加のときで、(20 + 10)/50 × 100 = 60%です。最小では参加20人と不参加30人、最大では参加30人と不参加20人で、各場合とも合計50人です。

5. 回答者は0人なので、回答者に占める割合は分母が零となり求められません。未回答の割合は12/12 × 100 = 100%です。12人の100%は12人で、未回答の人数に戻ります。活動を選んだ人が0人という記録から、実際に好きな活動を持つ人が0人とはいえません。

覚えておくこと

• 分類の区分は重なりと抜けを確認します。
• 零という回答と未回答は別に数えます。
• 割合の分母は比較したい集団に合わせます。
• 丸める前の合計と、元の人数への戻りを確認します。
• 分母が零の割合は定義できません。

記録のどこで迷ったかを見る

答えが違うときは、まず元の記録から度数表へ移した印を見ます。空欄を0回の欄へ入れていれば分類の段階で、度数は合っていても対象者数を回答者の分母にしていれば問いの読み取りの段階で迷っています。計算結果だけでなく、分母の横に書いた集団名と、対象者数へ戻す合計式を見比べます。

個別指導では、同じ度数表について「回答者の中」と「対象者の中」の二つの問いを口頭で示し、どの人数を分母に選ぶか理由を確かめます。未回答が全員だった場合も取り上げ、割れない式を零%に置き換えていないかを確認します。分類の記録と分母がそろうと、表が答えられる問いの範囲も明確になります。