高校数学C 行列の積の成分—行と列の積和から一つの値の意味を説明する｜武蔵野個別指導塾

材料の単位使用量と製作個数を結ぶ鍵は、製品別の内訳に宿る積和です。

よくあるのは、理系の高3が材料の使用量と製品の個数を表にして、同じ位置の数どうしを掛ける場面です。その計算では、ある製品についての材料は求まっても、別の製品に使う分が抜けます。何を合計したいのかを先に決め、製品ごとの内訳を並べると、掛ける相手が見えてきます。

どの値を求めるのか

行列の積の問題には、単位使用量と個数から必要量を出す型があります。また、出来上がった積の一成分を指定され、その値が何を表すか説明する型もあります。さらに、合計が与えられたときに、内訳の一つを未知数として求めることもあります。どの型でも、数字を追う前に行と列の分類と順序を固定します。

材料別・製品別の単位使用量の表と、製品別・場所別の個数の表をつなぐと、材料別・場所別の合計が得られます。つなぎ目は製品です。製品の並びが両方の表で一致していることが前提です。同じ型であっても並びが違えば、数をそのまま掛けてはいけません。

一成分は製品ごとの内訳の和

行列は数を長方形に並べたものです。横の並びを行、縦の並びを列、その位置にある数を成分といいます。行列 A の行を材料、列を製品とし、行列 B の行を製品、列を場所とします。A の列と B の行は同じ製品順です。図1のように、欲しい材料の行と欲しい場所の列を選び、同じ製品に対応する数を掛けて足します。

例えば製品が2種類なら、材料 X の場所 P での合計は「製品 U 1個当たりの X の量 × P の U の個数」と「製品 V 1個当たりの X の量 × P の V の個数」の和です。単位が g/個 と 個 なら、各項は g になり、和も g です。図1の矢印は、同じ製品を通る2つの内訳を表します。

一般に A が m 行 n 列、B が n 行 p 列なら、積 AB は m 行 p 列です。第 i 行第 j 列の成分は、A の第 i 行と B の第 j 列で、対応する n 組の積を足したものです。内側の n は足し合わせる項の個数、外側の m と p は答えの表の行数と列数です。型が合うことは計算の条件ですが、数量の問題では分類の意味と順序も必要です。

基本例題：袋を作る材料

架空の工作で、袋 U、袋 V を作ります。1個に使う紙とひもの量を A、場所 P、Q で作る個数を B とします。A の行は紙、ひも、列は U、V の順、B の行は U、V、列は P、Q の順です。紙の量は枚、ひもの量は本で数えます。必要量の行列 AB を求め、各成分の単位も答えてください。

A = [ 2  1 ]    B = [ 3  2 ]
    [ 1  3 ]        [ 2  4 ]

A は2行2列、B も2行2列で、製品の順も U、V にそろっています。したがって AB の行は紙、ひも、列は P、Q です。まず紙と P の成分を考えます。図2のように、U の紙は 2 × 3 = 6 枚、V の紙は 1 × 2 = 2 枚なので、合計 8 枚です。

残りの成分も行と列を選び、それぞれ2項の積和にします。

紙・P   2 × 3 + 1 × 2 = 6 + 2 = 8
紙・Q   2 × 2 + 1 × 4 = 4 + 4 = 8
ひも・P 1 × 3 + 3 × 2 = 3 + 6 = 9
ひも・Q 1 × 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14

AB = [ 8   8 ]
     [ 9  14 ]

1行目は枚、2行目は本です。例えば Q で必要なひもは、U の2本と V の12本を合わせた14本です。積の成分を表に戻すと、何を足したかと単位が同時に確かめられます。個数を全部合計してから材料を掛ける方法では、製品ごとの使用量の違いが失われます。

一つの成分から表全体へ進む

最初の8枚を出したら、紙の行はそのままで、個数表の列を P から Q に移します。次に材料の行をひもに移し、場所 P と Q の列を順に使います。こうすると、同じ場所の異なる材料、同じ材料の異なる場所を混ぜずに表を埋められます。結果の表の左上から右へ進み、次の行へ移る手順を決めると、成分の書き漏れも見つけやすくなります。

値がどちらも8枚だからといって、紙の内訳まで同じではありません。P では6枚と2枚、Q では4枚と4枚です。合計だけでは製品ごとの使い方は復元できません。逆に、内訳を残しておけば、どの製品の条件を変えると合計が変わるかを追えます。例えば P の V を1個増やすと、紙は1枚、ひもは3本増えます。これは A の V の列にある単位使用量に対応します。

積の数字を計算するときには、まず答えの位置に「材料・場所」を記し、その下に製品名を並べてから数を代入します。単位使用量の単位にある「1個当たり」と、個数の「個」が対応するので、積には材料の単位が残ります。紙とひもは異なる単位のため、行をまたいで8と9を足しても、この問題の材料の合計にはなりません。

標準例題：3種類の内訳を足す

架空の展示で、型 D、E、F の飾りを作ります。材料 X と Y の1個当たりの使用量をそれぞれ g で表した行列を C、会場 R と S で作る個数を表した行列を D とします。C の行は X、Y、列は型 D、E、F の順です。D の行も型 D、E、F の順、列は R、S の順です。CD を求め、Y の S に対応する成分の内訳を g で説明してください。

C = [ 1  2  3 ]    D = [ 2  1 ]
    [ 4  1  2 ]        [ 3  2 ]
                       [ 1  3 ]

C は2行3列、D は3行2列なので、積は2行2列です。つなぐ型が3種類あるため、各成分は3項の和になります。0個の型がある場合も、その項は0として同じ位置に残せます。

X・R  1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 1 = 2 + 6 + 3 = 11
X・S  1 × 1 + 2 × 2 + 3 × 3 = 1 + 4 + 9 = 14
Y・R  4 × 2 + 1 × 3 + 2 × 1 = 8 + 3 + 2 = 13
Y・S  4 × 1 + 1 × 2 + 2 × 3 = 4 + 2 + 6 = 12

CD = [ 11  14 ]
     [ 13  12 ]

Y の S の値 12 g は、型 D に4 g、型 E に2 g、型 F に6 g を使うという内訳に戻せます。3種類を取り違えず、各項の個数が S の列から来ているかを確かめます。答えの行と列には、積の左側の行と右側の列が残ります。

ここで、D の行が E、D、F の順に並んでいたとします。型が3行2列のままでも、C の列とは対応しません。D の行を D、E、F の順に並べ替えてから積を作る必要があります。数字の個数が合うだけでは、求めたい材料の合計を表す保証にはなりません。

積を作る前の確認

製品の種類が増えると、項の数も増えます。3種類なら、答えの一成分には型 D、E、F の3つの内訳が必要です。ある内訳が0でも、その型を飛ばさずに式に残せば、次の数をずらして掛ける間違いを防げます。

また、行列に並んだ値だけでは、その数が個数なのか、1個当たりの量なのかは決まりません。見出しと単位を添えて初めて、掛け算の結果を材料の量として読めます。積を計算した後に、答えの各行が何の材料か、各列がどの会場かを書き直す習慣を付けましょう。

発展例題：合計から一つの個数を調べる

架空の模型 A、B を作ります。材料 M は A 1個に2 cm、B 1個に5 cm、材料 N は A 1個に3 cm、B 1個に1 cm使います。場所 T では A を4個、B を x 個作り、材料 M を合計23 cm使いました。x を整数で求め、材料 N の使用量を cm で求めてください。個数は負でないものとします。

材料行列の行は M、N、列は A、B の順、個数の列の行は A、B の順です。M の合計から式を作り、求めた x を N の内訳に入れます。

[ 2  5 ] [ 4 ]   [ 2 × 4 + 5 × x ]
[ 3  1 ] [ x ] = [ 3 × 4 + 1 × x ]

2 × 4 + 5 × x = 23
8 + 5x = 23
5x = 15
x = 3
3 × 4 + 1 × 3 = 12 + 3 = 15

B は3個、N は15 cmです。元の条件に戻すと、M は A の8 cmと B の15 cmで23 cmとなり、指定された合計に一致します。x は負でない整数です。もし同様の式から負の数や整数でない数が出たなら、式の解があっても、この個数の条件を満たす答えにはなりません。

この方法でわかるのは、与えられた単位使用量が各個について一定で、余りや損失を数えない場合の合計です。材料の切れ端を含む実際の必要量を問うなら、その条件も別に与えられなければ、この積だけでは決められません。

誤答から内訳を取り戻す

基本例題で、紙と P の値を 2 × 3 = 6 とする誤答を考えます。図3のように、これは U の分だけです。原因は、同じ位置の数を掛けたところで計算を終え、V の分を合計に入れなかったことです。

修正には、まず「紙・P」と答えの位置を書き、U と V の2種類についてそれぞれ紙の量を作ります。次に 6 + 2 = 8 枚と足します。図3の右側は、抜けた V の2枚を加えた状態です。1項目が正しくても合計が正しいとは限りません。

別の誤りは、紙の行の 2 と 1 に、P と Q の個数 3 と 2 を選んだつもりで、B の1行目を横に読むことです。たまたま数値が同じでも、P の列は U が3個、V が2個という意味です。列の見出しを付け、各項の製品名まで書くと、数の偶然の一致に頼らずに点検できます。

練習問題

次の数値は練習のために作ったものです。各問で行と列の順序を守り、量には単位を付けて答えてください。

1. 部品 U、V の1個当たりのねじの本数が順に3本、2本です。会場 P では U を2個、V を5個作ります。ねじの合計を本で求め、製品別の内訳も答えてください。
2. 行が材料 X、Y、列が製品 U、V の順の行列 E と、行が U、V、列が場所 P、Q の順の行列 F が次のとおりです。EF を求め、行を材料、列を場所として各成分を個で答えてください。E の値は製品1個当たりの材料の個数です。

E = [ 2  4 ]    F = [ 1  3 ]
    [ 3  1 ]        [ 2  1 ]

3. 製品 A、B、C の1個当たりの布の量は順に1 m、3 m、2 mです。場所 R では順に4個、0個、2個作ります。合計を m で求め、0個の項も含めて式を書いてください。
4. 製品 A、B の1個当たりの塗料は順に4 mL、3 mLです。A を2個、B を x 個作ると計20 mL使いました。x を負でない整数として求め、元の量に戻して確かめてください。
5. 行が材料、列が製品 A、B の順の表で、ある材料の行は 2、7 です。場所 S の個数表は行が B、A の順で、それぞれ3個、5個です。この材料の S での使用量を単位とともに求めてください。単位使用量は個/製品1個です。

練習問題の解答・解き方

1. U の内訳は 3 × 2 = 6 本、V の内訳は 2 × 5 = 10 本です。合計は 6 + 10 = 16 本です。U と V の両方を1回ずつ数えたことを確認します。

2. 行と列を選んで計算します。

X・P  2 × 1 + 4 × 2 = 2 + 8 = 10
X・Q  2 × 3 + 4 × 1 = 6 + 4 = 10
Y・P  3 × 1 + 1 × 2 = 3 + 2 = 5
Y・Q  3 × 3 + 1 × 1 = 9 + 1 = 10

EF = [ 10  10 ]
     [  5  10 ]

各成分の単位は個です。例えば Y・P は U の3個と V の2個で、合計5個です。表の左上から順に掛けるのではなく、P の列の内訳を選びます。

3. 布の合計は 1 × 4 + 3 × 0 + 2 × 2 = 4 + 0 + 4 = 8 m です。B は作らないので、その内訳は0 mです。A と C の4 mずつを合わせても8 mです。

4. 式とその解は次のとおりです。

4 × 2 + 3 × x = 20
8 + 3x = 20
3x = 12
x = 4

B は4個です。A の8 mLと B の12 mLを合わせると20 mLで、元の条件に合います。4は負でない整数です。

5. 個数を材料の表と同じ A、B の順にすると5個、3個です。したがって 2 × 5 + 7 × 3 = 10 + 21 = 31 個です。A に10個、B に21個という内訳に戻るので、順序の修正も確認できます。

覚えておくこと

• 左の列と右の行の分類と順序をそろえます。
• 答えの行と列を決め、対応する項の積和を作ります。
• 各項を元の内訳に戻し、単位と合計を確認します。
• 型が合っても、数量の分類が違えば目的の合計にはなりません。

つまずきの見分け方

積の値が合わないときは、最終結果だけでなく、行と列に書いた見出しと、最初の一成分の各項を見ます。項の数が製品の種類より少なければ、内訳の抜けを疑います。項数が合っても製品名が食い違えば、並びの確認に戻ります。

個別指導では、途中式の各数に「1個当たり」「個数」と単位を書き添え、その積が何の量か説明できるかを確かめます。計算が合った場合も、別の成分を元の数量で集計し直します。行と列を読む記録が残れば、積和のどの項で対応が崩れたかをたどれます。