高校数学C 直線と円の極方程式—始線からの角と距離を使って式を変換する｜武蔵野個別指導塾

原点を通る円でrを割る条件を見直し、直線と円の極方程式が表す点を角の範囲とともに確定します。

よくあるのは、理系の高3が円の極方程式を整理するとき、両辺をrで割ったために原点を消してしまう場面です。計算後の式は円らしく見えても、出発点にあった1点が欠けているかもしれません。式の形だけでなく、どの角でどの点を表すかまで追うと、変換の前後を比べられます。

式から何を読み取るか

直線と円の問題には、直交座標の式を極方程式に直す型、極方程式が表す図形を特定する型、角の範囲を指定したときの部分を求める型があります。同じ式でも、rとθの許される範囲が違えば点の集合は変わります。答えに図形の名前だけを書くのではなく、端点や原点を含むかまで確かめます。

例えば、原点を通らない直線では、ある向きに進む半直線がその直線と交わらないことがあります。その向きに対して計算上のrが負になったら、今回の約束では採用できません。原点を通る直線では、1つの向きとその反対向きの両方が必要です。円でも原点を通るかどうかで、rで割る操作の扱いが変わります。

距離と角から座標へ

極を直交座標の原点Oに、始線をx軸の正の向きに置きます。角θは弧度法で測り、rは0以上とします。点Pの直交座標は次の関係で表せます。

x = r cosθ
y = r sinθ
x² + y² = r²

図1のように、rはOからPまでの距離です。PがOでなければ、θはOPの向きで決まり、2πの整数倍の違いは同じ向きを表します。PがOならr = 0で、角は一意に定まりません。角に条件がある場合も、許された角が1つでもr = 0を実現すれば原点は含まれます。

図1では横の長さがr cosθ、縦の長さがr sinθです。象限によって座標の符号は変わりますが、r自体は負にしません。逆に原点以外の点から極座標を作るときは、距離をrに取り、その点の方向をθに取れます。直交座標の式から極方程式を得た後も、この逆の操作ができるかを確認すると、必要十分性がはっきりします。

直線ax + by = cを変換すると、r(a cosθ + b sinθ) = cです。ただしaとbは同時に0ではありません。cが0でなければ、原点は直線上にありません。括弧をDとするとr = c/DはDが0でない場合に限られ、さらにc/D > 0が必要です。D = 0なら左辺は0なので、cが0でない限り交点はありません。c = 0のときはrD = 0をそのまま調べます。原点以外ではD = 0ですが、原点は別に残ります。

円(x − a)² + (y − b)² = R²ではR > 0とします。展開して代入すれば、r² − 2r(a cosθ + b sinθ) + a² + b² − R² = 0です。原点を通る条件はa² + b² = R²です。このとき左辺はrでくくれますが、割って得た式はr > 0の部分に限られます。消したr = 0を後から加えれば、元の円全体に戻せます。割る前の式を答えにすれば、原点を含むことをそのまま表現できます。

直線の式をrについて解くとき、分母が負でも常に失敗とは限りません。右辺も負なら商は正となり、その向きに直線上の点があります。例えば一般形でc < 0なら、D < 0の方向を採用します。符号を調べる前に分母を正だと決めると、直線を反対側に描いてしまいます。

円についても、中心が原点でなければ半径を1つの式に整理できるとは限りません。原点を通らない円では、ある方向の半直線が円と2点で交わることも、交わらないこともあります。rの二次方程式を使うときは、実数解の有無に加え、各解が0以上かを確かめます。負の解を捨てた結果、共有点が1個になる場合もあるため、判別式の符号だけで半直線との交点数を決められません。

また、角の区間の両端が同じ方向でも、数としての端点を両方含むとは限りません。0 ≤ θ < 2πでは0を含み2πを含みませんが、正のx軸の点はθ = 0で表せます。範囲の境界に円上の点があるときは、その角が許されるか、別の許された角で同じ点を表せるかを順に調べます。

基本例題：原点を通る円

円(x − 2)² + y² = 4を、0 ≤ θ < 2π、r ≥ 0で表してください。原点を含む式と、rを陽に表した式の両方を示し、後者の角の範囲を答えてください。

中心は(2, 0)、半径は2です。中心から原点までの距離も2なので、原点を通ります。まず割らずに代入します。

(x - 2)² + y² = 4
x² + y² - 4x = 0
r² - 4r cosθ = 0
r(r - 4 cosθ) = 0

この積の式が求める極方程式です。逆に、この式を満たす組からx = r cosθ、y = r sinθを作ると、展開した円の式に戻ります。したがって余分な点はありません。図2のように、円は右半平面にあり、原点にも触れています。

r > 0ならrで割れて、r = 4 cosθです。この式をr ≥ 0で使うにはcosθ ≥ 0が必要です。指定区間での角は0 ≤ θ ≤ π/2、または3π/2 ≤ θ < 2πです。端のπ/2と3π/2ではr = 0となり原点を表します。つまり、r = 4 cosθとこの角の範囲でも円全体を表せます。

図2の点(2, 2)はθ = π/4、r = 2√2です。式の右辺も4・√2/2 = 2√2となり、元の円に代入しても0² + 2² = 4です。θ = πでは右辺が-4なので、負の距離として採用しません。原点を通る円であっても、rで割った式が常に原点を失うわけではありません。割った直後には原点を除外したので、その後にr = 0を許してよいか、元の条件へ戻して確かめる必要があります。

標準例題：直線に届く向き

直線x + y = 3を、0 ≤ θ < 2π、r ≥ 0で表してください。rを式で示し、許される角の範囲を弧度法で答えてください。

原点を代入すると0 ≠ 3なので、原点は直線上にありません。代入すると次の式です。

r cosθ + r sinθ = 3
r(cosθ + sinθ) = 3

右辺が正なので、括弧が0以下ではr ≥ 0の解がありません。括弧が正のときに限って割れます。

r = 3/(cosθ + sinθ)
cosθ + sinθ = √2 cos(θ - π/4)

したがって、指定区間の角は0 ≤ θ < 3π/4、または7π/4 < θ < 2πです。境界では分母が0で、どの有限のrも元の式を満たしません。2つの境界を含めないことが必要です。

逆にこの範囲の角で上のrを取れば、rは正であり、x + y = 3に戻ります。反対に直線上の任意の点は原点ではないため、その方向の角と正の距離を取れます。その点についてr(cosθ + sinθ) = 3なので、括弧は正です。例えば(3, 0)はθ = 0、r = 3で表されます。直線の反対側まで漏れなく含む理由は、この逆向きの確認にあります。

発展例題：角を限った円

円x² + y² = 6yについて、0 ≤ θ ≤ π/3、r ≥ 0で表される部分を、極方程式と端点の直交座標で答えてください。端点の座標は根号を用いて正確に表してください。

まず平方完成して円の位置を確認します。

x² + y² - 6y = 0
x² + (y - 3)² = 9

中心は(0, 3)、半径は3なので原点を通ります。極座標を代入すると次のようになります。

r² = 6r sinθ
r(r - 6 sinθ) = 0

元の式のままなら、指定範囲のどの角でもr = 0は許されます。もう一方の枝はr = 6 sinθです。範囲内でsinθ ≥ 0なので、この式にr = 0も含めれば、指定された部分全体を表せます。θ = 0で原点、θ = π/3で次の点です。

r = 6・√3/2 = 3√3
x = 3√3・1/2 = 3√3/2
y = 3√3・√3/2 = 9/2

端点を元の式に戻すと、x² + y² = 27/4 + 81/4 = 27、6y = 27です。範囲内の0 < θ ≤ π/3ではr > 0で、その点は指定された方向にあります。逆に指定された部分の原点以外の点はrで割れるため、この式で表せます。範囲外の円弧を足さないことと、原点を落とさないことは別々の確認です。

消えた原点を取り戻す

図3のような原点を通る円に対し、r² = 4r cosθから直ちにr = 4 cosθとし、さらにcosθ > 0だけを答えにする誤答を考えます。正のrを持つ点にはこの手順を使えますが、元の式にあるr = 0を除いてしまいました。図3の原点は円上にあるのに、その答えではどの組からも得られません。

原因は、rで割れる条件と、最後にどのrを許すかを区別しなかったことです。修正方法は2つあります。r(r − 4 cosθ) = 0のまま答えるか、r > 0の部分を求めた後に原点を加えます。また、r = 4 cosθにr = 0を許すなら、cosθ = 0となる角を含めることで原点を表せます。元の式に戻して点を確認することが必要です。

原点を通る直線でも似た落とし穴があります。例えばy = 0はr sinθ = 0です。r > 0ではsinθ = 0なので、0 ≤ θ < 2πではθ = 0またはπです。一方、r = 0を別に見れば原点も入ります。θ = 0だけでは正のx軸しか描けず、θ = πを忘れると負のx軸が欠けます。原点の確認と反対方向の確認はそれぞれ必要です。

手を動かす5問

いずれもr ≥ 0、0 ≤ θ < 2πとします。座標や係数は整数・分数・根号で正確に答えてください。

1. 直線x = -2をrの式で表し、許されるθの範囲を答えてください。
2. 直線y = xを、rを含む積の式で表し、原点以外の点を表すθを答えてください。
3. 円(x + 3)² + y² = 9を、rを含む積の式とrの式で表し、後者の許されるθの範囲を答えてください。
4. r² − 2r cosθ − 4r sinθ = 4が表す円の中心と半径を求めてください。
5. r = 8 cosθ、π/3 ≤ θ ≤ π/2が表す円弧の両端の直交座標を求めてください。

答えと戻し方

1. 代入するとr cosθ = -2です。原点は直線上になく、rは正です。したがってcosθ < 0で、

r = -2/cosθ
π/2 < θ < 3π/2

となります。境界では左辺が0なので、元の式に合いません。例えばθ = πならr = 2で、座標は(-2, 0)です。逆にx = -2上の任意の点は原点以外であり、その向きのcosθは負なので、この範囲に入ります。

2. 代入して整理するとr(sinθ − cosθ) = 0です。原点以外ではr > 0なのでsinθ = cosθです。指定範囲ではθ = π/4、5π/4となります。どちらも代入すればy = xであり、r = 0も元の直線上です。2つの方向がそれぞれ直線の半分を表します。

3. 展開と代入を順に行います。

x² + y² + 6x = 0
r² + 6r cosθ = 0
r(r + 6 cosθ) = 0

rの式はr = -6 cosθで、r ≥ 0よりπ/2 ≤ θ ≤ 3π/2です。両端では原点になります。元の円に原点を戻すと3² = 9なので確かに含まれます。原点以外ではrで割れるため、他の点も漏れません。

4. r² = x² + y²、r cosθ = x、r sinθ = yを使います。

x² + y² - 2x - 4y = 4
(x - 1)² + (y - 2)² = 9

中心は(1, 2)、半径は3です。原点では元の極方程式の左辺が0で右辺が4なので含まれず、円の式でも1 + 4 ≠ 9です。逆に円上の点は原点以外なので、正の距離と方向を取れば元の式へ戻ります。

5. θ = π/3ではr = 4なので、端点は(2, 2√3)です。θ = π/2ではr = 0なので、もう一方は原点です。両点はそれぞれx² + y² = 8xを満たします。前者は16 = 16、後者は0 = 0です。指定範囲ではcosθ ≥ 0であり、各角から作る点は円(x − 4)² + y² = 16上にあります。

覚えておくこと

• x = r cosθ、y = r sinθ、r² = x² + y²を使います。
• rで割る前に原点を調べます。
• 分母が0の向きとrが負になる向きを除きます。
• 逆に各点を元の角と距離で表せるか確かめます。

どこで止まったかを見分ける

式は合っているのに図が半分になるなら、原点を通る直線で反対方向の角を書いたかを見ます。円の原点が消えたなら、rで割った行に戻って、除外したr = 0が元の式を満たすかを調べます。分母のある式で範囲が広すぎるなら、分母の零とrの符号を別々に点検します。

個別指導で答案を確かめるときは、変換後の式に具体的な角を入れ、得た点を元の直線や円に戻してもらいます。続いて元の図形上の点を1つ選び、その方向が指定範囲に入るかを逆向きに尋ねます。往復できれば、式と図の間で落ちた点を自分で見つけられます。