高校数学C 極座標と直交座標—距離と角の組から象限と原点の扱いを確かめる｜武蔵野個別指導塾

距離と角から座標を求め、逆変換では象限と原点を通して見直すのが極座標です。

よくあるのは、直交座標から角を求めようとして、tanの値だけを書き、そのまま第1象限の角を答える場面です。例えば横と縦がともに負なら、比は正ですが、点は第1象限にはありません。比を計算する前に点の位置を決めると、どの角を選ぶべきか見えてきます。距離が0のときは、そもそも方向を1つに決められないことにも注意しましょう。

点を行き来するときに問われること

出方は大きく3つあります。1つ目は、距離rと角θから点の横と縦の座標を出す問題です。角が1周より大きい場合や負の場合も、同じ向きになる角へ直してから考えられます。rは原点からの距離なので、ここでは負にしません。

2つ目は、直交座標から距離と角を復元する問題です。距離は三平方の定理で決まりますが、角は横と縦の符号、つまり象限を使って選びます。tanθだけでは半周離れた方向を区別できません。答える角の範囲が指定されていれば、その範囲に入る代表を選びます。

3つ目は、同じ点を表す複数の組や、範囲が指定されたときの組の個数を調べる問題です。原点以外では角を1周ずつ変えても点は変わりません。一方、原点では距離が0なら角はどの実数でも同じ点を表します。原点を一般の点と同じように処理しないことが、逆向きの確認の出発点です。

距離と向きが決める点

平面に直交座標の原点Oを取り、正のx軸を始線とします。点Pまでの距離をr、始線から反時計回りに測った角をθとすると、組(r, θ)をPの極座標と呼びます。時計回りの角は負で表します。角は弧度法で測り、1周は2π、半周はπです。例えばπ/2は4分の1周です。

図1のように、Pからx軸へ垂線を下ろすと、rは斜辺の長さで、横の成分と縦の成分がそれぞれxとyです。第1象限の直角三角形から得られる関係を、符号を持つ三角関数として全方向に拡張すると、次の式になります。

x = r cosθ
y = r sinθ

図1のrは距離なので0以上です。Pが第2象限にあればcosθは負、sinθは正です。式は横の成分が負、縦の成分が正となることも表します。第3象限では両方が負、第4象限では横が正で縦が負です。軸上ではどちらかの成分が0になります。

逆に点(x, y)が与えられたときは、まず次の関係から距離を求めます。r≥0という条件を使うため、平方根の正の値を選びます。

r² = x² + y²
r = √(x² + y²)

r>0なら、両方の成分をrで割ってcosθ = x/r、sinθ = y/rとできます。この2つの符号を合わせれば方向が定まります。x≠0ならtanθ = y/xも使えますが、tanはθとθ + πで同じ値です。符号の情報を戻す前に角を確定してはいけません。

r=0ならx=y=0です。このときx/rやy/rは定義できません。方向を示す線分OPも長さ0なので、角は定まりません。逆にどのθを選んでも0 cosθ=0、0 sinθ=0となり、原点を表します。原点を別に扱うことは、単なる計算上の注意ではなく、座標の意味そのものに関わります。

同じ原点以外の点に対するrは距離として1つに決まります。角は1周を単位として、θ + 2kπと表せます。ここでkは整数です。角を0以上2π未満に限れば、原点以外の各点には1つの角が対応します。端を両方含めると0と2πが重なり、端を両方除くと正のx軸上の点が抜けます。区間の端の記号まで確認しましょう。

基本例題：第2象限の点を2通りに表す

点Pの極座標が(4, 2π/3)です。直交座標を根号を用いて求め、さらに0≤θ<2πの範囲で極座標に戻してください。

図2のように、角2π/3は第2象限の方向です。距離4は正で、xは負、yは正になります。基準となる鋭角はπ/3なので、cos(2π/3) = -1/2、sin(2π/3) = √3/2です。変換式に代入します。

x = 4 cos(2π/3)
  = 4・(-1/2)
  = -2
y = 4 sin(2π/3)
  = 4・(√3/2)
  = 2√3

したがって直交座標は(-2, 2√3)です。横の符号と縦の符号は図2の位置と一致します。距離に戻してみます。

r = √((-2)² + (2√3)²)
  = √(4 + 12)
  = 4
cosθ = -2/4 = -1/2
sinθ = 2√3/4 = √3/2

cosが負でsinが正なので第2象限です。範囲内で両方の値を満たす角は2π/3となり、元の(4, 2π/3)へ戻ります。二乗の和で距離を確認するだけでは角の向きは検証できません。2つの成分に戻すことで、距離と向きの両方が確かめられます。

標準例題：比が正でも第1象限とは限らない

点Qの直交座標は(-3, -3√3)です。r≥0、0≤θ<2πとして極座標を求めてください。距離は整数、角はπを用いて表します。

原点ではないのでr>0です。まず距離を求めます。

r = √((-3)² + (-3√3)²)
  = √(9 + 27)
  = 6

次に符号を確認します。x<0、y<0なので、点は第3象限です。x≠0のため比も計算できます。

tanθ = y/x
     = (-3√3)/(-3)
     = √3

tanが√3となる基準角はπ/3です。ただしπ/3は第1象限にあります。第3象限の角を取るため、半周を加えます。

θ = π + π/3
  = 4π/3

答えは(6, 4π/3)です。検算では、cos(4π/3) = -1/2、sin(4π/3) = -√3/2を使います。

6 cos(4π/3) = -3
6 sin(4π/3) = -3√3

両方とも元の座標に戻りました。もしπ/3を選ぶと(3, 3√3)になり、比は同じでもQとは原点を挟んで反対側です。比の一致は必要な手掛かりですが、それだけでは元の点に戻る十分な確認にはなりません。

発展例題：角の範囲と原点を分ける

点Rの直交座標は(0, -5)です。r≥0、-2π≤θ≤2πの範囲にある極座標をすべて求めてください。角はπを用いて表します。さらに原点について同じ条件で可能な組を述べてください。

Rは原点ではないので、距離は次のように定まります。

r = √(0² + (-5)²)
  = 5
cosθ = 0/5 = 0
sinθ = -5/5 = -1

正のx軸から時計回りに4分の1周した方向です。そのため角の全体は次の形です。kは整数です。

θ = -π/2 + 2kπ

指定区間に入るkを調べます。各辺にπ/2を加え、正の2πで割るので不等号の向きは変わりません。

-2π ≤ -π/2 + 2kπ ≤ 2π
-3π/2 ≤ 2kπ ≤ 5π/2
-3/4 ≤ k ≤ 5/4

整数kは0と1です。したがってRの答えは(5, -π/2)、(5, 3π/2)です。それぞれの角のcosは0、sinは-1なので、どちらも(0, -5)を表します。端点の-2πと2πはともに正のx軸の方向で、Rには当たりません。

原点では距離が0です。角を何にしてもx=0、y=0なので、条件を満たす組は(0, θ)、ただし-2π≤θ≤2πです。角が定まらないことと、指定範囲の角をどれも選べることは同じ意味です。ここでは角の候補を整数kで列挙する必要はありません。原点以外の式をそのまま適用して0で割ると、この違いを見落とします。

誤答から符号と例外を取り戻す

標準例題で「tanθ=√3だからθ=π/3」とすると、距離6と組み合わせた点は(3, 3√3)です。図3のように、求めたいQとこの点は原点を挟んで反対側にあります。両方の横と縦の比は√3なので、tanだけを見ても差が現れません。

原因は、比を作った時点で2つの成分の符号を同時に反転しても値が変わらないことです。修正するときは、元のxとyを見て象限を書き、基準角をその象限へ置き直します。その後、r cosθとr sinθを個別に計算し、両方の符号と値が元の座標に合うか確かめます。

別の失敗として、x=0の点にもtanθ=y/xを使うことがあります。0では割れないため、その式は使えません。正のy軸か負のy軸かをyの符号で判断し、cosとsinを直接使います。x=y=0なら軸上の向きも選べないので、原点として分けます。例外を先に調べれば、使えない式から無理に答えを作らずに済みます。

角の範囲を無視する失敗もあります。例えば指定範囲が0≤θ<2πなら、負の角を同じ方向の正の角に直します。逆に指定範囲が閉区間なら、同じ向きの両端がそれぞれ答えになる場合があります。1つ見つけて終える前に、2πずつ増減した候補と端点を確かめましょう。

練習問題

角は弧度法、r≥0とします。問題1から5を解き、問題をまとめて読んだ後に解答を確認してください。

1. 極座標(8, 7π/6)を直交座標に直してください。答えは根号を用いて表します。
2. 点A(2√2, -2√2)を、0≤θ<2πの極座標に直してください。距離は整数、角はπを用いて表します。
3. 点B(-7, 0)を、-π≤θ≤πの極座標ですべて表してください。角はπを用います。
4. 点Cの極座標が(3, -5π/3)です。直交座標を根号で表し、0≤θ<2πの極座標も求めてください。
5. 直交座標が(0, 0)の点について、r≥0、0≤θ<2πを満たす極座標をすべて表してください。また、r=2、θ=0とr=2、θ=2πは、この角の範囲でそれぞれ答えとして許されるか判定してください。

練習の答えと解き方

1. 第3象限への変換

7π/6はπよりπ/6だけ大きい角です。第3象限なのでcosとsinはともに負になります。

x = 8 cos(7π/6)
  = 8・(-√3/2)
  = -4√3
y = 8 sin(7π/6)
  = 8・(-1/2)
  = -4

答えは(-4√3, -4)です。距離は√(48 + 16)=8で、両成分の符号は第3象限と一致します。cosとsinの値を元の角で計算すれば、どちらの座標にも戻ります。

2. 第4象限への逆変換

点Aは原点ではなく、横が正、縦が負なので第4象限です。まず距離を求めます。

r = √((2√2)² + (-2√2)²)
  = √(8 + 8)
  = 4
cosθ = (2√2)/4 = √2/2
sinθ = (-2√2)/4 = -√2/2

基準角はπ/4です。指定範囲の第4象限ではθ=2π-π/4=7π/4なので、答えは(4, 7π/4)です。4 cos(7π/4)=2√2、4 sin(7π/4)=-2√2となり、元の点へ戻ります。

3. 負のx軸と閉区間の端

Bの距離は√((-7)² + 0²)=7です。原点ではないので、cosθ=-1、sinθ=0を満たす角を選びます。負のx軸はπと-πのどちらでも表せます。

θ = π + 2kπ
-π ≤ π + 2kπ ≤ π
-1 ≤ k ≤ 0

整数kは-1と0です。答えは(7, -π)、(7, π)です。どちらもcosが-1、sinが0で、(-7, 0)に戻ります。指定が閉区間なので2つの端は両方含まれます。同じ点でも、範囲内の組としては2つです。

4. 負の角と周期

-5π/3に2πを加えるとπ/3です。距離3はそのままで、三角関数の値は変わりません。

x = 3 cos(π/3)
  = 3/2
y = 3 sin(π/3)
  = 3√3/2

直交座標は(3/2, 3√3/2)、指定範囲の極座標は(3, π/3)です。距離を戻すと√(9/4 + 27/4)=3です。2つの角は2πだけ違い、同じ横と縦の成分を与えます。負の角だから距離を負にする必要はありません。

5. 原点と範囲の端

原点ではr=0です。0≤θ<2πなら、答えは(0, θ)で、その範囲のどのθも許されます。どれを選んでも両成分は0です。角が1つに定まると考えてはいけません。

(2, 0)と(2, 2π)は、どちらも変換すると(2, 0)という直交座標になります。ただし指定された極座標の角の範囲では0を含み、2πを含みません。そのため前者は許され、後者は許されません。点が同じかという問いと、指定された組が条件を満たすかという問いを分けて判定します。

手元に残す要点

距離はr=√(x² + y²)、向きはcosとsinの符号で選びます。 原点ではr=0で角は定まらず、0で割れません。 原点以外の角は2πの整数倍だけ変えても同じ点です。 角の範囲と端点を確かめ、両成分に戻して検算します。

途中式のどこを確かめるか

極座標と直交座標の往復で止まったら、まず原点かどうかを確認し、次にxとyの符号を別々に書いてみましょう。tanの値が正しいのに角が違う場合は、比を求める行より後の象限の選択を調べます。軸上の点で計算が止まった場合は、分母が0でないかを点検します。

個別指導では、答えの組だけでなく、距離を正に選んだ理由、角の候補を指定範囲へ移す操作、最後に両成分を元へ戻す行を確認します。原点を別にした説明ができれば、角を1つに決めようとする誤りも見分けられます。点の位置と式の符号を結び付けると、座標の往復に筋道が通ります。