高校数学C サイクロイドの表示—転がる円の移動と回転を分けて座標を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

滑らない円の中心移動と回転成分を分け、サイクロイドの座標、1周の端点、対称軸を導きます。

よくあるのは、理系の高校3年生が右へ転がる円の中心の移動距離と、円周上の点の回転による横方向の成分を同符号で足してしまう場面です。中心は右へ進んでも、最初に地面にあった点は回転によって中心から左側へ移ります。点の位置は2つの移動を分けて足すと見通せます。円が1周する間を追い、端点と左右対称の理由まで座標で確かめましょう。

要点（結論から）

• 半径 a、回転角 t の滑らない右向き移動では、中心の移動距離は at です。
• 初めの接点が原点なら、印は (a(t − sin t), a(1 − cos t)) です。
• 1周の両端は (0, 0)、(2πa, 0)、対称軸は x = πa です。

問われる形を見分ける

まず、半径と回転角から円の中心と円周上の点の座標を求める型があります。滑らないという条件から中心の移動距離を決め、中心から点までの向きを回転させます。この2つは同じ量ではありません。式の符号に迷ったら、回転直後の点が中心の左右どちらにあるかを図に戻して判断します。

次に、与えられた点の高さや位置から回転角を探す型があります。三角関数の値から候補を挙げた後、角の範囲と横座標を確かめます。同じ高さになる角が2つある場合にも、同じ点とは限りません。

さらに、1周の端点や対称性を示す型があります。図の見た目だけでは証明にならないため、角を 2π − t に置き換えて座標を比較します。面積や曲線の長さは求めず、位置と点の動きを媒介変数で追います。

円の中心と点の回転を分ける

半径 a の円を水平な直線上で右向きに転がします。a > 0 とし、はじめ円の中心を (0, a)、円周上の印 P を原点に置きます。時刻の代わりに、時計回りに回った角 t を弧度法で表し、まず 0 ≦ t ≦ 2π とします。弧度法では、半径 a の円の角 t に対応する弧の長さは at です。

滑らずに転がるとは、接していた円周の弧の長さと、直線上を進んだ距離が等しいことです。したがって中心 C の座標は (at, a) です。滑る場合にはこの等式を使えません。角だけを知っても中心の移動距離は決まらず、別の条件が必要です。

図1のように、P の位置は中心 C の位置に、C から P への横と縦の成分を加えて求めます。初めの C から P への向きは真下です。そこから時計回りに t 回るので、横成分は左向きを負として -a sin t、縦成分は -a cos t です。例えば t が 0 より少し大きいとき、P は中心の左下にあり、横成分が負であることと合います。

図1のように両成分を中心の座標に足すと、次の表示を得ます。

x = at - a sin t = a(t - sin t)
y = a - a cos t = a(1 - cos t)

この点 P が描く曲線をサイクロイドといいます。t は円の回転角であり、原点から P への線の角ではありません。円の中心から見た位置と、固定した座標での位置を混ぜないことが要点です。

端を代入すると t = 0 で (0, 0)、t = 2π で (2πa, 0) です。t = π では (πa, 2a) となります。また -1 ≦ cos t ≦ 1 より 0 ≦ y ≦ 2a です。この上下の範囲は任意の実数 t で成り立ち、1周の範囲では最低点が両端、最高点が中央に現れます。

対称性は t と 2π − t を比較します。三角関数の関係を使えば、後者の座標は次のようになります。

x(2π - t) = a(2π - t + sin t) = 2πa - x(t)
y(2π - t) = a(1 - cos t) = y(t)

0 ≦ t ≦ 2π なら 2π − t も同じ範囲にあります。2点の高さは等しく、横座標の平均は πa です。逆向きの対応も同じ置換で得られるため、1周の曲線は直線 x = πa に関して対称です。中心の通る線 y = a が対称軸なのではありません。

1周の途中で同じ高さになる2点は、一般に同じ横位置ではありません。例えば t と 2π − t では円の中心の位置も異なります。対称軸上の点だけが対応する点と重なります。範囲を半周に狭めた場合、対応する角が範囲外になることもあるため、図全体の対称性をそのまま使う前に角の区間を調べます。

滑らない条件がないとき、回転による中心からの成分は同様に書けても、中心の横座標を at と決める根拠がありません。式の各項がどの条件から出たかを区別すると、足りない条件に気づけます。

基本例題：半径から位置を出す

半径 2 の円が原点で接する位置から右向きに滑らず転がります。はじめ接点にあった印 P について、角 t が 0 から 2π まで動くときの媒介変数表示、t = π/2 の座標、両端と対称軸を求めてください。座標は整数と π で表します。

図2のように t = π/2 では、中心は右へ π 進み、高さは 2 のままです。印は中心から左へ半径分離れ、中心と同じ高さにあります。したがって横成分は正ではなく負です。

まず半径と滑らない条件を確認して式を作ります。

中心の移動距離 = 2t
中心 C = (2t, 2)
C から P への成分 = (-2 sin t, -2 cos t)
x = 2t - 2 sin t
y = 2 - 2 cos t
0 ≦ t ≦ 2π

図2に対応する角を代入します。

x = 2(π/2) - 2 sin(π/2) = π - 2
y = 2 - 2 cos(π/2) = 2
P = (π - 2, 2)

さらに t = 0 では P = (0, 0)、t = 2π では P = (4π, 0) です。対称軸は両端の横座標の中点を通る x = 2π です。実際に C = (π, 2) と P の距離は 2 で、点は円周上にあります。中心の移動距離 π は半径 2 の円の π/2 の弧の長さにも等しく、元の条件を満たします。

標準例題：同じ高さの2点

半径 3 の円が原点から右へ滑らず1周します。はじめの接点の印が高さ 3 にある点をすべて求め、座標を整数と π で表してください。また、それらが1周の対称軸に関して対称であることを確かめてください。

半径は正で、角の範囲は 0 ≦ t ≦ 2π です。中心の移動と回転成分を足すと、点は x = 3(t − sin t)、y = 3(1 − cos t) です。高さの条件を先に使います。

y = 3
3(1 - cos t) = 3
cos t = 0
t = π/2 または 3π/2

指定範囲にある候補はこの2つです。それぞれ元の媒介変数表示に戻します。

t = π/2: x = 3π/2 - 3, y = 3
t = 3π/2: x = 9π/2 + 3, y = 3

答えは (3π/2 − 3, 3)、(9π/2 + 3, 3) です。どちらも中心の高さと同じ位置にあり、中心からの距離は半径 3 です。横座標の平均は 3π なので、対称軸 x = 3π から等距離です。cos t = 0 を解いた後に sin t の符号を両方とも正とすると、後の点がずれます。角を求め直したら、それぞれの象限で符号を確認します。

発展例題：開始位置が動いたとき

半径 4 の円が水平線 y = 1 上を右へ滑らず転がります。はじめの接点を (2, 1)、印をその接点とします。時計回りの角を t とし、0 ≦ t ≦ 2π における印の表示、端点、最高点、対称軸を求めてください。座標は整数と π で表します。

出発点が原点でないので、初めの中心は (2, 5) です。線の高さと半径を足して中心の高さを出し、横方向には接点の初期座標 2 を残します。角 t に対する弧の長さは 4t ですから、中心は (2 + 4t, 5) です。印の中心からの成分は (-4 sin t, -4 cos t) なので、次の表示です。

x = 2 + 4t - 4 sin t
y = 5 - 4 cos t
0 ≦ t ≦ 2π

端点と最高点をそれぞれ指定範囲の角で調べます。

t = 0: P = (2, 1)
t = 2π: P = (2 + 8π, 1)
t = π: P = (2 + 4π, 9)

cos t の最小値は -1 なので、y = 9 が最高です。対応する軸は x = 2 + 4π です。実際に t と 2π − t で高さが等しく、横座標の和は 4 + 8π になります。印の中心からの距離は各角で 4、中心の移動距離は弧の長さ 4t と一致します。開始位置を戻しても、滑らない条件と円周上の条件の両方が保たれています。

符号を取り違えた式を直す

基本例題で x = 2t + 2 sin t と書いたとします。中心が右へ動くことは正しいのですが、円周上の印も常に中心から右へ動くと考えたのが原因です。図3のように、4分の1周後の印は中心の左にあります。中心からの成分を独立して考えると、横成分は -2 です。

図3のように C から左へ 2 戻り、x = π − 2 と修正します。誤った式でも t = 0 と 2π では sin t = 0 のため端点が合います。端点の一致は必要な確認ですが、それだけでは途中の符号の正しさを保証しません。π/2 のように印の位置が描きやすい角も試します。

別の誤りとして、移動距離を角 t と同じ数にしてしまうことがあります。弧度法でも弧の長さは半径を掛けた at です。また、円周上の点の横成分を -at とすると、半径より離れてしまう場合があります。移動距離 at と、長さが半径に限られる回転成分 -a sin t を区別してください。

練習：条件を点に戻す

各問で円は滑らず右向きに転がり、印ははじめ接点にあるものとします。答えは整数・分数・根号・πを用いて正確に表してください。

1. 半径 5、初めの接点が原点のとき、1周中の表示と t = π の点を求めてください。
2. 半径 1、初めの接点が原点のとき、1周中に高さ 1/2 となる点をすべて求めてください。
3. 半径 6、初めの接点が原点のとき、1周中の両端と対称軸を求めてください。
4. 半径 3、初めの接点が (-1, 2) のとき、1周中の表示と最高点を求めてください。
5. 半径 2、初めの接点が原点のとき、t = π/3 の点を求め、印と円の中心の距離を確かめてください。

解答と解き方

1. 中心は (5t, 5)、中心から印への成分は (-5 sin t, -5 cos t) です。したがって x = 5(t − sin t)、y = 5(1 − cos t)、0 ≦ t ≦ 2π です。t = π では sin π = 0、cos π = -1 より (5π, 10) です。中心 (5π, 5) から印までの距離は 5、中心の移動距離は弧の長さ 5π です。

2. 表示は x = t − sin t、y = 1 − cos t です。高さの条件から cos t = 1/2、指定範囲では t = π/3 または 5π/3 です。前者の sin t は √3/2、後者は -√3/2 なので、点は (π/3 − √3/2, 1/2)、(5π/3 + √3/2, 1/2) です。各角を高さの式に戻すとどちらも 1/2 で、回転成分の長さも 1 です。

3. t = 0 と 2π を x = 6(t − sin t)、y = 6(1 − cos t) に代入すると、両端は (0, 0)、(12π, 0) です。t と 2π − t で横座標の和が 12π、高さが等しいため、対称軸は x = 6π です。中心の移動距離 12π は円周の長さと一致します。

4. 初めの中心は (-1, 5)、角 t で (-1 + 3t, 5) です。印は x = -1 + 3t − 3 sin t、y = 5 − 3 cos t、0 ≦ t ≦ 2π です。cos t = -1 となる t = π で最高点 (-1 + 3π, 8) を得ます。中心は (-1 + 3π, 5) なので印までの距離は 3 であり、移動距離 3π も弧の長さに等しいです。

5. 中心は (2π/3, 2) です。sin(π/3) = √3/2、cos(π/3) = 1/2 を代入すると、印は (2π/3 − √3, 1) です。中心からの差は (-√3, -1) で、距離の2乗は 3 + 1 = 4 です。距離は非負なので 2 となり、円周上にあります。中心の移動距離 2π/3 も角 π/3 に対応する弧の長さです。

要点を手元に残す

• 半径 a、回転角 t の滑らない右向き移動では、中心の移動距離は at です。
• 初めの接点が原点なら、印は (a(t − sin t), a(1 − cos t)) です。
• 1周の両端は (0, 0)、(2πa, 0)、対称軸は x = πa です。
• 角の範囲と中心からの成分を元の条件へ戻します。

どこで止まったかを式から探す

横座標に +a sin t が現れたら、中心から見た印の位置を π/2 で描いてみます。移動距離が t のままなら、弧度法の弧の長さに半径を掛けたかを確認します。初期位置が原点以外なら、初めの中心の座標を先に書くと平行移動の抜けを見つけやすくなります。

個別指導では、答えの式だけでなく、中心の座標と中心から印への2成分を別々に書けるかを確かめます。高さから角を探した場合には、指定範囲の候補を並べ、それぞれの sin t の符号を点に戻します。転がりと回転の2つを照合できれば、曲線の形も座標から説明できます。