高校数学C 二次曲線の判別—平方完成後の符号と右辺から点集合を分類する｜武蔵野個別指導塾

平方完成後の右辺と各係数の符号を比べ、楕円や双曲線に加えて、1点・2直線・空集合となる境界も区別します。

よくあるのは、理系の高3が平方完成後の右辺に0を見ても、分母を作って通常の楕円を描こうとする場面です。0で割ることはできず、平方の和が0になる点を直接調べる必要があります。式の形が似ていても、表す点が1点なのか、曲線なのか、存在しないのかは別の問いです。係数が文字を含む場合は、その文字が0になる境目も含めて、点集合を分類します。

判定の入口はどこか

出方には、数値の式を平方完成して種類と中心を答える型、文字を含む式を値によって分類する型、係数が0になる場合を先に分ける型があります。どの場合も、まず等式を満たす実数の組 (x, y) が何を作るかを考えます。式の名前を先に決めると、0で割ったり、存在しない図を描いたりしやすくなります。

扱うのは xy の項を含まない式です。二乗の項が2つとも残る場合、平方完成後に同符号か異符号かを見ます。片方だけ残る場合には、もう片方の変数の一次項が残るかを確かめます。両方の二乗係数が消えれば、一次方程式か定数の等式なので別に調べます。座標軸の回転を要する式はここでは扱いません。

平方の符号と右辺で点集合を見る

平方完成して X = x − h、Y = y − k と置くと、中心の位置と形を分けて考えられます。例えば A > 0、B > 0 として A X² + B Y² = K を見ます。左辺は常に0以上です。K > 0 なら両辺を K で割って楕円、A = B のときは円です。K = 0 なら各平方がともに0で、点 (h, k) だけです。K < 0 なら実数の点はありません。

一方、A X² − B Y² = K では K が正なら X 方向に開く双曲線、負なら両辺の符号を変えて Y 方向に開く双曲線です。K = 0 のときは因数分解により、中心で交わる2直線です。平方根を使っても A、B が正なので実数の係数になります。図1のように、同じ右辺0でも平方の符号によって点と2直線に分かれます。

図1では左の2つの平方はともに0でなければならず、右では同じ大きさの平方が引き合って0になれます。例えば X = Y = 1 は右の X² − Y² = 0 を満たしますが、左の X² + Y² = 0 は満たしません。点の代入は図の形を点検する手がかりです。

二乗項が一方しかないときは事情が変わります。A ≠ 0 として A X² + D Y = K で D ≠ 0 なら、Y を移項して X² = 定数・(Y − 定数) と書け、放物線です。D = 0 なら A X² = K ですから、K/A が正なら平行な2直線、0なら1直線、負なら空集合です。この判定では消えた変数が自由に動くため、X = 0 は1点ではなく直線です。

最後に二乗項が両方消えた式 D x + E y + F = 0 を見ます。D と E の少なくとも一方が0でなければ直線です。両方0なら F = 0 で平面全体、F ≠ 0 で空集合です。平面全体も分類から落とさないため、文字係数が消える場合は最初に分けます。

分類の順番を式で確かめる

平方完成の結果を見てすぐに両辺を割るのではなく、割る数が正か負か、0かを先に確定します。例えば 3X² + 2Y² = -1 では、左辺の最小値は0ですから、点は存在しません。両辺を負数で割って分母が負の式を作っても、通常の楕円の標準形にはなりません。右辺を正にするための変形が、図を描けることの証明になるわけではないのです。

これに対して 3X² − 2Y² = -1 は実点を持ちます。両辺に -1 を掛けて 2Y² − 3X² = 1 とすれば、Y 方向に開く双曲線です。X = 0 とすると Y = ±1/√2 が得られ、それぞれ元の式を満たします。右辺が負という情報だけでは空集合とは決まりません。左辺に負の項があるかを組にして読みます。

右辺0でも、二乗項が片方だけなら結論は変わります。例えば 5X² = 0 は X = 0 と同値で、Y は任意です。したがって座標平面では直線です。これに 2Y² が加わると両方の平方が0に限られ、原点1点になります。式に現れない変数を0と決める根拠はありません。

平方完成の前に文字係数が含まれるとき、その係数でくくる操作にも注意します。係数が0の場合には、その文字の二次式そのものが消えるため、完成した式を係数で割って扱うことはできません。0の場合を元の式へ戻し、残る一次項や定数を直接調べれば、直線、平面全体、空集合を区別できます。条件を分けた後なら、残りの範囲で割る数が0でない理由を示せます。

基本例題：右辺が0の平方の和

問題：x² + 4y² − 4x + 8y + 8 = 0 の点集合を分類し、必要な座標を整数で答えてください。

二乗係数はともに正で0ではありません。それぞれ平方完成すると、次のようになります。

x² - 4x + 4y² + 8y + 8 = 0
(x - 2)² - 4 + 4((y + 1)² - 1) + 8 = 0
(x - 2)² + 4(y + 1)² = 0

左辺は0以上の項の和です。和が0になるには各項が0なので、x − 2 = 0、y + 1 = 0 です。したがって点集合は1点 (2, -1) です。元の式に戻すと 4 + 4 − 8 − 8 + 8 = 0 となります。逆にこの点が式を満たすことも確かめられました。

図2の点は中心となる座標を示しています。楕円の内部を塗った図ではなく、等式を満たす1点です。右辺が正の式では両辺を正数で割れますが、ここでは0で割る操作自体ができません。

標準例題：右辺が符号を変える

問題：実数 t に対し、x² + 4y² − 2x + 8y + t = 0 の点集合を分類し、境界値を整数で答えてください。

二乗係数は常に正なので、右辺の符号に注目できます。平方完成します。

(x - 1)² - 1 + 4((y + 1)² - 1) + t = 0
(x - 1)² + 4(y + 1)² = 5 - t

5 − t > 0、すなわち t < 5 なら楕円です。両辺を 5 − t で割ると、分母は 5 − t と (5 − t)/4 で、ともに正です。分母が異なるので円ではありません。中心は (1, -1) です。t = 5 なら右辺が0で、点 (1, -1) です。t > 5 なら左辺が非負、右辺が負なので空集合です。

元の式へ中心を代入すると t − 5 となり、中心が含まれるのは t = 5 の場合です。また t < 5 では点 (1 + √(5 − t), -1) を元の式へ戻すと0になります。根号の中は正なので実在し、楕円の分類が空集合を含んでいないことも確かめられます。t > 5 で解がないことは、平方の非負性による全点についての結論です。

発展例題：係数が0になる境目

問題：実数 s に対して (s − 1)x² + y² − 2y = 0 の点集合を分類してください。直線となる場合はその式も答えてください。

まず、y について平方完成します。

(s - 1)x² + (y - 1)² - 1 = 0
(s - 1)x² + (y - 1)² = 1

s > 1 なら両平方の係数は正です。右辺も正なので楕円で、s = 2 のときは円です。s = 1 なら x² の係数が消えます。残った式を直接解きます。

(y - 1)² = 1
y - 1 = 1 または y - 1 = -1
y = 2 または y = 0

x は任意ですから、2本の平行直線 y = 2、y = 0 です。s < 1 なら符号を整理すると次の双曲線です。

(y - 1)² - (1 - s)x² = 1

1 − s > 0 なので y 方向に開きます。どの s でも (0, 0) と (0, 2) は元の式を満たします。s = 1 では任意の x に対して両直線の点が元の式を満たし、逆に式を満たす y は0か2に限られます。s > 1、s < 1 の場合も、平方完成は等式の同値変形であり、それぞれ正の数で割る操作で標準形へ往復できます。途中で s − 1 によって割る前に s = 1 を分けたことが、2直線を落とさない理由です。

誤答を直す：二乗項が消える場合

「(s − 1)x² + (y − 1)² = 1 は、いつでも楕円」という答えを考えます。原因は右辺が正であることだけを見て、左辺の係数を調べていないことです。s = 1 では x に関する条件が消え、s < 1 では一方の平方の符号が負です。

図3のように s = 1 では y = 0 と y = 2 のそれぞれで x が自由です。例えば (3, 0) と (-2, 2) はともに式を満たします。修正するには、係数が正・0・負の3つを分け、各場合の右辺も確認します。分母が正であると確かめる前に標準形を名乗らないことが、分類の出発点です。

もう1つの誤りは、X² − Y² = 0 を X = Y = 0 とすることです。これは異符号の和に、非負の和の性質を使っています。実際には (X − Y)(X + Y) = 0 なので、X = Y または X = -Y です。逆に各直線上の点は元の式を満たします。積が0という条件に戻せば、2直線と交点をまとめて扱えます。

練習：式から集合へ戻す

各問で実数の点集合を分類し、求める座標や境界値は整数または分数で答えてください。直線の場合は方程式も示してください。

1. x² + 9y² + 2x − 36y + 37 = 0 を分類してください。
2. 4x² − y² − 8x − 4y = 0 を分類してください。
3. x² + y² − 6x + 2y + 12 = 0 を分類してください。
4. y² − 4y − 6x + 10 = 0 を分類し、頂点を求めてください。
5. 実数 u について u x² + y² = u を分類し、境界値を求めてください。

練習の答えと確かめ方

1. 平方完成します。

(x + 1)² - 1 + 9((y - 2)² - 4) + 37 = 0
(x + 1)² + 9(y - 2)² = 0

答えは点 (-1, 2) です。各平方が0という条件から唯一性があり、元の式に戻すと 1 + 36 − 2 − 72 + 37 = 0 です。

2. 平方完成後、差の平方を因数分解します。

4((x - 1)² - 1) - ((y + 2)² - 4) = 0
4(x - 1)² - (y + 2)² = 0
(2x - y - 4)(2x + y) = 0

答えは2直線 y = 2x − 4、y = -2x です。交点は (1, -2) です。それぞれの直線の式を差の平方に代入すると0になり、因数分解の逆から他の点はありません。

3. 平方完成すると次の式です。

(x - 3)² - 9 + (y + 1)² - 1 + 12 = 0
(x - 3)² + (y + 1)² = -2

左辺は非負、右辺は負です。答えは空集合であり、実数の座標はありません。例えば中心 (3, -1) を元の式に代入しても2となり、点として採用できません。

4. y の平方を完成します。

(y - 2)² - 4 - 6x + 10 = 0
(y - 2)² = 6(x - 1)

答えは右向きの放物線で、頂点は (1, 2) です。係数6は0でないため直線への退化はありません。頂点を元の式へ代入すると 4 − 8 − 6 + 10 = 0 です。逆に標準形から元の式を展開して戻せるので、点の増減もありません。

5. u の符号で二乗係数と右辺を同時に調べます。

u > 0: x² + y²/u = 1
u = 0: y² = 0
u < 0: y² - (-u)x² = u

u > 0 は楕円で、u = 1 のとき円です。u = 0 は直線 y = 0 です。u < 0 は符号を変えて (-u)x² − y² = -u とすれば双曲線です。境界値は u = 0、円になる値は u = 1 です。どの u でも (1, 0) は元の式を満たします。u = 0 では任意の x と y = 0 が元の式を満たし、それ以外の y は満たしません。各非零の場合の除算は正の数によるので逆向きにも成立します。

判定の手元に残すこと

平方完成の前に、0になる二乗係数を分けます。
同符号の平方は右辺の正・0・負を比べます。
異符号の平方は右辺0で2直線になります。
残った一次項と自由に動く変数を確認します。
最後に元の式へ戻して点集合を照合します。

どこで手が止まったかを見分ける

平方完成は合っているのに形を誤るなら、完成後の式を指して、左辺が負になれるかを先に尋ねます。右辺0から1点と答えた場合は、各平方がともに非負か、差になっていないかを確かめます。二乗項が消えたときに1点と答えた場合は、消えた変数に異なる2つの値を代入して自由に動けるかを調べます。

個別指導では、答案の分母が0でない根拠と、境界値を別に扱った行を確認します。正しい名前が書けていても、元の式に代表点を戻せなければ、移動量の符号をもう一度追います。分類は、式を満たす点がどこに存在するかを言葉と計算で示して初めて完成します。答えの図が予想と異なるときは、まず境界値を代入し、どの項が消えたかを確かめます。次に残る式を直接解き、自由に動く座標があるかを調べます。その点を元の式に戻せば、描いた集合が条件を満たすかを検討できます。