高校数学C 直線と平面の交点—代入した式から交わり方を場合分けする｜武蔵野個別指導塾

直線を平面へ代入した一次式の係数と定数に注目すると、一点で交わる場合、共有点がない場合、直線全体を含む場合を区別できます。

よくあるのは、理系の高3が直線の式を平面に代入し、媒介変数の係数が0になったので、必ず交点がないと判断する場面です。係数が消えた後の式が 0 = 0 なら、直線上のどの点も平面に入ります。残った定数まで見て初めて、離れている場合と含まれる場合を区別できます。

ここでは直線と平面の共有点を、成分への代入と一次方程式で調べます。数学Cで平面から空間へ広げる座標とベクトルを使い、曲面との共有点は扱いません。図の長さや角度は空間を紙面に表した見かけであり、実際の大きさの測定には使いません。

どの問いでも、最後に残る式を見る

交点を具体的な座標で求める問いでは、直線上の点を実数 t で表し、平面に代入して t を決めます。求まった t は途中結果です。3成分に戻して点を表し、その点が平面にも属することまで確かめます。

位置関係を分類する問いでは、t の係数と定数を区別します。係数が0でないなら共有点は1点です。係数が0なら定数を調べ、矛盾が残れば共有点なし、恒等式なら直線全体が平面に含まれます。

文字を含む問いでは、割り算の前に係数が0となる値を分けます。一般の場合の式にその値を後から代入すると、分母が0になり、別に調べるべき位置関係が失われます。この順序を、以下の図と例でたどります。

方向と法線が教えること

点 A の位置ベクトルを a（ベクトル）、非零の方向ベクトルを d（ベクトル）とすると、直線上の点 P の位置ベクトル p は p = a + t d と表せます。t はすべての実数を動きます。d が零ベクトルだと点 A しか表さず、直線にならないため、最初に非零を確認します。

平面上の点を Q、その位置ベクトルを q、平面の非零の法線ベクトルを n（ベクトル）とします。点 P が平面にある条件は n・(p − q) = 0 です。法線が非零であることにより、この式は1つの平面を表します。座標形 ax + by + cz = k なら n = (a, b, c) で、a, b, c は同時に0ではありません。

直線の式を代入すると、次の一次方程式になります。

n・(a + t d - q) = 0
(n・d)t = n・(q - a)

左の係数を D = n・d、右辺を E = n・(q − a) と置きます。D が0でなければ t = E/D とただ1つ決まります。d は非零なので、異なる t は異なる点を表し、共有点も1点です。

D = 0 のときは 0t = E です。E が0でなければ成立する t はなく、直線は平面と共有点を持たず平行です。E = 0 ならどの実数 t でも成立するので、直線全体が平面に含まれます。平行という語に含まれる場合を含めるかは文脈によるため、答えでは「共有点なし」または「直線を含む」と明記します。

図1のように、方向が平面を横切るときは D が0でなく、平面に沿うときは D が0です。後者では A が平面上かどうかも必要です。D は方向だけ、E は基準点の位置にも関係するため、片方だけでは3通りを判定できません。

座標形では、A = (x₀, y₀, z₀)、d = (u, v, w) として代入します。すると D = au + bv + cw、E = k − ax₀ − by₀ − cz₀ です。D = 0 かつ E = 0 が、方向が平面に沿い、かつ基準点が平面にあるという2つの条件に対応します。

基本例題：交点を3成分に戻す

直線 l を (x, y, z) = (1, -1, 2) + t(2, 1, -1)、平面 α を x + 2y − z = 3 とします。t は実数です。共有点を座標で求めてください。

方向 (2, 1, -1) と法線 (1, 2, -1) はどちらも非零です。まず直線上の点を各成分に分け、平面の式へ入れます。

x = 1 + 2t
 y = -1 + t
 z = 2 - t
(1 + 2t) + 2(-1 + t) - (2 - t) = 3
-3 + 5t = 3
5t = 6
t = 6/5

係数 5 は0でないので、この t 以外に共有点を与える値はありません。直線の3成分に戻します。

x = 1 + 2・6/5 = 17/5
y = -1 + 6/5 = 1/5
z = 2 - 6/5 = 4/5

答えは (17/5, 1/5, 4/5) です。平面へ戻すと 17/5 + 2・1/5 − 4/5 = 3 です。また3成分はいずれも同じ t = 6/5 の直線上の値です。両方の条件を満たします。

図2のように、基準点 A から方向 d に進んだ先に共有点 P があります。図は位置関係を示すもので、計算した分数を図上の長さから読み取るものではありません。直線を逆方向にたどると t は負にもなりますから、正の値だけを試して判定してはいけません。

標準例題：同じ方向でも基準点で分かれる

直線 l₁ を (x, y, z) = (1, 0, 0) + t(1, 1, 0)、直線 l₂ を (x, y, z) = (1, 1, 0) + s(1, 1, 0)、平面 β を x − y + z = 0 とします。t, s は実数です。それぞれと平面の共有点を分類し、共有点がある場合はその集合を直線の式で表してください。

両直線の方向 (1, 1, 0) と平面の法線 (1, -1, 1) は非零です。両者の内積は 1 − 1 + 0 = 0 なので、どちらも平面を横切る方向ではありません。基準点を調べるため、それぞれ代入します。

l₁: (1 + t) - t + 0 = 0
     1 = 0
l₂: (1 + s) - (1 + s) + 0 = 0
     0 = 0

l₁ では実数 t によらず左辺が1であり、等式が成立しません。したがって共有点はなく、平面に平行です。l₂ では実数 s のどの値でも成立します。共有点の集合は (x, y, z) = (1, 1, 0) + s(1, 1, 0)、s は実数です。

確認として l₁ の基準点を平面の左辺に入れると1、l₂ の基準点では0です。さらに方向を何倍加えても左辺の増加分は0です。基準点の違いがそのまま共有点の有無を分けます。直線を含む場合に「交点は1点」と答えると、基準点以外にも平面上の点があることを落とします。

発展例題：文字による3通りの分類

実数 a に対し、直線 m を (x, y, z) = (1, a, 0) + t(1, 1, a)、平面 γ を x + y − z = 2 とします。t は実数です。a の値で共有点を分類し、1点で交わる場合はその点を a を用いて表してください。

直線の方向は第1成分が1なので、どの a でも非零です。平面の法線 (1, 1, -1) も非零です。代入を整理すると次のようになります。

(1 + t) + (a + t) - at = 2
1 + a + (2 - a)t = 2
(2 - a)t = 1 - a

まず 2 − a ≠ 0、すなわち a ≠ 2 を扱います。このとき割ることができ、t = (1 − a)/(2 − a) です。直線の式に戻します。

x = 1 + (1 - a)/(2 - a) = (3 - 2a)/(2 - a)
y = a + (1 - a)/(2 - a) = (1 + a - a²)/(2 - a)
z = a(1 - a)/(2 - a)

よって a ≠ 2 では、この3成分を持つ点で1点交差します。平面への代入は分子をまとめると、(3 − 2a) + (1 + a − a²) − a(1 − a) = 4 − 2a です。分母 2 − a の2倍なので、平面の右辺2に戻ります。3成分も同じ t から作ったため、直線上にあります。

次に a = 2 を元の整理式に入れます。

0t = -1

これは矛盾するので共有点はありません。この問題では直線全体を含む値はありません。実際に係数が0となる値は a = 2 しかなく、そのとき右辺は -1 です。分母を持つ答えに a = 2 を代入して判断するのではなく、割る前の式で調べたことが重要です。

文字の問題で右辺も同時に0になる設定なら、0t = 0 となり直線全体を含みます。係数が0になる値を求めたら、残った右辺まで代入する習慣が、この場合も矛盾の場合も拾います。

誤答をほどく：0t の右側を消さない

「代入後に t の係数が0だから、平面と直線は交わらない」という判断を考えます。係数が0であることが示すのは、直線に沿って動いても平面の左辺が変化しないことです。その一定値が平面の指定値と異なるのか、等しいのかは別に調べます。

図3のように、0t = 1 はどの t でも成り立たず、0t = 0 はどの t でも成り立ちます。前者は共有点なし、後者は直線全体が共有部分です。式を 0 で割る操作はできません。代わりに等式そのものが成立するかを判断します。

もう1つの誤りは、t の値を求めて解答を終えることです。t は直線上の位置を示す数であり、空間の点ではありません。各成分に同じ値を代入し、平面にも戻して初めて交点を確定できます。計算が合っていても、求められた答えの形を満たすか最後に見直します。

練習：5つの場面で判定する

いずれも媒介変数は実数です。1点で交わる場合の答えは座標を整数または分数で表し、それ以外は共有点なし、または直線全体を含むと答えてください。

1. 直線 (x, y, z) = (0, 1, 1) + t(1, -1, 2) と平面 x + y + z = 4 の共有点を求めてください。
2. 直線 (x, y, z) = (0, 0, 1) + t(1, 2, 0) と平面 2x − y + z = 3 の位置関係を判定してください。
3. 直線 (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(1, 2, 0) と平面 2x − y + z = 3 の共有部分を判定してください。
4. 実数 k に対し、直線 (x, y, z) = (0, k, 1) + t(1, 0, k) と平面 x + z = 2 の共有点を分類し、1点なら座標を求めてください。
5. 線分 AB の端点を A = (1, 0, 1)、B = (3, 2, 1) とします。平面 x + y + z = 3 と線分 AB の共有点を座標で求めてください。

練習の解答と確かめ方

1. 方向 (1, -1, 2) と法線 (1, 1, 1) は非零です。代入して解きます。

 t + (1 - t) + (1 + 2t) = 4
2 + 2t = 4
t = 1

共有点は (1, 0, 3) です。直線に t = 1 を戻すとこの3成分となり、平面では 1 + 0 + 3 = 4 です。係数2が非零なので他の共有点はありません。

2. 方向と法線 (2, -1, 1) は非零です。代入後の式は次のようになります。

2t - 2t + 1 = 3
1 = 3

矛盾するため共有点はなく、平面に平行です。基準点の左辺は1で、方向による増加分は 2 − 2 + 0 = 0 です。直線上を動いても左辺は3になりません。

3. 非零の方向と法線について代入すると、次の恒等式です。

2(1 + t) - (2 + 2t) + 3 = 3
3 = 3

すべての実数 t で成立するため、直線全体を含みます。基準点でも左辺は3で、方向による増加分は0です。基準点に加え、直線上のどの点も元の平面の条件を満たします。

4. 方向 (1, 0, k) は第1成分が1なので非零です。法線 (1, 0, 1) も非零です。

t + (1 + kt) = 2
(1 + k)t = 1

k ≠ -1 では t = 1/(1 + k) なので、共有点は (1/(1 + k), k, (1 + 2k)/(1 + k)) です。第1成分と第3成分の和は2であり、同じ t を直線に入れた点です。k = -1 では 0t = 1 となり共有点なしです。係数が0となる値で右辺が1のままなので、直線全体を含む場合はありません。

5. ベクトル AB = (2, 2, 0) は非零です。線分上の点は (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(2, 2, 0)、0 ≦ t ≦ 1 と表します。平面の法線 (1, 1, 1) も非零です。

(1 + 2t) + 2t + 1 = 3
2 + 4t = 3
t = 1/4

1/4 は指定範囲内なので、共有点は (3/2, 1/2, 1) です。座標の和は3で、A から AB の 1/4 だけ進んだ点です。直線上の解が範囲外だった場合は、延長上では交わっても線分との共有点はありません。

手元に残すこと

• 直線の方向と平面の法線が非零か確かめます。
• 代入後の係数が非零なら、媒介変数は1つに決まります。
• 係数が0なら残る等式を見て、矛盾と恒等式を分けます。
• 交点を求めるときは3成分へ戻し、両方の条件に代入します。
• 線分や半直線では媒介変数の範囲も調べます。

つまずきの見分け方

係数が0になった行で筆が止まるときは、平面の式を移項する前の形に戻し、定数が等しいかを声に出して確認します。図には平面に沿う方向と基準点を描き、基準点が平面上かどうかを別の印で区別します。個別指導で確認するときも、式の 0t = E と図の基準点を対応させ、E が0のとき各 t がどこを表すか説明してみてください。

交点が1点という結論では、点の座標を両方の式へ戻せるかを確認します。係数と定数の両方を読むことで、空間の交わり方が決まります。