武蔵野個別指導塾の特徴

高校数学C 双曲線の漸近線—補助長方形と式の差から傾きと近づき方を読む｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 式と曲線を掘り下げる

補助長方形から漸近線の傾きを求め、有理化した差の符号と連立式の次数で、曲線との交点を調べます。

よくあるのは、理系の高3が双曲線に2本の直線を添えて描いたものの、その直線を曲線が途中で通過すると考える場面です。遠くで形が似ることと、有限の点で交わることは別の条件です。図の見た目だけで判定せず、同じ座標における差を式で調べると、この違いを説明できます。補助長方形の役割から始め、交点の有無と接線との違いまで追います。

どんな問いに分けるか

出方の1つは、標準形から2本の漸近線の方程式を求める問いです。正の項が横にあるか縦にあるかを見て、長方形の横と縦の長さを決めます。分母の大小だけで向きを判断すると、縦向きの曲線で傾きを逆にしやすくなります。

もう1つは、曲線が直線にどの側から近づくかを問う形です。縦の差をそのまま引くと、大きい数同士の差に見えて扱いにくいですが、共役な式を掛けると分子が一定になります。差の符号と、分母が大きくなることをそれぞれ確認します。縦の差は直線への垂直な距離そのものではありませんが、同じxを持つ直線上の点までの距離なので、その差が小さくなれば直線までの距離もそれ以下です。

さらに、漸近線と接線を混同していないかを問うことがあります。共有点が1個であることと接することは、双曲線では同じとは限りません。連立式が二次式のままか、それとも一次式に変わるかを先に調べます。ここでは原点中心の標準形を使い、平行移動は扱いません。

長方形と差の式を結ぶ

まず a > 0、b > 0 とし、横に開く双曲線を考えます。

x²/a² - y²/b² = 1

頂点は (a, 0)、(-a, 0) です。x = ±a、y = ±b で囲む長方形を補助長方形と呼びます。その対角線を両方向に延ばした直線は、原点と (a, b)、(a, -b) をそれぞれ通るので、方程式は y = (b/a)x と y = -(b/a)x です。これは曲線の辺や接線ではなく、曲線を描くときに向きを示す直線です。

図1のように、長方形の左右の辺の中点が頂点です。各枝は頂点から上下に伸び、遠くでは対応する対角線へ近づきます。2本の直線に元の式を代入すると、左辺はどちらも0です。右辺は1ですから、有限の共有点はありません。図で線が重なって見えても、そこを交点と決めてはいけません。

近づく理由を右上の枝で確かめます。x ≥ a、y ≥ 0 では、平方根の非負性を使って次のように書けます。

y = (b/a)√(x² - a²)
(b/a)x - y = (b/a){x - √(x² - a²)}
              = (b/a)・a²/{x + √(x² - a²)}
              = ab/{x + √(x² - a²)}

分母は正なので、この差は正です。したがって右上の枝は y = (b/a)x より下にあります。x を大きくすると分母は少なくとも x と同じ大きさで増え、正の差は ab/x 以下になります。どんな正の小さな幅を決めても、x を十分大きくすれば差をその幅より小さくできます。左下では原点に関する対称性、右下と左上ではx軸に関する対称性を使えば、他の部分にも同じ考えが及びます。

縦向きの x² ではなく y² が正の項となる場合も、座標の役割を交換します。y²/a² − x²/b² = 1 なら横の半幅が b、縦の半幅が a であり、漸近線は y = ±(a/b)x です。a、b は正なので割り算は可能です。どちらの向きでも、右辺の1を0に置き換えた式は直線の組を与えますが、右辺を変えた時点で別の点集合です。元の曲線と同じ方程式に変形したわけではありません。

基本例題：長方形から2直線へ

双曲線 x²/9 − y²/4 = 1 の頂点と漸近線を求め、右上の枝が漸近線のどちら側にあるかを答えてください。方程式と座標は整数または分数で表します。

正の項が x²/9 なので横向きです。a = 3、b = 2 はともに正です。y = 0 を元の式に入れると、次のように頂点が出ます。

x²/9 = 1
x² = 9
x = ±3

頂点は (3, 0)、(-3, 0) です。補助長方形の頂点は (±3, ±2) なので、原点とその頂点を結ぶ2直線は次のとおりです。

y = (2/3)x
y = -(2/3)x

図2のように右上では x ≥ 3、y ≥ 0 です。元の式をyについて解き、非負の根を選びます。

y²/4 = x²/9 - 1
y² = (4/9)(x² - 9)
y = (2/3)√(x² - 9)
(2/3)x - y = 6/{x + √(x² - 9)} > 0

よって右上の枝は y = (2/3)x の下側です。分母は正で、x が大きくなると差は 6/x 以下になります。例えば x = 5 では y = 8/3 で、直線上の同じxの点の高さは 10/3、その差は 2/3 です。元の式に (5, 8/3) を戻すと 25/9 − 16/9 = 1 となり、右上の枝にあることも確かめられます。

2直線のどちらを元の式に入れても左辺は0です。したがって両直線とも元の曲線と交わらず、頂点を通る線でもありません。直線の傾きを求めた後、元の式に戻すところまでを一組にすると図の交差の描き間違いを防げます。

標準例題：縦に開くときの差

双曲線 y²/25 − x²/16 = 1 の漸近線を求め、x ≥ 0 の上側の枝について、直線との差が 1/10 未満になるための十分な x の範囲を整数を用いて示してください。

正の項がyの項なので縦向きです。a = 5、b = 4 と置けば、補助長方形の横の半幅は4、縦の半幅は5です。対角線から漸近線は y = ±(5/4)x です。上側の枝は y ≥ 5 なので、次の非負の根を取ります。

y² = 25 + (25/16)x²
y = (5/4)√(x² + 16)
y - (5/4)x = (5/4){√(x² + 16) - x}
                 = 20/{√(x² + 16) + x}

x > 0 なら分母は 2x より大きく、差は 10/x より小さい正の数です。よって x ≥ 100 なら差は 1/10 未満です。これは十分な範囲であり、差がその幅より小さくなるための必要条件とは主張していません。上側の枝は正の傾きの直線の上側にあります。

例えば x = 3 なら y = 25/4 です。元の式では 25/16 − 9/16 = 1 となり、上側の枝に属します。直線の高さは 15/4 で差は 5/2 です。有理化した式でも 20/(5 + 3) = 5/2 と一致します。漸近線を代入すると左辺は0になるため、こちらも交点はありません。十分な範囲を出す際、x = 0 では 10/x を使えないので、先に x > 0 としている点に注意してください。

発展例題：傾きが同じでも接線とは限らない

双曲線 x²/16 − y²/9 = 1 と直線 y = (3/4)x + k の共有点の個数を、実数 k により分類してください。共有点があるときは座標を分数で表し、接線かどうかも判定します。

直線の傾きは漸近線の一方と同じです。まず連立して、式の次数を確かめます。

x²/16 - {(3/4)x + k}²/9 = 1
x²/16 - x²/16 - kx/6 - k²/9 = 1
-kx/6 - k²/9 = 1

二次の項が消えるため、判別式を使う二次方程式ではありません。k = 0 なら 0 = 1 となり共有点は0個です。これは漸近線そのものです。

k ≠ 0 なら一次方程式を解けます。

-kx/6 = 1 + k²/9
x = -6/k - 2k/3
y = (3/4)(-6/k - 2k/3) + k
y = -9/(2k) + k/2

このとき共有点は1個です。k で割る前に k = 0 を分けたため、解を失っていません。得た座標は直線の式を満たし、連立の一次式も満たすので、展開を逆にたどれば双曲線上にあります。例えば k = 3 では共有点は (-4, 0) で、元の双曲線に戻すと 16/16 = 1 です。

この1点は接点ではありません。実際、k = 3 のときの直線は y = (3/4)x + 3 で、左の頂点 (-4, 0) を通りますが、その頂点の接線は x = -4 です。一般にも共有点を (u, v) とすると、その点での接線は ux/16 − vy/9 = 1 です。これは曲線との連立でその点が重なった共有点になる直線です。これが y = (3/4)x + k と同じなら、係数を比べて v = -3u/4 が必要です。しかし曲線上の条件に代入すると左辺が0になり1に等しくなりません。したがってどの k ≠ 0 でも、この平行な直線は接線ではありません。共有点1個という結果だけから接線と決めず、次数と接点での接し方を区別します。

誤答を図で修正する

図3のように、x²/9 − y²/4 = 1 に対し「右上の枝は y = (2/3)x を通り抜ける」と描いたとします。原因は、近づくという言葉を、どこかで一致するという意味に取り替えたことです。代入すれば左辺が常に0なので、一致する有限の点はありません。

修正では、まず対応する枝と直線を選びます。右上の枝なら (2/3)x − y = 6/{x + √(x² − 9)} です。x ≥ 3 で分母は正、分子も正ですから差は0になりません。一方で x を大きくすれば差を小さくできます。正であることと、小さくできることは両立します。直線に近い部分を描くときも、交わった印を付けないようにします。

別の失敗は、縦向きでも傾きを b/a と書くことです。横幅と縦幅を長方形に書き入れ、傾きは縦の増加量を横の増加量で割る、と戻れば修正できます。また、差を求める際に平方根を正負の両方にしてしまうと枝が混ざります。調べたい点の象限を先に書いて根の符号を選びます。

練習：まず条件を読み分ける

次の答えは、方程式と座標を整数または分数で、必要な範囲を不等式で表してください。直線との差は指定のxでの縦の差です。

x²/25 − y²/36 = 1 の頂点と漸近線を求め、2本の直線との共有点の個数を答えてください。
y²/9 − x²/49 = 1 の漸近線を求め、x ≥ 0 の上側の枝が正の傾きの漸近線の上側か下側か答えてください。
x²/4 − y²/25 = 1 の右上の枝で x = 4 のとき、y と正の傾きの漸近線との縦の差を根号で求めてください。
x²/36 − y²/4 = 1 と y = x/3 + 2 の共有点を求め、共有点の個数を答えてください。
x²/49 − y²/9 = 1 の右上の枝で、正の傾きの漸近線との差を有理化し、その差が 1/10 未満となるための十分な x の範囲を整数で示してください。

練習の答えと戻し方

1

a = 5、b = 6 です。y = 0 とおくと x² = 25 なので頂点は (±5, 0) です。長方形の対角線から漸近線は y = ±(6/5)x です。どちらを元の式に代入しても左辺は x²/25 − x²/25 = 0 ですから、共有点はそれぞれ0個です。頂点は元の式で左辺が1となり、確かに曲線上にあります。分母の大きい y の方向ではなく、正の項の x の方向に開きます。

2

横の半幅は7、縦の半幅は3です。漸近線は y = ±(3/7)x です。上側の枝では次のようになります。

y² = 9 + 9x²/49
y = (3/7)√(x² + 49)
y - (3/7)x = 21/{√(x² + 49) + x} > 0

x ≥ 0 で分母は正なので上側です。x = 0 では y = 3 で、元の式の左辺は1、直線の高さは0です。漸近線を代入すると元の左辺は0なので、両者は交わりません。分母の49をそのまま縦の長さにしないよう、平方根を取って半幅を決めます。

3

右上の枝では正の根を取ります。

y²/25 = 4²/4 - 1 = 3
y = 5√3

正の傾きの漸近線は y = (5/2)x で、x = 4 の高さは10です。求める差は 10 − 5√3 です。√3 < 2 なので正です。y²/25 = 3 を元の式に戻すと 4 − 3 = 1 で、xとyも正です。有理化すると差は 5/(2 + √3) となり、元の差に戻せます。距離として負の値を答えないことが最後の確認です。

4

代入後、二次の項が消えることに注意します。

x²/36 - (x/3 + 2)²/4 = 1
-x/3 - 1 = 1
x = -6
y = 0

共有点は (-6, 0) の1個です。直線に戻すと 0 = -2 + 2、双曲線に戻すと 36/36 − 0 = 1 です。直線の傾きは漸近線の傾きと同じですが、切片が0でないので漸近線そのものではありません。連立が一次式であるため、共有点が1個でも重解から接するとはいえません。

5

右上では x ≥ 7、y ≥ 0 です。元の式から次を得ます。

y = (3/7)√(x² - 49)
(3/7)x - y = (3/7){x - √(x² - 49)}
              = 21/{x + √(x² - 49)}

差は正で、21/x 以下です。したがって x > 210 なら差は 1/10 未満です。x = 210 を含む別の十分条件を作ることもできますが、ここでは不等号の確認が容易な範囲を答えました。例えば x = 25 なら y = 72/7 で、元の式は 625/49 − 576/49 = 1 です。直線との差は 75/7 − 72/7 = 3/7 で、有理化した式の 21/(25 + 24) と一致します。