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高校数学C 放物線の定義—焦点と準線の等距離条件から標準形を往復する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 式と曲線を掘り下げる

焦点と準線までの長さを等しく置き、負のpでも距離が一致することを標準形から確かめます。

よくあるのは、焦点と準線を描き、距離を二乗して式を得たところで、その式の点が本当に元の条件を満たすのか立ち止まる場面です。理系の高3が標準形を覚えていても、焦点が負の側にある図では符号を取り違えがちです。距離は負にならないという事実を残しながら、図から式へ、式から図へ戻る道筋を追います。

距離条件から何を問うか

問題の出方は大きく3つあります。焦点と準線が与えられ、等距離の点の集合を求める型では、点と直線の距離の絶対値から始めます。式が与えられ、焦点と準線を答える型では、係数の符号を含めて標準形と比べます。さらに、ある点が条件を満たすかを調べる型では、式への代入後に元の2つの距離も照合します。

どの型でも、焦点は準線上にないとします。焦点が準線上にある場合は、等距離の点はその焦点を通り準線に垂直な直線となり、通常の放物線にはなりません。計算の途中で係数が0になったら、公式をそのまま使わず、最初の条件に戻ります。ここでは頂点が原点で軸が座標軸に沿う場合を扱います。頂点を移す場合は、焦点と準線を同じだけ移すことが別の論点です。

等距離という定義を式にする

定点 F と、F を含まない定直線 l に対し、F からの距離と l からの距離が等しい点 P の集合を放物線といいます。F を焦点、l を準線と呼びます。点から直線への距離は、直線に垂直に下ろした線分の長さです。長さなので必ず0以上です。

図1のように焦点を F(p, 0)、準線を x = -p とします。ここで p は0でない実数で、正にも負にもなります。焦点から準線へ下ろした垂線と準線の交点は (-p, 0) で、その中点 O が頂点です。焦点と頂点を通る x 軸が放物線の軸です。

図1の P(x, y) から準線に垂線を下ろした足を H とすると、H の座標は (-p, y) です。したがって PF と PH は次のように表せます。平方根は0以上の値を表します。

PF = √((x - p)² + y²)
PH = |x + p|
PF = PH

両辺は0以上なので、等式を二乗しても、その逆に二乗の等式から元の等式に戻しても同値です。展開して整理します。

(x - p)² + y² = (x + p)²
x² - 2px + p² + y² = x² + 2px + p²
y² = 4px

これが横向きの標準形です。途中で平方根や絶対値が見えなくなりますが、捨てたのではありません。式の点なら両距離の二乗が等しく、両距離は0以上なので距離自体も等しい、と逆にたどれます。よって標準形の全点が定義に戻り、余分な点はありません。

p > 0 なら y² ≥ 0 より x ≥ 0、曲線は右へ開きます。p < 0 なら x ≤ 0 で左へ開きます。頂点はどちらも (0, 0) です。x 軸に関して y の符号を変えても式が変わらないので、軸対称です。焦点がどちら側かは符号つきの p で決めますが、焦点と頂点の距離は |p| です。

座標の役割を入れ替えれば、焦点 (0, p)、準線 y = -p の場合は x² = 4py です。p > 0 なら上、p < 0 なら下へ開きます。準線は開く側と反対にあります。p = 0 を除く理由は、焦点が準線上に来て定義の前提を失うからです。形式的に y² = 0 とすれば x 軸ですが、それは前提を満たす放物線ではありません。

式から図を描く順番

標準形を見たら、まず二乗されていない文字を探します。y² = 4px なら x 軸方向に開き、x² = 4py なら y 軸方向に開きます。次に係数を4で割り、符号つきの p を求めます。焦点を頂点から p だけ軸に沿って置き、準線を反対側の座標 -p に引きます。焦点と準線の間に頂点があることは、描いた後の手早い点検になります。

例えば y² = 2x なら p = 1/2 で、焦点は (1/2, 0)、準線は x = -1/2 です。係数2をそのまま焦点の座標とする誤りは、4p = 2 と一行書いて防げます。点 (2, 2) では焦点まで √((3/2)² + 2²) = 5/2、準線まで 2 + 1/2 = 5/2 となります。分数の p でも同じ定義が成立します。

曲線上の点は、準線と焦点を結ぶ線分の中点である頂点から両側へ広がります。右向きなら x が負の点は式を満たせませんが、x = 0 のとき y = 0 は含まれます。この端の確認は、不等号をうっかり厳密な x > 0 にする失敗を防ぎます。縦向きや負の p でも、二乗が0以上という条件から向きと頂点を同様に確かめられます。

距離の等式を二乗する前に、両辺の意味を一度声に出して確かめるのも有効です。平方根は負の値を取らず、絶対値も負になりません。一般には二乗が等しくても元の数は等しいとは限りませんが、ここでは非負という条件が逆向きの推論を保証します。条件を記した一行が、計算結果を点の集合として答える根拠になります。

基本例題：右へ開く曲線

焦点 F(2, 0)、準線 x = -2 から等距離にある点の集合の方程式を求め、点 (2, 4) が条件を満たすことを距離で確かめてください。方程式の係数と距離は整数で答えます。

焦点は準線上にないので、定義を使えます。図2のように P(x, y) から準線への距離は |x + 2|、焦点への距離は √((x − 2)² + y²) です。どちらも0以上なので二乗は同値です。

√((x - 2)² + y²) = |x + 2|
(x - 2)² + y² = (x + 2)²
x² - 4x + 4 + y² = x² + 4x + 4
y² = 8x

逆に y² = 8x を満たす点では、上の二乗の等式が成立します。両辺は距離の二乗であり、距離は0以上なので、元の等距離条件も成立します。したがって答えは y² = 8x です。

指定点では 4² = 8・2 です。焦点への距離は √((2 − 2)² + 4²) = 4、準線への距離も |2 + 2| = 4 です。式の代入と、問題文に戻した距離の確認が一致しました。図2では準線へ垂直な横の線分と、焦点への線分がともに長さ4です。

標準例題：負の係数を読み戻す

方程式 y² = -12x の放物線について、焦点と準線を整数の座標と方程式で求め、点 (-3, 6) の2つの距離を整数で求めてください。

係数 -12 は0でないので、4p = -12 と置けます。p は距離そのものではなく符号つきの座標です。

4p = -12
p = -3
焦点 F(-3, 0)
準線 x = 3

p < 0 なので左へ開きます。準線を x = -3 としてしまうと焦点上を通り、定義の前提にも反します。指定点について、6² = -12・(-3) なので式上にあります。焦点への距離と準線への距離をそれぞれ計算します。

PF = √((-3 + 3)² + 6²) = 6
準線までの距離 = |-3 - 3| = 6

両方とも6で、元の条件を満たします。頂点 (0, 0) でも焦点まで3、準線まで3です。負の p を使っても距離を -3 と書かないことが要点です。

発展例題：上向きと点の存在

焦点 F(0, a)、準線 y = -a とします。ただし a は0でない実数です。点 (6, 3) が等距離条件を満たすとき、a を分数または整数で求め、開く向きと両距離を答えてください。

焦点と準線が離れているので縦向きの標準形を使えます。点を代入すると次のようになります。

x² = 4ay
6² = 4a・3
36 = 12a
a = 3

12は0でないので割ることができます。候補は a = 3 で、最初の a ≠ 0 も満たします。正なので上向きです。逆に、この値を元の条件に戻すと、焦点は (0, 3)、準線は y = -3 です。

PF = √((6 - 0)² + (3 - 3)²) = 6
準線までの距離 = |3 + 3| = 6

したがって候補は実際に成立し、a = 3 と決まります。代入による一次方程式には他の解がないため、別の値はありません。もし与えられた点の y 座標が0で x 座標が0でなければ、x² = 4ay は成立せず、条件を満たす a はありません。逆に原点ならどの非零の a でも両距離が |a| となり、1つには決まりません。点の位置によって、存在しない場合や一意に定まらない場合も区別します。

誤答を距離まで戻して直す

焦点 F(-1, 0)、準線 x = 1 に対し、「焦点が左だから y² = 4x」と書いたとします。これは p の符号を曲線の向きに反映できていない誤答です。正しくは p = -1 ですから y² = -4x です。

図3のように、誤った式上の Q(1, 2) を元の条件へ戻すと差が見えます。焦点までの距離は √((1 + 1)² + 2²) = 2√2、準線までの距離は |1 − 1| = 0 です。両者は等しくありません。Q は準線上にあるため、準線までの距離が0だと図からも判断できます。

図3の配置では正しい曲線は左側です。正しい式上の点 R(-1, 2) なら焦点まで2、準線まで |-1 − 1| = 2 です。式だけを眺めて符号を直すのではなく、焦点、準線、点の3つを同じ図に置くと原因を特定できます。絶対値を先に外す場合も注意が必要です。x − 1 を距離と置けば、x < 1 で負になり、左側の正しい点を扱えません。距離の式は絶対値のまま二乗し、最後に非負性を使って戻します。

手を動かす5問

各問で方程式の係数と座標は整数または分数、距離は整数または根号で答えてください。焦点は準線上にないものとします。

焦点 (5, 0)、準線 x = -5 の放物線の方程式を求め、点 (5, 10) が定義を満たすか調べてください。
焦点 (-2, 0)、準線 x = 2 の放物線の方程式を求め、点 (-8, -8) の2つの距離を求めてください。
x² = -20y の焦点と準線を求め、点 (10, -5) の2つの距離を求めてください。
焦点 (0, t)、準線 y = -t、t ≠ 0 の放物線が点 (4, -2) を通ります。t と開く向きを求め、元の距離を調べてください。
焦点 (3, 0)、準線 x = -3 に対し、点 A(3, 6)、B(-3, 6) のうち等距離条件を満たす点を選び、それぞれの2つの距離を求めてください。

解答と戻し方

p = 5 より y² = 20x です。点では 10² = 20・5 です。焦点まで √(0² + 10²) = 10、準線まで |5 + 5| = 10 なので定義を満たします。式の点であるだけで終わらず、両距離を照合します。
p = -2 より y² = -8x です。点では (-8)² = -8・(-8) です。焦点まで √((-8 + 2)² + (-8)²) = √100 = 10、準線まで |-8 − 2| = 10 です。左にある点でも距離は正です。
4p = -20 から p = -5 です。焦点は (0, -5)、準線は y = 5 です。10² = -20・(-5) で点は式上にあります。焦点まで √(10² + 0²) = 10、準線まで |-5 − 5| = 10 です。縦向きでは準線も横向きの直線になります。
x² = 4ty に点を代入します。

4² = 4t・(-2)
16 = -8t
t = -2

非零条件を満たし、負なので下向きです。焦点は (0, -2)、準線は y = 2 です。点から焦点までは √(4² + 0²) = 4、準線までは |-2 − 2| = 4 です。候補を実際の距離へ戻せました。

A の焦点までの距離は √(0² + 6²) = 6、準線までの距離は |3 + 3| = 6 です。B の焦点までの距離は √((-6)² + 6²) = 6√2、準線までの距離は |-3 + 3| = 0 です。したがって条件を満たすのは A です。B は準線上にありながら焦点とは異なる点なので、距離は一致しません。

手元に残す要点

焦点 (p, 0)、準線 x = -p なら y² = 4px、ただし p ≠ 0 です。
縦向きでは焦点 (0, p)、準線 y = -p、式は x² = 4py です。
距離は非負なので、二乗した等式から元の距離の等式へ戻れます。
係数の符号で開く向きを決め、求めた点を焦点と準線へ戻して確かめます。