高校数学C 1のn乗根—円周上の配置と和から対称性を読み取る｜武蔵野個別指導塾

単位円の頂点と等比数列の和を結び、分母が0になる場合も分けて1のn乗根を捉えます。

よくあるのは、理系の高3が1のn乗根の和を等比数列の公式に入れ、分母が0でも割ってしまう場面です。円周上の点を眺めると対称性がありそうですが、どの点を何回足したかを確認しなければ、和が0とは限りません。公比が1になる場合を先に分け、式と図の両方から答えを点検しましょう。

配置を見るか、和をまとめるか

出方の1つは、1のn乗根を複素数平面に置き、隣り合う点の角度や正多角形の頂点を読む問題です。1から反時計回りに並べる順を決めると、累乗の番号と点の位置を対応させられます。n = 1や2では通常の意味の多角形ではないので、点の個数を先に確かめます。

もう1つは、根を公比とする和を求める問題です。公比が1でなければ等比数列の和を使えますが、公比が1なら各項を直接足します。さらに、指数が飛び飛びの場合は、公比の何乗が1になるかを調べ、同じ点を何回たどるかを数える問題になります。見かけの項数と異なる点の個数を混同しないことが分かれ目です。

単位円の等間隔と、和が消える条件

nを正整数とします。zⁿ = 1を満たす複素数を1のn乗根といいます。絶対値を取ると |z|ⁿ = 1なので |z| = 1です。特にzは0ではなく、偏角を考えられます。以下、角を列挙する際の代表値は0以上2π未満とします。

θ = 2π/n、ω = cos θ + i sin θ とおくと、ド・モアブルの定理から、1のn乗根は

1, ω, ω², …, ωⁿ⁻¹
ωᵏ = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n)

です。ただしkは0からn − 1までの整数です。隣り合う偏角の差は2π/nで、最初と最後の間にも同じ大きさの角が残ります。n個の角は指定した範囲で相異なるため、点も重複しません。nが3以上なら、これらは単位円に内接する正n角形の頂点です。図1のように6個の場合を置くと、原点を挟む点どうしが対応します。

図1では1を出発点に反時計回りに番号を増やします。1も根の1つですが、1以外の根と等比数列の公比として扱うときの条件は異なります。n = 1ではωも1であり、根は1個です。

一般に、複素数qと正整数mに対して、S = 1 + q + … + qᵐ⁻¹とおきます。両辺にqを掛けて引くと、途中の項が消えて

(1 - q)S = 1 - qᵐ

となります。q ≠ 1なら1 − qは0でないので、S = (1 − qᵐ)/(1 − q)です。一方、q = 1なら割れませんが、各項が1なのでS = mです。特にqⁿ = 1かつq ≠ 1なら、最初のn項の和は0です。q = 1では和はnです。同じ「n乗すると1」という条件から、両方の場合が生じます。

和が0になる幾何学的な意味もあります。nが3以上なら、正n角形の頂点を表す複素数の和は0です。これは、ωを掛けると頂点が一巡して和が変わらない一方、ω ≠ 1だから、和SについてωS = Sが成り立つことからも示せます。対称な点が2個ずつ反対向きに組めない奇数個でも、この議論は有効です。

基本例題：4個の根の和

問題　1の4乗根をすべて直交表示で求め、それらの和と、1を除いた根の和を求めてください。点の配置も述べてください。

4は正整数で、z⁴ = 1ならzは非零です。偏角を0以上2π未満に取ると、4倍した角が2πの整数倍になるので、候補は0、π/2、π、3π/2です。したがって根は順に

1, i, -1, -i

です。いずれも4乗すると1に戻り、4点は相異なります。原点を中心とする単位円上に、反時計回りにπ/2ずつ隔てて並ぶ正方形の頂点です。図2のように実軸と虚軸の正負の向きに配置されます。

図2の上下、左右の点をそれぞれ足すと0です。計算でも

1 + i + (-1) + (-i) = (1 - 1) + (i - i)
                         = 0

となります。1を除くと、全体の和から1を引くので

i + (-1) + (-i) = 0 - 1
                 = -1

です。公比をiとして和の公式を使っても、i ≠ 1とi⁴ = 1から同じ結果になります。除いた項が1であることを最後に戻すと、1以外の根の和を0とする誤りを防げます。

標準例題：指数を飛ばして一周する

問題　ω = cos(2π/9) + i sin(2π/9)とします。S = 1 + ω³ + ω⁶ + ω⁹ + ω¹² + ω¹⁵を求め、足した6項の点が単位円上の何個の位置を何回ずつ通るかを答えてください。答えの和は直交表示で表してください。

q = ω³とおきます。ωの偏角は2π/9ですから、qの偏角は2π/3です。qは1ではなく、q³ = ω⁹ = 1です。よって1、q、q²は相異なる3点で、その後はq³ = 1により同じ3点を繰り返します。各位置を2回ずつ通ります。

式でも、q ≠ 1を確認した後で和の公式を使えます。

S = 1 + q + q² + q³ + q⁴ + q⁵
  = (1 - q⁶)/(1 - q)
  = (1 - (q³)²)/(1 - q)
  = (1 - 1)/(1 - q)
  = 0

別の見方では、3項ずつ2組に分けます。q³ = 1、q ≠ 1より1 + q + q² = 0なので、S = 2(1 + q + q²) = 0です。答えを点の配置へ戻すと、正三角形の3頂点がそれぞれ2回ずつ現れるため、各頂点を1回ずつ足した0が2組あります。異なる点は6個ではありません。

この問題では項数6が、元の9個の根の個数ではなく、公比qでたどる列の長さです。元の根をすべて通るとは限らず、指数を3ずつ増やす操作が選ぶ位置に注目します。元の隣の根へ進むのではなく、円周を3区間ずつ進みます。出発点に初めて戻るまでが1周であり、6項を順に記録すると各位置の回数も確かめられます。qの周期が3とわかれば、6項はちょうど2周です。途中で切れる項数なら、完全な周回の和を消した後、残った項を別に足す必要があります。

発展例題：重みを付けた根の和

問題　η = cos(2π/5) + i sin(2π/5)とし、T = 1 + 2η + 3η² + 4η³ + 5η⁴を求めてください。答えはηを用いた分数で表し、その分母が非零であることも示してください。

ηは1の5乗根で、偏角は0より大きく2πより小さいためη ≠ 1です。またη⁵ = 1です。係数が同じでないので、5個の頂点の和が0という事実を、そのままTに適用することはできません。ηTを作って引くと、隣り合う係数の差が残ります。

ηT = η + 2η² + 3η³ + 4η⁴ + 5η⁵
(1 - η)T = 1 + η + η² + η³ + η⁴ - 5η⁵
             = 0 - 5
             = -5
T = -5/(1 - η)

途中で使った5項の和は、η ≠ 1かつη⁵ = 1なので0です。1 − η ≠ 0が保証されるため、最後の割り算もできます。元の和へ戻す確認として、求めた値に1 − ηを掛けると-5です。元のTについても上の引き算で同じ-5になるので、非零の1 − ηを掛けた結果が一致し、答えが一致します。

重みが付くと、点を同じ回数ずつ足す対称性は崩れます。しかし1つずらして引くことで、係数の差を一定にできました。等しい係数の和に直せるかが、直接公式を使う場合との分かれ目です。答えを分数の形で残すと、1でないことを確かめた分母も見えます。

0で割る誤答を止める

例えば1の6乗根の1つであるqについて、q⁶ = 1だから、1 + q + … + q⁵ = (1 − q⁶)/(1 − q) = 0と結論する答案を考えます。原因は、分子が0になることに気を取られ、分母の条件を調べていない点です。q = 1も与えられた条件を満たしますが、このとき分母は0です。

図3のように、q = 1なら6項すべてが単位円上の同じ点1を指します。和は6で、0ではありません。q ≠ 1なら分母が非零で、公式から和は0です。図3の分岐を式の前に書けば、公式を使う場合と、各項を数える場合を混ぜずに済みます。

もう1つの誤りは、1を除く根の和を、全体の和と同じ0とすることです。nが2以上なら全体の和は0ですが、除いた1を引くので残りは-1です。n = 1では残る根がなく、この結論をそのまま使えません。条件と対象の集合を一緒に書く習慣が、例外を見つける助けになります。

練習：周期と項数を見比べる

各問では、指定された形で答えてください。角の代表値が必要な場合は0以上2π未満とします。

1. 1の3乗根をすべて直交表示で表し、1を除く根の和を求めてください。
2. α = cos(2π/8) + i sin(2π/8)とします。1 + α² + α⁴ + α⁶を直交表示で求め、足した点の個数を答えてください。
3. β = cos(2π/12) + i sin(2π/12)とします。1 + β⁴ + β⁸ + β¹² + β¹⁶ + β²⁰ + β²⁴を直交表示で求め、各位置を通る回数を答えてください。
4. q⁷ = 1を満たす複素数qについて、1 + q + q² + q³ + q⁴ + q⁵ + q⁶を、q = 1とq ≠ 1に分けて整数で求めてください。
5. γ = cos(2π/6) + i sin(2π/6)とします。1 + γ + γ² + γ³ + γ⁴ + γ⁵から、実数である根を除いた残りの和を直交表示で求めてください。

練習の答えと道筋

1. 3個の根と、残りの和

偏角は0、2π/3、4π/3です。絶対値は1なので、直交表示は

1, -1/2 + (√3/2)i, -1/2 - (√3/2)i

です。各点の偏角は相異なり、3倍するとそれぞれ2πの整数倍になるので、元の3乗の条件を満たします。1を除く2項を足すと、虚部が消えて

(-1/2 + (√3/2)i) + (-1/2 - (√3/2)i) = -1

です。図形では残る2点が実軸対称で、実部がそれぞれ-1/2です。3点全体では実部の和も虚部の和も0となり、除いた1を戻す確認ができます。

2. 4位置を1回ずつ

α² = cos(π/2) + i sin(π/2) = iです。よって

1 + α² + α⁴ + α⁶ = 1 + i + i² + i³
                         = 1 + i - 1 - i
                         = 0

です。偏角は順に0、π/2、π、3π/2なので、異なる4位置を1回ずつ足しています。各指数を元のαの角に掛けるとこの配置へ戻り、最後の項の次にα⁸ = 1となって出発点へ戻ることも確認できます。

3. 2周と余りの1項

q = β⁴とおくと、qの偏角は2π/3です。したがってq ≠ 1、q³ = 1であり、1 + q + q² = 0です。求める和は

1 + q + q² + q³ + q⁴ + q⁵ + q⁶
= (1 + q + q²) + (q³ + q⁴ + q⁵) + q⁶
= 0 + q³(1 + q + q²) + 1
= 1

です。7項は3位置を2周した後の出発点を含みます。位置1を3回、残る2位置を各2回通るので、対称な2周分が消えて1が残ります。項数を3で割った余りを点の回数と照合できました。

4. 公比1を先に分ける

q = 1のとき7項はすべて1で、和は7です。q ≠ 1のときは1 − q ≠ 0ですから

1 + q + q² + q³ + q⁴ + q⁵ + q⁶ = (1 - q⁷)/(1 - q)
                                             = 0/(1 - q)
                                             = 0

です。どちらもq⁷ = 1という元の条件の下での結果です。特にq = 1を戻すと7になり、分母0の式を使わない必要が確かめられます。

5. 実数の根を引く

γ ≠ 1、γ⁶ = 1より、6項全体の和は0です。6個の偏角は0からπ/3ずつ増え、実数となるのは偏角0とπの点です。対応する根は1とγ³ = -1です。

残りの和 = 0 - (1 + (-1))
         = 0

となります。残る4点は実軸対称の2組であり、さらに原点を挟んだ組にも分けられます。実数の2点を戻しても和が0のままで、元の6項の和と一致します。

要点を手元に残す

nは正整数、1のn乗根は単位円上の相異なるn点です。
nが3以上なら等間隔の点は正n角形を作ります。
公比q ≠ 1かつqⁿ = 1なら、最初のn項の和は0です。
q = 1なら和は項数で、飛び飛びの指数では周期と余りを数えます。

手が止まる位置を見つける

和が0になる理由を尋ねたときに「根だから」としか言えなければ、公比が1の例を代入し、各項を数えるところから確かめます。個別指導では、(1 − q)S = 1 − qⁿを書いた後に、どの条件で割れるかを口頭でも説明してもらいます。指数が飛ぶ問題では、点の図に出現回数を記し、式の項数との対応を確認します。分母と周回数が見えれば、根の対称性を安全に式へ移せます。