高校数学C 積と商の極形式—長さの比と角の差から計算の順を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

商の偏角を引く順序と分母の非零条件を確かめ、掛け戻しによって長さと向きを検算します。

よくあるのは、理系の高3が商の偏角を分母から分子の順に引き、図と反対側に答えを置く場面です。長さの割り算が合っていても、角の引き算の順が逆なら複素数は別の点を表します。商を求めた後に分母を掛け、元の分子へ戻るかを見ると、この違いを式と図の両方で捉えられます。

長さと角のどちらから着手するか

積や商が極形式で与えられたときは、絶対値と偏角を別々に計算する方法が使えます。積の絶対値は掛け、偏角は足します。商の絶対値は分子を分母で割り、偏角は分子から分母を引きます。計算後は指定された偏角の範囲に直します。

直交表示で与えられたときは、まず極形式に変えても、共役を用いて直接計算してもかまいません。特殊角が見えているなら極形式は角の関係を短く表せます。一方、実部と虚部が整数で、商を有理化すると簡単になる場合は直交表示が便利です。両方を使えば別の経路から検算できます。

未知数を含む積や商の等式では、先に零かどうかを判断します。商の分母が0なら式自体が定義されません。0の絶対値は0ですが偏角は定義されないため、零を含む積に偏角の公式を適用することもできません。この区別を最初に書けば、角を決められない場合を見落とさずに済みます。

積と商の角を決める根拠

非零複素数 z, w を、r, s を正の実数として次のように表します。θとφはそれぞれの偏角です。

z = r(cos θ + i sin θ)
w = s(cos φ + i sin φ)

積を展開し、三角関数の加法定理を使うと次の式を得ます。

zw = rs{cos θ cos φ - sin θ sin φ
     + i(sin θ cos φ + cos θ sin φ)}
   = rs{cos(θ + φ) + i sin(θ + φ)}

したがって |zw| = |z||w| で、積の偏角は θ + φ です。偏角は2πの整数倍だけ異なる値も同じ向きを表すので、代表値を答える際には区間に入るよう調整します。絶対値の積の公式自体は、どちらかが0の場合も成立しますが、その場合に積の偏角はありません。

商は w が非零のときに限って考えます。さらに z が非零なら、求める商も非零です。商に w を掛けたものが z になるので、商の長さを s 倍すると r、商の偏角に φ を足すと θ になります。よって長さは r/s、角は θ − φ です。

z/w = (r/s){cos(θ - φ) + i sin(θ - φ)}

図1のように、分母の向きから分子の向きへ進む角が商の偏角に対応します。図の例では分母が π/6、分子が 2π/3 なので差は π/2 です。これは原点を基準とした向きの差であり、長さは別に比で扱います。

図1の角の差は反時計回りを正に測っています。逆向きに測った -π/2 を使うと、分母に掛け戻しても分子の向きに戻りません。たとえば z = 0、w ≠ 0 なら z/w = 0 ですが、その商について偏角を求めることはできません。

基本例題：商を極形式と座標で照合する

非零複素数 a = 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3))、b = cos(π/6) + i sin(π/6) について、a/b を極形式と直交表示で求めてください。偏角の代表値は 0 以上 2π 未満とします。

まず |b| = 1 なので分母は非零です。長さの比と角の差を順に求めます。

|a/b| = 2/1 = 2
arg(a/b) = 2π/3 - π/6
         = 4π/6 - π/6
         = π/2

π/2 は指定範囲内です。したがって商は 2(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 2i です。図2のように b の角 π/6 に商の角 π/2 を足すと、a の角 2π/3 に戻ります。

座標でも確かめます。a = -1 + √3 i、b = (√3 + i)/2 です。分母の共役を掛けると、次のように同じ値が得られます。

a/b = 2(-1 + √3 i)/(√3 + i)
    = 2(-1 + √3 i)(√3 - i)/(3 + 1)
    = 2(4i)/4
    = 2i

元の場面に戻して、2i・(√3 + i)/2 = -1 + √3 i = a です。長さも 2・1 = 2 ですから、角だけでなく倍率も一致します。角を逆に引いた -π/2 では -2i となり、この掛け戻しに失敗します。

標準例題：積と商をまとめて扱う

非零複素数 p = 3(cos(5π/6) + i sin(5π/6))、q = 2(cos(π/3) + i sin(π/3))、t = 6(cos(7π/6) + i sin(7π/6)) について、pq/t を極形式と直交表示で求めてください。偏角の代表値は 0 以上 2π 未満とします。

|t| = 6 なので割り算は可能です。積を先に一つの複素数として見て、最後に t の長さと角を引き受けます。

|pq/t| = (3・2)/6
       = 1
arg(pq/t) = 5π/6 + π/3 - 7π/6
          = (5π + 2π - 7π)/6
          = 0

したがって答えは cos 0 + i sin 0 = 1 です。掛け戻して確かめると、pq の長さは6、偏角は 7π/6 なので pq = t です。商が1なら t を掛けた結果が t となり、元の積と一致します。

直交表示を使う場合も、p = (-3√3 + 3i)/2、q = 1 + √3 i、t = -3√3 − 3i です。p と q を掛ければ実部は -3√3、虚部は -3 となり、確かに t を得ます。積を別々に有理化する必要がないので、この例では角の和を先にまとめる方法が短く済みます。

分母に複数の因子がある場合は、それら全体の偏角を引きます。たとえば分母が u v なら、角は θ − (φ + ψ) です。括弧を外す際に一方の符号だけを変える誤りを避けるため、分母の角の和を先に書くと順序が明確になります。

発展例題：未知の因子を逆算する

非零複素数 u = 4(cos(5π/3) + i sin(5π/3))、v = 2(cos(π/4) + i sin(π/4)) が与えられています。u/x = v を満たす複素数 x を、極形式と直交表示で求めてください。偏角の代表値は 0 以上 2π 未満とします。

式が意味を持つには x ≠ 0 が必要です。また v ≠ 0 なので、両辺に x を掛けてから v で割れば x = u/v です。この変形は逆向きにもできるため、候補を増やしません。

|x| = 4/2 = 2
arg x = 5π/3 - π/4
      = 20π/12 - 3π/12
      = 17π/12

17π/12 は指定範囲内です。17π/12 = π + 5π/12 であり、加法定理から cos(17π/12) = -(√6 − √2)/4、sin(17π/12) = -(√6 + √2)/4 です。よって答えは次のとおりです。

x = 2{cos(17π/12) + i sin(17π/12)}
  = -(√6 - √2)/2 - (√6 + √2)i/2

この候補の絶対値は2で非零です。x と v の積の長さは 2・2 = 4、偏角は 17π/12 + π/4 = 20π/12 = 5π/3 なので xv = u です。従って u/x = v も成立し、元の条件を満たします。

もし右辺が0で左辺の分子が非零なら、どの非零 x でも商は0にならないので解はありません。逆に分子と右辺がともに0なら、分母の条件 x ≠ 0 を満たすどの x も解です。両辺を未知数や右辺で割る前に零を分けることが、逆算の分岐点です。

引く順序を誤ったら掛け戻す

基本例題で「角は π/6 − 2π/3 = -π/2、答えは -2i」とした答案を考えます。計算の引き算自体は正しいものの、分母の角から分子の角を引いています。図3のように、正しい商は上向き、誤った商は下向きです。

図3の下向きの候補に分母 b を掛けると、長さは2ですが偏角は -π/2 + π/6 = -π/3 です。元の a の偏角 2π/3 とは π 違います。直交表示でも (-2i)b = 1 − √3 i となり、a と符号が逆です。差を「分子から分母」と書き直し、掛け戻したときに長さと角の双方が戻ることを確認します。

別の誤りは、角が負になった時点で絶対値を取ることです。角 -π/3 は時計回りの向きを持ち、π/3 とは異なります。0 以上 2π 未満に直すなら 2π を足して 5π/3 とします。絶対値は長さに対して使うものであり、偏角の符号を消す操作ではありません。

練習問題

各問で求める偏角の代表値は 0 以上 2π 未満とし、極形式と直交表示の両方で答えてください。ただし5は解の条件を答えてください。

1. a = 2(cos(π/6) + i sin(π/6))、b = 3(cos(π/3) + i sin(π/3)) の積 ab を求めてください。
2. c = 6(cos(π/3) + i sin(π/3))、d = 2(cos(5π/6) + i sin(5π/6)) の商 c/d を求めてください。
3. e = -2 + 2i、f = 1 − i の商 e/f を求めてください。
4. g = 2(cos(π/2) + i sin(π/2))、h = 4(cos(π/6) + i sin(π/6)) のとき、gh/k = 2 を満たす k を求めてください。
5. 実数 m について、複素数 z が 0/z = m を満たす条件を、m の値ごとに求めてください。

練習の答えと道筋

1. 両因子は非零です。積の長さは 2・3 = 6、角は π/6 + π/3 = π/2 です。答えは 6(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 6i です。直交表示では a = √3 + i、b = (3 + 3√3 i)/2 なので、積の実部は0、虚部は6となり、与えられた2因子の積に戻ります。

2. |d| = 2 なので分母は非零です。長さは 6/2 = 3、角は π/3 − 5π/6 = -π/2 です。これに 2π を足して 3π/2 とします。答えは 3(cos(3π/2) + i sin(3π/2)) = -3i です。掛け戻すと長さは 3・2 = 6、角は 3π/2 + 5π/6 = 7π/3 で、2π を引けば c の角 π/3 です。

3. |f| = √2 なので割れます。共役を用いた計算は次のとおりです。

e/f = (-2 + 2i)/(1 - i)
    = (-2 + 2i)(1 + i)/2
    = -4/2
    = -2

答えは 2(cos π + i sin π) = -2 です。実際に (-2)(1 − i) = -2 + 2i となり、元の分子を得ます。e の角 3π/4 から f の角 7π/4 を引いて -π、これに 2π を足しても π です。

4. 分母の条件は k ≠ 0 です。gh/k = 2 より k = gh/2 で、g、h は非零なので得られる k も非零です。

|k| = (2・4)/2 = 4
arg k = π/2 + π/6 - 0
      = 2π/3

答えは 4(cos(2π/3) + i sin(2π/3)) = -2 + 2√3 i です。k を2倍すると長さ8、角 2π/3 となり、gh の長さと角に一致します。したがって元の商は実数2です。

5. 商が定義される条件は z ≠ 0 です。この条件の下では 0/z = 0 なので、m = 0 なら非零複素数 z がすべて解で、m ≠ 0 なら解はありません。どの候補についても元の分母は非零であり、商は実際に0に戻ります。0の偏角を使って判断する必要はありません。

要点

積は長さを掛け、偏角を足します。
商は分母が非零のとき、長さを割り、分子の偏角から分母の偏角を引きます。
零の偏角は定義されず、代表値は指定された範囲に直します。
掛け戻して長さと向きを元の条件に照らします。

途中式からつまずきを見分ける

商の角だけが逆符号なら、分母に掛けたとき角が分子へ戻るかを尋ねます。角は合うのに長さが違う場合は、絶対値を引き算していないか、分子と分母の比を逆にしていないかを確認します。個別指導では、式の横に分母と分子の向きを描き、候補に分母を掛ける操作を本人の言葉で説明してもらうと、符号の選び方を追えます。零を含む問題では、式が定義される条件と偏角が定義される条件を分けて書けるかを確かめます。積と商の計算は、長さと向きをそれぞれ元に戻して初めて完結します。

たとえば偏角の計算結果が 13π/6 の場合、2π を引けば π/6 です。両者は同じ向きなので、掛け戻す検算でどちらを使っても結果は変わりません。一方、π/6 と -π/6 は一般に異なる向きです。範囲を整える操作は向きを変えないことを基準に選びます。

また、商の絶対値が1と出た場合も、商が1とは限りません。長さが1で偏角が π なら商は -1 です。長さの情報と角の情報をそろえてから直交表示へ移すと、単位円上の別の点を取り違えずに済みます。