高校数学C 内分点と外分点—比と係数を対応させて重心まで求める｜武蔵野個別指導塾

端点の重みと外分の例外をたどり、重心へ進む出発点は内分点です。

よくあるのは、理系高3が線分の内分比を見て、その数字を両端の複素数の係数へ同じ順に並べる場面です。比が 1 : 3 なら、求める点は前の端に近いはずです。ところが前の端に小さい係数を付けると、計算結果は後ろの端に近づきます。式の形だけを覚える前に、点の位置と距離を対応させてみましょう。

要点（結論から）

• AP : PB = m : n の内分点は (na+mb)/(m+n) です。
• 外分点は m ≠ n のとき (mb-na)/(m-n) です。
• 外分比が等しければ、異なる2点の有限な外分点はありません。

どの情報から点を決めるか

内分・外分と重心では、与えられた情報の種類を先に見ます。次の3つの型に分けると、どの式から着手するかを選びやすくなります。

1. 両端と比が与えられ、点を求める型です。まず内分か外分かを読み、点が線分の内側と外側のどちらにあるかを決めます。式を作った後も距離の比に戻します。
2. 分点と一方の端が与えられ、もう一方の端を求める型です。内分点の式を未知の端について解きます。端の順と比の順を入れ替えず、結果を元の分点に戻して確かめます。
3. 三角形の頂点や中点から重心を求める型です。重心は頂点と向かいの辺の中点を結ぶ線分を 2 : 1 に内分します。三頂点の複素数の平均になる理由も、この内分からたどれます。

外分の問題では比が等しいかどうかが、計算に入る前の分かれ目です。等しいときは分母を0にした式に値を入れず、そもそも点が存在するかを考えます。線分の両端が一致するときも、通常の分点の比は定まりません。

比の順と係数の結び付き

異なる2点 A、B の表す複素数をそれぞれ a、b とします。正の数 m、n に対して、点 P が線分 AB を AP : PB = m : n に内分するとは、P が A と B の間にあり、この距離比を満たすことです。点 P の複素数を p とすると、A から B への移動のうち m/(m+n) だけ進むので、次のように表せます。

p = a + m/(m+n)・(b-a)
  = ((m+n)a + mb - ma)/(m+n)
  = (na + mb)/(m+n)

分母 m+n は正なので0ではありません。a の係数は A に接する AP の比 m ではなく、反対側の PB の比 n です。図1のように、AP が短いと P は A に近く、その分 a の重みが大きくなります。例えば m が n より小さければ、a の係数は b の係数より大きくなります。

図1では AP : PB = 1 : 3 です。A から B へ全体の 1/4 だけ進むので、P = (3a+b)/4 となります。比の数字を同じ順で並べた (a+3b)/4 は、逆に A から 3/4 進んだ点です。2つの点を区別するには、比を使う式と位置を両方確かめます。

P が直線 AB 上の線分の外にあり、AP : PB = m : n のとき外分点と呼びます。P の複素数は、m ≠ n を条件として次の式で与えられます。

p = a + m/(m-n)・(b-a)
  = ((m-n)a + mb - ma)/(m-n)
  = (mb-na)/(m-n)

この式を位置から確かめます。P = a+t(b-a) と書くと、AP と PB の長さはそれぞれ |t|・AB、|t-1|・AB です。m > n なら t = m/(m-n) > 1 なので P は B の外側にあり、距離の比は m : n です。m < n なら t < 0 なので P は A の外側にあり、やはり距離の比は m : n です。A と B が異なるため AB > 0 であり、距離を比べられます。

m = n では有限の外分点は存在しません。B の外側なら AP = AB + PB で AP > PB、A の外側なら PB = AP + AB で PB > AP となるためです。分母 m-n が0になることは、この図形上の事実と一致します。等距離となる直線上の点は中点ですが、中点は内分点です。

基本例題：内分点を式と距離で調べる

異なる点 A、B がそれぞれ a = 1 + i、b = 9 + 5i を表します。線分 AB を AP : PB = 1 : 3 に内分する点 P の複素数を、実部と虚部を分数または整数で表してください。

1 と 3 は正で、A と B は異なります。したがって内分の式を使えます。A に掛けるのは P から B までの比 3、B に掛けるのは A から P までの比 1 です。

p = (3a+b)/4
  = {3(1+i) + (9+5i)}/4
  = (3+3i+9+5i)/4
  = (12+8i)/4
  = 3+2i

図2のように A = (1, 1)、B = (9, 5)、P = (3, 2) です。横と縦の変化をともに4等分すると、A から P への変化は (2, 1)、P から B への変化は (6, 3) です。後者は前者の3倍なので、P は両端の間にあり、距離も AP : PB = 1 : 3 です。

図2の点を、計算でも元の場面に戻して確かめます。A からの差は p-a = 2+i、B までの差は b-p = 6+3i = 3(p-a) です。距離はそれぞれ √5、3√5 なので、問題文の比を満たします。p = 3+2i が直線上にあるだけでなく、線分の内側にあることも、正の倍率で確認できました。

逆に比を 3 : 1 にした場合、同じ A、B に対する点は 7+4i です。こちらは B に近い点なので、1 : 3 の答えとして混ぜないようにします。実部だけを見た確認では虚部の誤りを見落とすため、2つの成分を同時に点検してください。

標準例題：外分点の左右を判断する

点 A は a = 2-i、点 B は b = 5+2i を表します。直線 AB 上で AP : PB = 2 : 1 に外分する点 P の複素数を、実部と虚部を整数で求めてください。P がどちらの端の外側にあるかも答えます。

比が 2 : 1 なので、AP の方が長く、P は B の外側にあるはずです。2 ≠ 1 だから外分の分母も0ではありません。公式に当てはめて整理します。

p = (2b-a)/(2-1)
  = 2(5+2i) - (2-i)
  = 10+4i-2+i
  = 8+5i

求めた点を問題の条件に戻します。b-a = 3+3i であり、p-b = 3+3i = b-a です。つまり A、B、P の順に並び、BP = AB です。したがって AP = 2AB、PB = AB となり、距離の比は 2 : 1 です。答えは 8+5i、位置は B の外側です。

別の考え方では、B からさらに AB と同じだけ進めばよいので、p = b+(b-a) = 2b-a と求められます。この簡単な形は 2 : 1 のときの関係です。一般の比に無条件で使うと、外側に点を置けても指定された距離比から外れます。

AP : PB = 1 : 2 に変えると、P は A の外側に移ります。このときも文字の順は AP、PB の順のままなので、外分の式は (b-2a)/(1-2) です。比の大小で点の側を先に予想しておけば、分子の符号を取り違えた結果を見抜けます。

発展例題：重心から未知の頂点を戻す

三角形 ABC の頂点 A、B がそれぞれ a = -2+4i、b = 7+i を表します。重心 G が g = 3+2i を表すとき、頂点 C の複素数 c を整数の実部と虚部で求めてください。求めた後、3点が三角形を作ることも確かめます。

重心の式を使う前に、その根拠を確認します。辺 BC の中点を M、その複素数を u とすると、u = (b+c)/2 です。重心 G は線分 AM を AG : GM = 2 : 1 に内分するので、g は次のようになります。

g = (a+2u)/3
  = {a+2・(b+c)/2}/3
  = (a+b+c)/3

中点と内分の分母はそれぞれ 2、3 であり、0ではありません。頂点が3点とも与えられる問題なら最後の平均を直接計算できます。ここでは c が未知なので、同じ等式を c について解きます。

3g = a+b+c
c = 3g-a-b
  = 3(3+2i) - (-2+4i) - (7+i)
  = 9+6i+2-4i-7-i
  = 4+i

元の場面に戻すと、3頂点の和は (-2+4i)+(7+i)+(4+i) = 9+6i です。その3分の1は 3+2i となり、指定された重心と一致します。さらに B と C は虚部がともに 1 で実部が異なる一方、A の虚部は 4 です。したがって3点は一直線上になく、三角形を作ります。

中点 M は (7+i+4+i)/2 = 11/2+i です。g-a = 5-2i、u-g = 5/2-i なので g-a = 2(u-g) が成り立ちます。G は A と M の間にあり、AG : GM = 2 : 1 です。平均の等式だけでなく、頂点と中点の位置関係も問題に戻して確かめられます。

三角形が与えられるなら重心の平均は頂点の順を変えても同じです。一方、分点の式は AP : PB の順に依存します。重心の対称性を内分比にも持ち込むと、係数を逆に置く誤りにつながります。

誤答を位置から直す

基本例題で AP : PB = 1 : 3 を見て、p = (a+3b)/4 と書く誤答を考えます。数を代入すると (1+i+3(9+5i))/4 = 7+4i です。式の係数は合計が1ですが、それだけでは求める内分点かどうかは決まりません。図3には正しい点 P と誤った点 Q を並べます。

図3では誤った点 Q は B に近く、AQ : QB = 3 : 1 です。原因は、係数を「その点から近い側の距離の比」と結び付けたことです。実際には係数が大きい端に点が近づきます。P の式は A に反対側の比 3、B に反対側の比 1 を掛け、p = (3a+b)/4 と直します。

別の誤りは、外分でも内分と同じ分母 m+n を使うことです。正の係数を合計が1になるように付けた点は線分の内側にあります。外分点が必要なら、線分のどちら側にあるかを先に決め、m-n が0でないかを調べてから外分の式を使います。

等しい比で分母が0になった際に、計算機の表示だけで判断を終えるのも避けます。分母が0なので式が使えないことに加え、外側では一方の距離が必ず他方より AB だけ長い、と理由を言えると例外を見落としません。A と B が一致すれば AB = 0 となってこの議論も変わるので、最初に2点が異なることが必要です。

練習：5つの条件を読み分ける

各点の複素数は、実部と虚部を整数または分数で表してください。比は書かれた順に読み、図形上の条件も答えに含めます。

1. A が -3+2i、B が 7-3i を表します。AP : PB = 2 : 3 に内分する P を求めてください。
2. A が 1+3i、B が 4-i を表します。AP : PB = 3 : 2 に外分する P を求め、どちらの外側か答えてください。
3. A が -2+i、B が 4+5i を表します。AP : PB = 2 : 2 に外分する点の有無を、理由を添えて答えてください。
4. A が 2-i を表し、P が 5+3i を表します。P は AB を AP : PB = 3 : 1 に内分します。B の複素数を求めてください。
5. 三角形 ABC の A、B、C がそれぞれ -1+2i、5+4i、2-3i を表します。重心 G を求め、三角形が退化しないことと、頂点 A から中点への比を確かめてください。

練習の答えと確かめ方

1. 内分の係数を反対側に置く

2つの端は異なり、比の両方が正です。よって分母は 2+3 = 5 です。

p = (3a+2b)/5
  = {3(-3+2i)+2(7-3i)}/5
  = (-9+6i+14-6i)/5
  = 1

p-a = 4-2i、b-p = 6-3i = (3/2)(p-a) です。点 P は2点の間にあり、AP : PB = 2 : 3 となります。実軸上にあることは計算の結果であり、初めから虚部を0と決めたわけではありません。

2. 外側の点を求める

3 ≠ 2 なので外分の分母は1です。AP が PB より長いので、答えは B の外側にあるはずです。

p = (3b-2a)/(3-2)
  = 3(4-i)-2(1+3i)
  = 12-3i-2-6i
  = 10-9i

b-a = 3-4i、p-b = 6-8i = 2(b-a) です。よって A、B、P の順に並び、AP = 3AB、PB = 2AB となります。元の条件である 3 : 2 と一致します。

3. 分母が0になる条件

2点は異なり、求める比は 1 : 1 です。線分の外側にある点では、長い方の距離は短い方に AB を加えたものになるので、2つは等しくなりません。したがって外分点は存在しません。

中点は (a+b)/2 = 1+3i で、両端から等距離です。しかしこの点は線分の内側にあるため、外分点の答えにはできません。分母 2-2 = 0 の式を使わず、位置まで戻して判断します。

4. 端点を未知数として解く

内分比は AP : PB = 3 : 1 です。a の係数は 1、未知の b の係数は 3 になります。

p = (a+3b)/4
4p = a+3b
3b = 4p-a
b = (4p-a)/3
  = {4(5+3i)-(2-i)}/3
  = (18+13i)/3
  = 6+(13/3)i

p-a = 3+4i、b-p = 1+(4/3)i = (p-a)/3 です。したがって P は A と B の間にあり、距離比は 3 : 1 です。求めた b を内分の式に戻しても p = 5+3i になります。

5. 平均と中点で重心を照合する

g = (a+b+c)/3
  = {(-1+2i)+(5+4i)+(2-3i)}/3
  = (6+3i)/3
  = 2+i

B と C の中点 M は u = (7+i)/2 = 7/2+(1/2)i です。g-a = 3-i、u-g = 3/2-(1/2)i なので g-a = 2(u-g) です。G は線分 AM を 2 : 1 に内分し、重心の位置にあります。

3点が一直線にないことも確かめます。b-a = 6+2i、c-a = 3-5i です。実部の比が 3/6 = 1/2 なら虚部も 1 のはずですが、実際は -5 なので、2つの差は実数倍ではありません。3点は三角形を作り、求めた平均がその重心です。

要点を持ち帰る

• AP : PB = m : n の内分点は (na+mb)/(m+n) です。
• 外分点は m ≠ n のとき (mb-na)/(m-n) です。
• 外分比が等しければ、異なる2点の有限な外分点はありません。
• 重心は3頂点の複素数の平均で、各中線を頂点側から 2 : 1 に内分します。

どこで止まったかを見分ける

式を書く前に「点は A と B のどちらに近いか」を答えられなければ、まず線分に比を書き込みます。式は書けても値が図と合わなければ、a と b の係数を比の反対側と対応させます。分母が0になった場合は計算を続けず、外側の距離の差が AB になる事実に戻ります。

個別指導で確認するなら、求めた点から両端への差を実際に書き、指定の正の倍率で結ばれるか説明してもらいます。重心では中点を経由した内分式を再現し、平均と元の位置関係を照合します。比の数字を置く場所は、点がどちらへ近づくかで決まります。