高校数学C 点から平面への距離—法線方向に垂線の足を置いて公式を導く｜武蔵野個別指導塾

法線方向に垂足を置いて距離の公式を導き、平面の式を負の数倍しても足と距離が変わらない理由を確かめます。

よくあるのは、理系の高3が点の座標を平面の式に代入して負の値を得て、そのまま距離として書く場面です。平面のどちら側に点があるかを表す符号と、長さとしての距離は別のものです。足の座標を実際に求めると、絶対値が必要な理由も、分母が法線の長さになる理由も見えてきます。

ここでは、平面の方程式を使って垂線の足と距離を求めます。数学Cで座標とベクトルを平面から空間へ拡張することを前提に、内積と座標の計算で進めます。点から線分への距離や、曲面への距離は扱いません。

問いの形を見分ける

平面が座標の一次方程式で与えられ、点からの距離を求める形では、まず係数から法線を読み取ります。代入値の符号に関係なく、距離は0以上です。足の座標も求めるよう指定された場合は、距離の公式に代入するだけでは足りません。点を通り法線に平行な直線を平面に交わらせます。

別の形として、距離が指定されて点の座標に含まれる文字を決める問いがあります。この場合、平面の両側に候補があり、絶対値を外すときに正負の両方を調べます。距離が0なら候補が重なる場合もあります。さらに、同じ平面を表す式を負の数倍したとき、代入値の符号が変わっても足と距離は変わらないことを確かめられます。

足を平面の内側に置く条件

点 P(p, q, r) と平面 π: ax + by + cz + d = 0 を考えます。a, b, c がすべて0ではないとし、n = (a, b, c) を法線ベクトルとします。n は零ベクトルではなく、平面内のどの方向にも垂直です。平面上の点 H が垂線の足であるためには、H が平面上にあり、ベクトル PH が n の実数倍であることが必要です。逆にこの2条件があれば PH は平面に垂直なので、H は足です。P が平面上にあるときは H = P とします。

図1のように、平面内の別の点を Q とすると、ベクトル PH とベクトル HQ の内積は0です。したがって三平方の関係から PQ² = PH² + HQ² です。右辺は PH² 以上で、等号は Q = H のときに成立します。よって PH が最短距離です。図は立体を平面に投影した模式図で、紙面上の角度や長さを実際の値と同一視しません。

図1の H を具体的に求めましょう。H = P + t n と成分で表すと、H の座標は (p + ta, q + tb, r + tc) です。これを平面の式に代入します。途中で使う D = a² + b² + c² は n が非零なので正です。

a(p + ta) + b(q + tb) + c(r + tc) + d = 0
ap + bq + cr + d + t(a² + b² + c²) = 0
t = -(ap + bq + cr + d)/D

この t はただ1つに決まります。距離は |t| と n の長さの積ですから、次の式を得ます。

PH = |ap + bq + cr + d|/√(a² + b² + c²)

分子は点の座標を平面の左辺に代入した値の絶対値です。分母は法線の長さであり、左辺の値そのものを長さとみなすことはできません。P が平面上なら分子が0となり、距離も0です。平面の係数を0でない実数 k 倍すると、分子と分母はともに |k| 倍され、距離は変わりません。足の式でも t は 1/k 倍、法線は k 倍となるため、移動ベクトル t n は同じです。

なぜ法線方向で足が決まるか

平面上の1点を A とし、平面上の任意の点を X とします。法線の定義から、ベクトル AX と n の内積は0です。点 P を通る法線方向の直線が平面と H で交われば、ベクトル PH は n の実数倍なので、ベクトル HX との内積も0です。平面内には H を通る方向がいくつもありますが、そのいずれにも垂直であることが、この計算から確かめられます。

足の存在を確かめるには、先ほどの一次方程式の係数 D が正であることが必要です。D が正なら t が決まり、平面への代入も満たします。さらに同じ法線方向の直線上に別の足があると仮定しても、同じ一次方程式を満たす t は1つなので、2点は一致します。図だけから交点があるように見えることに頼らず、式によって存在と一意性を示せます。

距離の公式は便利ですが、足の座標が必要なら途中の t を捨てないことが肝心です。公式の分子だけでは移動の向きが失われます。絶対値を取る前の代入値を使えば、点から法線の向きに進むのか、逆向きに進むのかも決まります。距離が0の場合には移動量も0で、元の点がそのまま足です。

基本例題：足を求めてから長さを測る

点 P(2, 1, 3) から平面 x + 2y + 2z − 1 = 0 へ下ろした垂線の足 H の座標と距離を、整数または分数で求めてください。

法線 n = (1, 2, 2) は非零です。H = P + t n と置き、平面への所属から t を求めます。

H = (2 + t, 1 + 2t, 3 + 2t)
(2 + t) + 2(1 + 2t) + 2(3 + 2t) - 1 = 0
9 + 9t = 0
t = -1
H = (1, -1, 1)

図2のように、P から法線と逆向きに進むと H に届きます。ベクトル PH = (-1, -2, -2) は n の -1 倍です。したがって距離は √(1 + 4 + 4) = 3 です。

答えは H(1, -1, 1)、距離 3 です。元の条件に戻すと 1 + 2(-1) + 2(1) − 1 = 0 で、H は確かに平面上です。公式でも P の代入値は 9、法線の長さは 3 なので 9/3 = 3 です。足の所属と移動方向を別々に確かめると、計算途中で符号を取り違えても発見できます。

標準例題：両側の候補を残す

点 A(s, 2, -1) と平面 2x − y + 2z + 3 = 0 の距離が 2 です。実数 s の値とそれぞれの足の座標を、整数または分数で求めてください。

法線 n = (2, -1, 2) は非零で、長さは 3 です。A の代入値は 2s − 1 なので、距離の条件は次のようになります。

|2s - 1|/3 = 2
|2s - 1| = 6
2s - 1 = 6 または 2s - 1 = -6
s = 7/2 または s = -5/2

s = 7/2 のとき A = (7/2, 2, -1) で、代入値は 6 です。足を A + t n と置いて求めます。

6 + 9t = 0
t = -2/3
H = (7/2 - 4/3, 2 + 2/3, -1 - 4/3)
H = (13/6, 8/3, -7/3)

s = -5/2 のときは代入値が -6 です。同様に計算します。

-6 + 9t = 0
t = 2/3
H = (-5/2 + 4/3, 2 - 2/3, -1 + 4/3)
H = (-7/6, 4/3, 1/3)

それぞれの足を元の平面に代入すると、順に 13/3 − 8/3 − 14/3 + 3 = 0、-7/3 − 4/3 + 2/3 + 3 = 0 です。移動ベクトルはそれぞれ法線の -2/3 倍、2/3 倍で、長さはいずれも 2 です。負の代入値は平面の反対側にあることを示し、負の距離を意味しません。

発展例題：表し方を変えて足を照合する

点 B(1, -2, 4) から平面 2x + y − 2z + 5 = 0 への垂線の足と距離を、整数または分数で求めてください。また平面の式を -3 倍した場合に結果が同じになることを示してください。

法線 n = (2, 1, -2) は非零で、長さは 3 です。B の代入値は -3 ですから、足を B + t n とすると次の通りです。

-3 + 9t = 0
t = 1/3
H = (1 + 2/3, -2 + 1/3, 4 - 2/3)
H = (5/3, -5/3, 10/3)
BH = (1/3)・3 = 1

平面の式を -3 倍すると、法線は n′ = (-6, -3, 6)、B の代入値は 9 です。新しい媒介変数を u として、同じ手順を行います。

9 + 81u = 0
u = -1/9
u n′ = (2/3, 1/3, -2/3)
H = (5/3, -5/3, 10/3)
距離 = |9|/9 = 1

元の平面に H を代入すると 10/3 − 5/3 − 20/3 + 5 = 0 です。ベクトル BH は元の法線の 1/3 倍なので垂直の条件も満たします。係数を変えると媒介変数の値は変わりますが、媒介変数と法線の積は同じです。式の見た目に左右されず、実際の移動を比較することができます。

符号つきの値を距離にしたら

点 C(0, 0, 0) と平面 x + 2y + 2z − 6 = 0 を考えます。法線は (1, 2, 2) で長さは 3 です。誤答として、代入値 -6 を 3 で割り、距離を -2 とする計算があります。

図3のように、代入値が負の側にある点でも、平面までの線分の長さは正です。絶対値を取って距離を 2 と直します。足は C + t(1, 2, 2) と置けば求められます。

-6 + 9t = 0
t = 2/3
H = (2/3, 4/3, 4/3)
CH = (2/3)・3 = 2

足の座標を代入すると 2/3 + 8/3 + 8/3 − 6 = 0 です。反対向きの法線を選ぶと t の符号も逆になりますが、足は変わりません。分母が0になる式を平面として扱う誤りにも注意します。a = b = c = 0 なら、d = 0 のとき式は全空間、d ≠ 0 のとき満たす点がなく、いずれもここでいう平面ではありません。距離の公式には代入できません。

自分で手を動かす5問

答えは座標を整数または分数、距離を整数・分数または根号で表してください。各平面は直角座標で表されています。

1. 点 D(3, 0, 2) から平面 x + y + z − 2 = 0 への垂線の足と距離を求めてください。
2. 点 E(-1, 2, 1) から平面 2x − 2y + z + 2 = 0 への垂線の足と距離を求めてください。
3. 点 F(1, v, 0) と平面 x + 2y + 2z − 3 = 0 の距離が 2 となる実数 v をすべて求めてください。
4. 点 G(2, -1, 3) は平面 2x + y − z = 0 上にありますか。足と距離も求めてください。
5. 点 J(0, 1, -1) と、実数 h に対する平面 x − 2y + 2z + h = 0 の距離が 1 となる h をすべて求めてください。

解答と確かめ方

1. 法線は (1, 1, 1) で非零、D の代入値は 3 です。足を D + t(1, 1, 1) と置きます。

3 + 3t = 0
t = -1
H = (2, -1, 1)
DH = √3

2 − 1 + 1 − 2 = 0 なので H は平面上です。移動ベクトルは法線の -1 倍で、その長さは √3 です。公式による距離 3/√3 とも一致します。

2. 法線は (2, -2, 1) で非零、E の代入値は -3 です。

-3 + 9t = 0
t = 1/3
H = (-1/3, 4/3, 4/3)
EH = 1

足の代入値は -2/3 − 8/3 + 4/3 + 2 = 0 です。移動は法線の 1/3 倍であり、その長さは 3/3 = 1 です。負の代入値からでも距離は正になります。

3. 非零の法線 (1, 2, 2) の長さは 3 です。F の代入値は 2v − 2 となります。

|2v - 2|/3 = 2
2v - 2 = 6 または 2v - 2 = -6
v = 4 または v = -2

元の距離に戻すと、代入値は順に 6、-6 で、どちらも絶対値を 3 で割って 2 です。正負の2本を解くことで、平面の両側を調べています。

4. G の代入値は 4 − 1 − 3 = 0 です。したがって G は平面上にあり、足は G(2, -1, 3)、距離は 0 です。法線 (2, 1, -1) は非零なので平面は正しく定まっています。足と G が一致しても、距離0という結果は成り立ちます。

5. 法線 (1, -2, 2) は非零で長さは 3、J の代入値は h − 4 です。

|h - 4|/3 = 1
h - 4 = 3 または h - 4 = -3
h = 7 または h = 1

h = 7 なら代入値は 3、h = 1 なら -3 です。どちらも絶対値を法線の長さで割ると 1 となり、与えられた距離に戻ります。

手元に残す要点

足は平面上にあり、点から足への移動は非零の法線の実数倍です。
距離は代入値の絶対値を法線の長さで割ります。
平面の式を0でない数倍しても足と距離は変わりません。
絶対値を含む方程式では両側を調べ、元の条件に戻します。

つまずきの位置を確かめる

足を求めたのに平面の式が0にならなければ、媒介変数を代入する際の符号を追い直します。平面上にはあるのに移動が法線の実数倍でなければ、その点は垂線の足とは限りません。両方が成立した後、長さが負でないことを確認します。

個別指導で説明するときは、点から足への矢印と法線の向きを図に書き、足の所属式と実数倍の式を並べてみてください。距離が与えられた問いでは、平面の両側に候補を置き、代入値の符号と線分の長さを言葉で区別します。足の所属と垂直の2条件がそろえば、最短距離の根拠までつながります。