高校数学C 二平面の交線—連立条件を一つの媒介変数で正確に表す｜武蔵野個別指導塾

法線の比例と定数項を比較し、二平面の共通点を一つの実数で動かす表示によって、交線全体を取りこぼさずに表します。

よくあるのは、理系の高3が二平面の共通点を求める途中で座標を任意に固定し、交線上の点を落とす場面です。固定して見つかるのは、通常は共通点の1つです。交線全体を答えるには、その点から両平面の中を動く方向と、動ける範囲まで示す必要があります。

ここでは座標方程式で表された平面を扱い、法線の関係から交わり方を判定します。座標とベクトルを空間へ広げる数学Cの範囲で、内積と連立一次方程式を使います。投影図の見かけの角度や長さを、空間での角度や長さとは同一視しません。

何を答える問題か

第1の型は、数値の決まった二平面の交線を求める問題です。まず法線が比例しないことを調べ、次に連立式を解いて、点と方向を1つの実数で表します。答えの式が両平面に入ることに加え、両平面の共通点を取りこぼしていないことが必要です。

第2の型は、文字を含む平面の位置関係を分類する問題です。計算途中で文字を含む式で割ると、その式が0の場合を失います。先に0の場合を分け、交線、共有点なし、一致のそれぞれを調べます。

第3の型は、交線が指定された点を通る、または指定された方向を持つ条件を求める問題です。前者はその点を両方の式に代入し、後者は方向ベクトルが両法線と直交することを使います。その後、平面が一致していないかも確認します。

二つの法線から共通の方向へ

平面 ax + by + cz = d では、(a, b, c) が零ベクトルでないとき、このベクトルが法線です。平面上の2点の座標の差を式に代入すると、法線との内積は0です。逆に、平面上の点から法線と内積0の方向に動けば、方程式は保たれます。

図1のように、異なる方向の法線を持つ二平面は直線で交わります。共通の方向ベクトル v は零ベクトルでなく、両方の法線との内積が0です。図1の線は共通点を結ぶ線であり、法線そのものではありません。

法線が比例するときは別扱いです。方程式全体を同じ比にそろえて定数項まで一致すれば、二平面は一致します。左辺が一致して定数項が異なれば、同じ点が異なる値を同時にとることはないため、共有点はありません。どちらも「1本の交線」とは答えません。

法線が比例しなければ、2つの方程式の係数のうち、ある2変数についての連立式は一意に解けます。残る座標を実数 t と置けば、他の2座標は t の一次式になります。逆に共通点のその座標を t と置くと同じ連立式に戻るので、この表示は全共通点を含みます。t の範囲は実数全体です。

同じ交線の表示は1通りとは限りません。共通点を別の点に取り直しても、方向を非零の実数倍にしても、媒介変数を取り直せば同じ点の集合になります。見た目の座標を比べる前に、始点が相手の表示に入るか、方向が実数倍かを確認すると判定できます。

方向だけを求めるなら、v = (p, q, r) と置き、2つの法線との内積をそれぞれ0とする連立式を解きます。零解は方向を表さないので除きます。方向は非零の実数倍なら同じ直線を表し、求める点も交線上ならどれを使ってもかまいません。

基本例題：固定した点から動かす

2平面 x + y + z = 3、x − y + z = 1 の交線を、媒介変数を用いた座標の形で求めてください。媒介変数の範囲も示します。

法線は (1, 1, 1) と (1, -1, 1) です。第1成分の比は1ですが第2成分は一致しないため、比例せず交線があります。2式の差から y を先に求めます。

(x + y + z) - (x - y + z) = 3 - 1
2y = 2
y = 1
x + z = 2

z = t と置くと、次の表示を得ます。

x = 2 - t
y = 1
z = t
(x, y, z) = (2, 1, 0) + t(-1, 0, 1)　(tは実数)

図2のように、z = 0 と固定すれば P(2, 1, 0) が見つかります。しかし P は交線全体ではありません。方向 (-1, 0, 1) は零ベクトルでなく、2つの法線との内積がいずれも0なので、P からこの方向に動いても両平面上です。

逆に共通点は必ず y = 1、x + z = 2 を満たします。その z を t とすれば上の形になるので、表示に漏れはありません。代入すると両左辺はそれぞれ (2 − t) + 1 + t = 3、(2 − t) − 1 + t = 1 となり、任意の実数 t で元の条件を満たします。

標準例題：文字が0になる場合を先に分ける

実数 a に対し、2平面 x + y + z = 2、x + y + az = 4 の位置関係を分類し、交線がある場合はその座標表示を求めてください。

法線は (1, 1, 1)、(1, 1, a) です。第1成分が両方1なので、比例するための倍率は1に限られ、比例条件は a = 1 です。ここを分けてから連立します。

(x + y + az) - (x + y + z) = 4 - 2
(a - 1)z = 2

まず a = 1 なら、この式は 0 = 2 です。左辺が同じなのに定数が異なるため、2平面は平行で共有点がありません。一致でもありません。

a ≠ 1 なら法線は比例せず、a − 1 で割れます。x = t と置いて次のように解きます。

z = 2/(a - 1)
x + y = 2 - 2/(a - 1)
y = 2 - 2/(a - 1) - t
(x, y, z) = (0, 2 - 2/(a - 1), 2/(a - 1)) + t(1, -1, 0)

t は任意の実数です。方向 (1, -1, 0) は非零で、両法線との内積が0です。また z と x + y を元の2式に戻すと、それぞれ2と4になります。共通点は必ずこの z と x + y を持ち、x を t とすれば表せるので、逆向きも成立します。

この問題では a − 1 で最初から割ると、共有点のない場合を計算の外へ捨ててしまいます。分母が0になる値は、式変形の前に元の平面で調べることが必要です。

発展例題：方向の条件と一致の除外

実数 k に対し、平面 x + 2y − z = 3 と平面 2x + ky + z = 1 の交線が、方向ベクトル (1, -1, -1) に平行となる k を求め、その交線を座標表示してください。

指定された方向は非零です。交線の方向であるためには両法線との内積が0です。第1平面の法線については、指定方向が条件を満たすことを先に確かめます。

(1, 2, -1)・(1, -1, -1) = 1 - 2 + 1 = 0
(2, k, 1)・(1, -1, -1) = 2 - k - 1 = 1 - k
1 - k = 0
k = 1

k = 1 のとき法線 (1, 2, -1) と (2, 1, 1) は比例しません。したがって交線が存在し、指定方向はその方向です。共通点を1つ見つけるために、今度は z = 0 と固定します。

x + 2y = 3
2x + y = 1
3y = 5
y = 5/3
x = -1/3

よって求める交線は次の通りです。

(x, y, z) = (-1/3, 5/3, 0) + t(1, -1, -1)　(tは実数)

固定して得た点は、元の式で -1/3 + 10/3 = 3、-2/3 + 5/3 = 1 を満たします。方向の両内積も0なので、表示の各点は両平面に属します。逆に共通点を (x, y, z) とし t = -z と置けば、第1式と第2式の連立から x = -1/3 + t、y = 5/3 − t となり、漏れもありません。

方向に垂直という条件だけでは平面の一致を排除できません。この例では法線が比例しないことを別に確かめたため、共通部分が1本の直線だと結論できます。

誤答をほどく：1点と交線を混同しない

基本例題で z = 0 と置いた後、P(2, 1, 0) を「交線」と答える誤りを考えます。図3のように P は共通部分に属しますが、そこから方向 (-1, 0, 1) に動いた点も共通部分に残ります。

実際、t = 1 とすると (1, 1, 1) も2つの式を満たします。固定は1点を探すためには有効ですが、固定条件を元の問題に追加してしまうと他の点を失います。修正するには固定を解除し、非零の共通方向と実数全体の媒介変数を付けます。

もう1つの失敗は、2つの法線が比例する時点で「平行だから共有点なし」とすることです。定数項も同じ比なら平面は一致します。例えば x + 2y − z = 3 と 2x + 4y − 2z = 6 は同じ条件です。一方、後者の右辺が8なら左辺を半分にした式の右辺は4となり、共有点はありません。係数と定数を一緒に比較して修正します。

練習：5つの連立を分類する

各問の平面の法線は非零です。交線は点と非零方向ベクトルを用いる座標表示で、媒介変数の範囲も答えてください。点や方向の取り方が異なっても同じ直線なら正解です。

1. x + y = 4、y + z = 2 の交線を求めてください。
2. 2x − y + z = 5、4x − 2y + 2z = 10 の位置関係を答えてください。
3. x − 3y + 2z = 1、2x − 6y + 4z = 5 の位置関係を答えてください。
4. 実数 b に対し、x + z = 1、2x + bz = 3 の位置関係を分類し、交線がある場合はその表示を求めてください。
5. 2平面 x + y + 2z = 6、3x − y + z = 2 の交線について、方向の第3成分が4の方向ベクトルと、交線の表示を求めてください。

練習の解答と点検

1

法線 (1, 1, 0) と (0, 1, 1) は比例しません。y = t と置き、2式から順に解きます。

x = 4 - t
z = 2 - t
(x, y, z) = (4, 0, 2) + t(-1, 1, -1)　(tは実数)

元の左辺は (4 − t) + t = 4、t + (2 − t) = 2 です。逆に共通点の y を t と置けば同じ形が得られ、方向も非零です。

2

第2式は第1式を両辺とも2倍したものです。法線が比例し、定数項も同じ比なので、2平面は一致します。共通部分は平面全体であり、1本の交線ではありません。

3

第2式の左辺は第1式の左辺の2倍です。しかし第1式を満たす点ではその左辺は2となり、第2式が要求する5にはなりません。2平面は異なる平行な平面で、共有点はありません。

4

法線 (1, 0, 1) と (2, 0, b) は b = 2 のときに比例します。式の差をとると次の通りです。

(2x + bz) - 2(x + z) = 3 - 2
(b - 2)z = 1

b = 2 なら 0 = 1 となり、平行で共有点がありません。b ≠ 2 なら割ることができ、y = t と置きます。

z = 1/(b - 2)
x = 1 - 1/(b - 2)
(x, y, z) = (1 - 1/(b - 2), 0, 1/(b - 2)) + t(0, 1, 0)

t は任意の実数です。x + z = 1、2x + bz = 2 + (b − 2)/(b − 2) = 3 と戻せます。y には元の式で制限がないため、全共通点がこの表示に含まれます。

5

法線 (1, 1, 2) と (3, -1, 1) は比例しないので交線があります。求める方向を (p, q, 4) とすると、両法線との内積が0です。

p + q + 8 = 0
3p - q + 4 = 0
4p + 12 = 0
p = -3
q = -5

方向は (-3, -5, 4) です。共通点を探すため z = 0 とすると、x + y = 6、3x − y = 2 から x = 2、y = 4 です。したがって交線は次の通りです。

(x, y, z) = (2, 4, 0) + t(-3, -5, 4)　(tは実数)

点 (2, 4, 0) は元の左辺を6、2にし、方向の両法線との内積は0です。逆に共通点の z を 4t と置けば、残りの連立式から x = 2 − 3t、y = 4 − 5t が得られます。方向の第3成分も指定の4です。

手元に残す要点

• 法線が比例する場合は定数項も比べ、一致と共有点なしを分けます。
• 法線が比例しない場合、共通点と両法線に垂直な非零方向で交線を表せます。
• 1座標の固定は共通点を探す操作であり、交線全体を表す操作ではありません。
• 媒介変数を実数全体で動かし、代入と逆向きの確認で漏れを調べます。

つまずきを見分けるには

答えが点1個で止まったら、固定した条件を外して方向を探せるか確かめます。逆に方向だけが出たら、その直線がどこを通るのか、両式を満たす点を探します。文字を含む分母が現れたときは、0になる値を元の式に戻し、矛盾か一致かを判定します。

個別指導で確認するなら、共通点の代入、方向と2法線の内積、任意の共通点を媒介変数で表す説明を順に書きます。図では固定で得た点と動ける方向を指し分け、式では媒介変数の範囲まで読み上げます。1点の発見から全共通点の表示へ進むことで、交線を正確に捉えられます。