高校数学C 空間の直線の方程式—一点と方向から媒介変数で点を表す｜武蔵野個別指導塾

零成分を含む方向でも直線を媒介変数で表し、端点への代入から線分と半直線に必要な変数の範囲を決めます。

よくあるのは、理系の高3が線分を表す式を書いた後、パラメータの範囲を落とす場面です。両端の座標を式に入れるところまでは合っていても、実数全体を動かせば端点の外にも点が伸びます。式と範囲を組にして初めて、求めたい図形が決まります。

空間では点の位置を3成分で表します。数学Cで平面から空間へ拡張する座標とベクトルを使い、ここでは直線上の点と線分上の点を区別します。平面や球面との交わりは扱いません。

どの形を答えるか

直線の問題には、一点と方向が与えられて式を作る型、二点から方向を求める型、式で表した点が線分や半直線に属するかを調べる型があります。前の2つは同じ直線を異なる情報から作り、最後の型ではさらに動く範囲を指定します。座標の値を3つ書いて終えるのではなく、1つの実数で3成分が同時に動くことを表します。

目標は、方向が零でないかを最初に調べ、式を作り、端点や指定された点を式に戻すことです。方向を定数倍したり、基準点を同じ直線上の別の点に移したりしても、同じ直線を異なる式で表せます。ただし媒介変数の値や、その範囲は表示の仕方に応じて変わります。

一点と方向が決める動き

A(a, b, c)を通り、非零のベクトル d = (p, q, r) に平行な直線を考えます。dは方向ベクトルです。点P(x, y, z)がこの直線上にあることと、ある実数tを用いてベクトル AP = t d と書けることは同値です。原点Oを基準とする位置ベクトルで書くと、ベクトル OP = ベクトル OA + t d です。

成分ごとに見ると、次の3式を同じtで満たします。tを媒介変数と呼びます。

x = a + pt
y = b + qt
z = c + rt

t = 0ならPはA、t = 1ならAからdだけ進んだ点です。負のtでは逆向きに進みます。図1のように、tを実数全体で動かすと両側に延びる直線になります。3つの成分に別々の変数を使うと、それぞれの動きを連動させられません。

図1の矢印は方向を示し、tの正負は基準点からの向きを示します。投影した図の長さや角度を、空間での実際の長さや角度として読み取る必要はありません。

Aと異なる点Bが与えられたときは、d = ベクトル AB = B − A と置けます。P = A + t(B − A)という座標の略記を使えば、t = 0でA、t = 1でBです。0以上1以下なら両端を含む線分AB、tが0以上ならAを始点としてBの方向に延びる半直線です。0と1の間でtが増えると、AからBに向かって移ります。端点を含まない指定なら、不等号から等号を外します。

A = BではB − Aが零ベクトルとなり、方向を決められません。この式はどのtでも同じ点Aを表します。2点が一致するとき、線分は点Aですが、その2点を通る直線は1本に定まりません。方向ベクトルが零の場合も直線の表示としては使えない、と分けて考えます。

方向の一部が0であることは問題ありません。例えばp = 0ならx = aが常に成り立ち、残る成分が点を動かします。p、q、rのいずれかが0のとき、その成分で割る対称形はそのまま使えません。成分の式なら0で割らずに扱えます。

同じ点に2つの媒介変数が対応しないことも、方向が非零である理由です。実際にA + t d = A + u dなら、(t − u)d = 0です。dには0でない成分があるので、その成分を比較してt = uとわかります。したがって線分の外の値が、範囲内の別の値と同じ点を表すことはありません。方向が零ならこの議論は使えず、すべての値が基準点に重なります。

基本例題：端点を動きに戻す

A(1, 2, -1)、B(4, 0, 1)について、直線ABと線分ABを、1つの実数tを用いた成分表示で表してください。またt = 2の点が線分に属するか答えてください。

AとBは異なるので、方向ベクトルは非零です。終点から始点を引きます。

ベクトル AB = (4 - 1, 0 - 2, 1 - (-1))
             = (3, -2, 2)
P = A + t ベクトル AB
  = (1, 2, -1) + t(3, -2, 2)
  = (1 + 3t, 2 - 2t, -1 + 2t)

したがって直線ABはx = 1 + 3t、y = 2 − 2t、z = -1 + 2t、tは実数です。線分ABは同じ3式に0 ≦ t ≦ 1を添えます。図2のようにAからBへの移動量が方向ベクトルです。

図2のAとBに対応するtを代入すると、順に(1, 2, -1)、(4, 0, 1)に戻ります。t = 2ではP = (7, -2, 3)です。tは1より大きく、Bを越えた点なので線分に属しません。実際にAからの移動はベクトル ABの2倍です。

直線ならt = 2を除外しません。式自体は直線と線分で共通なので、範囲を答案の末尾に書き忘れないことが判定の決め手です。

標準例題：0成分と所属

C(2, -1, 3)を通り、d = (0, 2, -1)を方向とする直線について、点Q(2, 5, 0)とR(3, 5, 0)の所属を調べてください。所属する場合は対応するtも答えてください。

dには0でない成分があるので方向として使えます。P = C + t dと置くと、

x = 2
y = -1 + 2t
z = 3 - t

Qのy座標から5 = -1 + 2t、よってt = 3です。残りの成分にも同じ値を代入します。

x = 2
z = 3 - 3 = 0

Qの3成分と一致するので、Qは直線上にありt = 3です。一方、Rのx座標は3で、直線上の点が必ず満たすx = 2に反します。yとzがQと同じであっても、Rは直線上にありません。

ここでxの式を0で割ってtを求めようとしてはいけません。0成分は座標が固定されるという条件です。非零の成分から候補のtを出し、固定された成分を含む残りの成分を照合すれば、矛盾を見落としません。

発展例題：表示を変えたときの範囲

D(1, -2, 0)、E(5, 0, 2)を端点とする線分DEを、F(3, -1, 1)を基準点、ベクトル EDを方向として、実数sで表示してください。さらに点G(4, -1/2, 3/2)がその線分に属するか調べ、sを分数で答えてください。

DとEは異なり、ベクトル ED = (-4, -2, -2)は非零です。まずFが線分の中点であることを成分で確かめます。

(D + E)/2 = ((1 + 5)/2, (-2 + 0)/2, (0 + 2)/2)
          = (3, -1, 1)
          = F

Fを基準にすると、直線上の点Pは次の形です。

P = F + s ベクトル ED
  = (3 - 4s, -1 - 2s, 1 - 2s)

Dでは3 − 4s = 1からs = 1/2です。この値でy = -2、z = 0となり、Dの残りの成分にも一致します。Eでは3 − 4s = 5からs = -1/2で、y = 0、z = 2にも一致します。方向がEからDへ向くため、sはEで小さくDで大きくなります。求める線分は上の3成分に-1/2 ≦ s ≦ 1/2を添えたものです。

Gのx成分から4 = 3 − 4sなのでs = -1/4です。残りにも戻します。

y = -1 - 2(-1/4) = -1/2
z = 1 - 2(-1/4) = 3/2

全成分がGに一致し、-1/4は指定範囲内です。したがってGは線分DE上にあります。方向を逆に選んだ場合、端点の媒介変数の大小を実際に計算してから範囲を書くと符号を取り違えません。

直線の同一性を比べる場合も、一点が相手の直線上にあり、非零の方向ベクトルが実数倍になっているかを調べられます。基準点が違うという理由だけでは別の直線とはいえません。逆に方向が平行でも、基準点が相手の直線上になければ一致しません。

誤答をほどく：式と範囲は一組

基本例題の線分ABに対し、P = (1 + 3t, 2 − 2t, -1 + 2t)、tは実数と答えたとします。2端点を通る式としては正しいものの、線分の答えとしては過不足があります。図3のようにt = -1ではAの外側、t = 2ではBの外側の点も含みます。

図3で端点に対応するのは0と1です。修正は式に0 ≦ t ≦ 1を付けることです。例えばt = -1では(-2, 4, -3)となり、AからBと逆向きに進んでいます。t = 2では基本例題で調べた点に達します。どちらも直線上ですが線分の外です。

また、Bを始点にして方向をベクトル BAに変えたのに、元のtの値をそのまま使う誤りもあります。新しい変数uならP = B + u(A − B)であり、Aからの表示とはu = 1 − tの関係です。両端を代入し直せば、この表示でも線分の範囲が0 ≦ u ≦ 1と確認できます。基準点や方向を変えたら、数字の範囲を暗記せず端点と向きから決め直します。

練習問題

各問で座標は整数または分数で答え、媒介変数は実数とします。表示を求める場合は成分の式と範囲を書いてください。

1. A(0, 1, 2)を通り、方向(2, -1, 3)をもつ直線をtで表し、t = -1の点を求めてください。
2. B(-1, 2, 0)、C(3, 2, 4)を結ぶ線分を、Bを基準としてtで表してください。点(1, 2, 2)が線分に属するかも調べてください。
3. D(2, 0, -1)を始点とし、E(1, 3, 1)の方向へ延びる半直線をtで表してください。点(3, -3, -3)の所属も答えてください。
4. F(1, 4, 2)を通り方向(0, -2, 1)をもつ直線に、G(1, 0, 4)とH(1, 0, 5)がそれぞれ属するか調べてください。属する点についてはtも答えてください。
5. K(2, 1, -2)、L(2, 1, -2)の2点について、KとLを通る直線が1本に定まるか、線分KLがどのような集合か答えてください。

解答と解き方

1. 方向(2, -1, 3)は非零です。P = A + t(2, -1, 3)から、x = 2t、y = 1 − t、z = 2 + 3t、tは実数です。t = -1を戻すとP = (-2, 2, -1)です。この点からAへの差を調べると、Aからの移動は方向の-1倍となり、与えられた直線上にあります。

2. ベクトル BC = (4, 0, 4)は非零なので、x = -1 + 4t、y = 2、z = 4t、0 ≦ t ≦ 1です。x = 1からt = 1/2を得て、y = 2、z = 2にも一致します。範囲内なので点(1, 2, 2)は線分上です。t = 0と1を代入するとそれぞれBとCに戻ります。

3. ベクトル DE = (-1, 3, 2)は非零です。x = 2 − t、y = 3t、z = -1 + 2t、t ≧ 0と表せます。点(3, -3, -3)のx成分からt = -1であり、残る成分にも一致します。しかし負の値なので直線上にはあっても半直線上にはありません。t = 0で始点D、t = 1でEになることも確かめます。

4. x = 1、y = 4 − 2t、z = 2 + tです。Gのy成分からt = 2で、x = 1、z = 4も一致するのでGは所属します。Hもy成分からt = 2ですが、そのときz = 4であり5ではありません。したがってHは所属しません。xの係数は0なので割らず、固定条件として用います。

5. KとLは一致し、ベクトル KLは零ベクトルです。方向を定める情報がないので、その点を通る直線は1本に定まりません。線分KLは点(2, 1, -2)からなる集合です。実際にK + t(L − K)はどのtでもKに戻り、点以外を生みません。

手元に残す要点

• 基準点と非零の方向を選び、同じ媒介変数で3成分を表します。
• 直線は実数全体、二点表示の線分は0以上1以下です。
• 半直線は始点と方向を決め、その向きに応じて範囲を書きます。
• 所属は候補の値を全成分と範囲に戻して判定します。
• 零方向では直線を定められず、0成分では割りません。

つまずきを見分ける

個別指導で確認するなら、まず答案の式に端点を代入し、その後で媒介変数を範囲の外に1つ選んで点がどこへ動くか説明してみます。端点に戻れない場合は方向の引き算、端点の外を除けない場合は範囲を見直します。0成分があるときは固定された座標に印を付け、他の成分から得た値を戻します。

図に基準点と矢印を描き、式の正の向きが図と一致するかも確かめます。点が同じときには矢印が作れないことまで言葉にすると、線分と直線の違いが明確になります。媒介変数の範囲は、点の動きを式に閉じ込める条件です。