高校数学C 四点が同一平面上にある条件—二方向の実数倍で残る点を表す｜武蔵野個別指導塾

基準三点が共線になる場合を分け、非共線の三点への選び直しと三成分の連立によって四点の平面への所属を判定します。

よくあるのは、四点のうち最初に選んだ三点が一直線上にあるのに、その三点で平面を決めたつもりで計算を続ける場面です。空間では、一本の直線を含む平面は何枚もあります。そこで必要なのは、式を立てる前に、基準となる三点が一直線上にないことを確かめる手順です。

四点が同一平面上にあるとは、四点のすべてを含む平面が少なくとも1つ存在することです。平面がただ1つに決まる場合に限りません。数学Cで扱う空間の座標とベクトルを使い、この意味から判定を組み立てます。

どのような問いに使うか

1つ目は、四点の座標が与えられ、同一平面上にあるかを判定する問いです。まず非共線の三点を選び、残る点へのベクトルを二方向の実数倍の和で表せるか調べます。三成分の連立が矛盾すれば、残る点はその平面の外にあります。

2つ目は、点の座標に文字があり、同一平面上にあるための値を求める問いです。二成分から係数を求めたら、残る成分に代入します。文字の値によって基準三点が共線になる設定では、先にその値を分けて調べます。

3つ目は、最初の三点が共線で、平面の存在を直接考える問いです。残る点がその直線の外なら、直線と外の一点を含む平面が1つ決まります。残る点も直線上なら、その直線を含む平面はいくつもあります。どちらも四点を含む平面は存在します。

二方向が平面を作る条件

点A、B、Cが一直線上にないとします。a = ベクトル AB、b = ベクトル ACとおくと、aとbはどちらも零ベクトルではなく、一方は他方の実数倍ではありません。このような二方向を独立と呼びます。Aを始点にしてaをs倍、bをt倍して進んだ点Pは、実数s、tによって次のように表されます。

ベクトル AP = s a + t b

図1のように、二方向を組み合わせた終点は、A、B、Cを通る平面上にあります。逆に、その平面上のどの点も、平面内の独立な二方向を使ってこの形に表せます。したがって、基準三点が非共線なら、Dがその平面にあることと、ベクトル AD = s a + t bを満たす実数s、tが存在することは同値です。

図1ではAからBへの方向とAからCへの方向を使います。sやtは負でも1より大きくてもかまいません。判定しているのは三角形の内部ではなく、それを含む平面全体だからです。図の見かけの長さや角度は空間内の実際の値を表すものではありません。

座標で調べるときは、まず始点Aをそろえます。B、C、Dの座標からAの座標をそれぞれ引き、3つのベクトルを作ります。3成分を比較すると、未知数s、tに対して3本の式が得られます。最初の2本を満たしても、3本目で不一致になることがあります。どの2本を先に使ってもよいのですが、最後には3本とも確かめます。

非共線性も成分から調べられます。例えばa = (1, 2, 0)、b = (2, 4, 1)なら、bがaの実数倍だと仮定すると第3成分で1 = 0となり矛盾します。したがって独立です。一方、b = (2, 4, 0)ならb = 2aなので独立ではありません。0成分で割って比を作る方法は使えないため、実数倍になるかを成分の等式で調べると安全です。

A、B、Cが共線のとき、二方向の組合せはその直線上の点しか表しません。Dがその式で表せないことから、四点が同一平面上にないとは言えません。Dが直線の外なら、A、B、Dなど、実際に非共線となる三点を選び直します。なお、点が重なるときも同様です。異なる二点が存在すればその直線を使い、4点が同じ点ならその点を含む平面を取れます。

基本例題：最後の成分まで照合する

A(0, 0, 0)、B(2, 0, 0)、C(0, 3, 0)、D(1, 2, 0)について、四点が同一平面上にあるか判定し、成立する場合はベクトル ADをベクトル AB、ベクトル ACで表してください。

まずベクトル AB = (2, 0, 0)、ベクトル AC = (0, 3, 0)です。前者の実数倍の第2成分は常に0ですが、後者の第2成分は3です。したがって二方向は独立で、A、B、Cは非共線です。図2のように、この三点で平面を決めてからDの所属を調べます。

ベクトル AD = (1, 2, 0)なので、実数s、tを用いて次を解きます。

(1, 2, 0) = s(2, 0, 0) + t(0, 3, 0)
1 = 2s
2 = 3t
0 = 0
s = 1/2
 t = 2/3

この値を元のベクトルに戻すと、(1/2)(2, 0, 0) + (2/3)(0, 3, 0) = (1, 2, 0)です。3成分がDへのベクトルと一致します。よって四点は同一平面上にあり、答えはベクトル AD = (1/2)ベクトル AB + (2/3)ベクトル ACです。

図2でDは三角形ABCの辺BCより外側ですが、それでも平面上にあります。実際、係数の和は7/6です。三角形の中に見えるかどうかを平面の判定に持ち込まず、実数の係数で表せるかを確認します。

標準例題：文字の値を決める

A(1, 0, 1)、B(2, 1, 1)、C(1, 1, 2)、D(3, 3, k)が同一平面上にあるように、実数kを求めてください。答えは整数で表します。

Aを基準とすると、3本のベクトルは次のとおりです。

ベクトル AB = (1, 1, 0)
ベクトル AC = (0, 1, 1)
ベクトル AD = (2, 3, k - 1)

ABの実数倍の第1成分が0ならその倍率は0ですが、ACは零ベクトルではありません。よってABとACは独立で、基準三点は非共線です。AD = s AB + t ACとなる実数s、tがある条件を成分ごとに並べます。

2 = s
3 = s + t
k - 1 = t
s = 2
 t = 1
k - 1 = 1
k = 2

必要性だけで終わらず、k = 2を戻して十分性を調べます。Dは(3, 3, 2)となり、AD = (2, 3, 1) = 2(1, 1, 0) + (0, 1, 1)です。DはABCの平面上にあり、求める値はk = 2です。例えばk = 3なら第3成分が2となり、先の2成分で定まるs = 2、t = 1と両立しません。

この問題では基準三点にkが含まれないので、非共線性を一度確認すれば全てのkで使えます。未知の文字を含む二方向を選ぶ場合には、その方向が平行になる値を最初に分離する必要があります。係数を求める途中で文字を含む式を割るときも、その式が0になる場合を除外したままにしないでください。

発展例題：基準が崩れる値を分ける

A(0, 0, 0)、B(1, 0, 0)、C(2, u, 0)、D(0, 1, u)が同一平面上にあるような実数uをすべて求めてください。

まずAB = (1, 0, 0)、AC = (2, u, 0)です。uが0でないとき、ACの第2成分は0でない一方、ABの実数倍の第2成分は常に0です。よって二方向は独立です。AD = (0, 1, u)をs AB + t ACとおいて成分を比較します。

0 = s + 2t
1 = ut
u = 0

最後の式はuが0でないという場合の条件と矛盾します。したがってuが0でないとき、同一平面上にはありません。ここで1 = utからt = 1/uと求めてもよいのですが、0でないことの確認が先です。

次にu = 0を直接調べます。C = (2, 0, 0)、D = (0, 1, 0)なので、A、B、Cは共線ですが、Dはその直線の外です。非共線のA、B、Dが定める平面を選び直すと、AC = 2 AB + 0 ADです。残るCもこの平面上にあります。よって答えはu = 0です。

答えを元の座標に戻すと、4点の第3成分はすべて0で、実際に同じ座標平面上にあります。基準三点が共線になる値を式から捨てていたら、この答えを落とします。逆に、共線だから必ず平面が決まると早合点せず、どの三点で平面を決めたかを明示することが大切です。

誤答を直す：直線しか表していない

A(0, 0, 0)、B(1, 0, 0)、C(2, 0, 0)、D(0, 1, 0)を考えます。誤った主張は「AD = s AB + t ACを満たすs、tがないので、四点は同一平面上にない」です。右辺の第2成分は常に0で、左辺の第2成分は1です。式に解がないという計算自体は正しいものの、そこからの結論が誤りです。

図3のように、ABとACは同じ直線方向です。この2つの実数倍の和が届くのは直線上であり、平面全体ではありません。四点の平面を調べるための二方向という前提が満たされていません。

修正するときはA、B、Dを基準にします。AB = (1, 0, 0)、AD = (0, 1, 0)は実数倍の関係にありません。残るAC = 2 AB + 0 ADなので、Cもこの平面上です。したがって四点は同一平面上にあります。

さらにDも直線AB上だった場合、非共線の三点を選ぶことはできません。それでも四点を含む平面は存在します。直線を含む平面を1つ取ればよく、一意に決まらないことと存在しないことは別です。4点がすべて同じ点という場合も、その点を含む平面を取ることで判定できます。

練習：基準を選んで判定する

次の5問はそれぞれ独立です。判定問題では理由となるベクトルの式、または矛盾も示してください。文字の値は整数または分数で答えてください。

1. A(0, 0, 0)、B(3, 0, 0)、C(0, 2, 0)、D(2, 1, 0)は同一平面上にありますか。ADをABとACで表してください。
2. A(1, 1, 0)、B(2, 1, 1)、C(1, 2, 1)、D(3, 4, 6)は同一平面上にありますか。
3. A(0, 1, 0)、B(1, 1, 1)、C(0, 2, 1)、D(2, 4, k)が同一平面上にあるようにkを求めてください。
4. A(1, 0, 0)、B(3, 0, 0)、C(5, 0, 0)、D(0, 2, 1)は同一平面上にありますか。基準を選び直して説明してください。
5. A(0, 0, 0)、B(1, 0, 0)、C(3, v, 0)、D(0, 2, v)が同一平面上にある実数vをすべて求めてください。

練習の解答と解き方

1の解答

AB = (3, 0, 0)、AC = (0, 2, 0)は互いに実数倍ではありません。AD = (2, 1, 0)として成分を比較します。

2 = 3s
1 = 2t
0 = 0
s = 2/3
 t = 1/2

AD = (2/3)AB + (1/2)ACなので、四点は同一平面上です。右辺を計算すると(2, 1, 0)に戻り、Dの全成分に一致します。係数の和が1を超えても平面への所属には影響しません。

2の解答

AB = (1, 0, 1)、AC = (0, 1, 1)は独立です。AD = (2, 3, 6)とs AB + t ACを比較します。

2 = s
3 = t
6 = s + t
6 = 5

最後に矛盾するため、四点は同一平面上にありません。実際、最初の2成分から作る点へのベクトルは(2, 3, 5)であり、Dへのベクトルとは第3成分が違います。基準三点が非共線なので、この不一致から判定できます。

3の解答

AB = (1, 0, 1)、AC = (0, 1, 1)は独立で、AD = (2, 3, k)です。成分を比べると次のようになります。

2 = s
3 = t
k = s + t
k = 5

k = 5のとき2 AB + 3 AC = (2, 3, 5) = ADです。Aにこのベクトルを加えると(2, 4, 5)となり、問題のDに戻ります。したがって求める値は5です。

4の解答

A、B、Cは第2、第3成分が0で、同じ直線上にあります。AD = (-1, 2, 1)はAB = (2, 0, 0)の実数倍でないため、A、B、Dは非共線です。

AC = (4, 0, 0)
AC = 2 AB + 0 AD

Cは平面ABD上にあり、四点は同一平面上です。A + 2 AB = (5, 0, 0)となり、元のCに戻ります。最初の三点が共線であることは、同一平面上にない理由にはなりません。

5の解答

vが0でないとき、AB = (1, 0, 0)とAC = (3, v, 0)は独立です。AD = (0, 2, v)について成分を比較すると次の式が必要です。

0 = s + 3t
2 = vt
v = 0

最後の式はvが0でないという条件に反します。v = 0ではA、B、Cが共線ですが、D = (0, 2, 0)は直線ABの外です。A、B、Dは非共線で、AC = 3 AB + 0 ADですから、四点は同一平面上です。元の座標でも4点の第3成分が0と確かめられます。答えはv = 0です。

要点を手元に残す

非共線の三点を先に選び、二方向が実数倍の関係でないことを確かめます。 残る点へのベクトルを二方向の和で表し、3成分すべてを照合します。 基準三点が共線なら、基準を選び直すか、四点を含む平面の存在を直接調べます。

手が止まったときの確認

式が合わないときは、最初に3本のベクトルの始点がそろっているかを見直します。次に、基準の二方向が平行でない理由を、0成分を含む等式で説明できるか試してください。最後の成分で矛盾が出た場合は、先に得た係数を使って作られる点と、問題の点の座標を並べると違いが見えます。

個別指導で確認するときも、図に基準の三点を記し、平面を決める二方向を声に出して説明するところから始められます。共線なら別の三点を探し、探せない場合は直線を含む平面を考えます。四点の配置を見て、式の使える条件を選び取る力が判定を支えます。