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高校数学C 同一平面上と係数の和—位置ベクトルの係数の条件を導く｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 空間ベクトルを掘り下げる

四面体の対面上にある点を表し、原点を移したときの条件の変化から係数の和を追います。

よくあるのは、理系の高3が平面上の点を3つの位置ベクトルで表すとき、どの点を原点にしても係数の和は必ず1だと考える場面です。実際には、その表示に何を基準として使ったかが決め手になります。原点が平面から離れているときと、平面上にあるときとでは、同じ係数の和でも意味が変わります。

数学Cでは座標とベクトルを平面から空間へ広げます。ここでは非退化四面体の対面を中心に、係数の和と原点変更を扱います。内積による距離や球面の計算には立ち入りません。

どの条件を判定するか

問題の出方は主に3つあります。1つ目は、四面体の頂点を基準にした表示から、点が対面の平面上にあるかを判定する型です。3つの係数の和を計算する前に、4頂点が同一平面上にないことを確かめます。

2つ目は、辺上の点や直線上の点を2通りに表し、平面との交点を求める型です。直線上の媒介変数を係数の和に代入すると一次方程式になります。ただし、その係数が0なら割らずに、直線全体が平面上にあるか、交点がないかを調べます。

3つ目は原点を移して同じ点を表し直す型です。3頂点だけの係数の和が1である表示は、平面上の任意の原点について保たれます。一方、和が1でない表示は、原点移動による余分な項が消えません。式の形を暗記するより、この差を計算で追えることを目標にします。

和1が生まれる位置

四面体 OABC が非退化、つまり O, A, B, C が同一平面上にないとします。a, b, c をそれぞれベクトル OA, OB, OC とします。これら3本は一次独立です。すなわち xa + yb + zc が零ベクトルなら x = y = z = 0 です。したがって同じベクトルの2つの表示では、それぞれの係数が等しくなります。

A, B, C は一直線上にありません。もし一直線上にあれば、直線と点 O を含む平面に4点が入るからです。よって平面 ABC 上の点 P は、実数 s, t を用いて次のように表せます。

ベクトル AP = s・ベクトル AB + t・ベクトル AC
ベクトル OP = a + s(b - a) + t(c - a)
             = (1 - s - t)a + sb + tc

3つの係数の和は (1 − s − t) + s + t = 1 です。逆に、ベクトル OP = xa + yb + zc で x + y + z = 1 なら、x = 1 − y − z と直せます。するとベクトル AP = y・ベクトル AB + z・ベクトル AC なので P は平面 ABC 上です。両方向が成立するため、非退化四面体を基準としたこの表示では「平面上」と「係数の和が1」は同値です。

図1のように、係数は三角形の内部に限らず平面全体を表します。負の係数があっても和が1なら平面上です。図は位置関係を示す投影であり、図の長さや角度を空間内の実際の値として読み取るものではありません。

図1では O を基準に3頂点への方向を使っています。非退化という条件は、係数の表示を一意にするために必要です。平面上の3点が一直線上にあると、そもそもその3点だけでは平面が1つに定まりません。

原点を別の点 Q に移すとどうなるでしょうか。ベクトル QO を q とし、元の表示を OP = x・OA + y・OB + z・OC とします。各位置ベクトルを Q からのものに直すと次の式です。

ベクトル QP = q + ベクトル OP
             = x・ベクトル QA + y・ベクトル QB + z・ベクトル QC
               + (1 - x - y - z)q

和が1なら最後の項が消えます。したがって平面上の点の和1の表示は、Q の位置によらず同じ係数で成り立ちます。ただし逆向きには注意が必要です。Q が平面 ABC 上にあると、QA, QB, QC は同一平面にあり、係数の表示は一般に一意ではありません。和1以外の表示もあり得るので、任意の表示の和から所属を判定することはできません。

基本例題：対面上かを調べる

非退化四面体 OABC で、a = ベクトル OA、b = ベクトル OB、c = ベクトル OC とします。点 P, R が次で定まるとき、それぞれが平面 ABC 上にあるか答えてください。

ベクトル OP = (1/2)a + (3/4)b - (1/4)c
ベクトル OR = (1/2)a + (3/4)b + (1/4)c

まず非退化という条件から a, b, c は一次独立で、先ほどの同値条件を使えます。P の係数の和を計算します。

1/2 + 3/4 - 1/4 = 1

したがって P は平面 ABC 上です。実際に、基準を A に移して確かめると次のようになります。

ベクトル AP = ベクトル OP - a
             = -(1/2)a + (3/4)b - (1/4)c
             = (3/4)・ベクトル AB - (1/4)・ベクトル AC

AB と AC の実数倍の和になりました。負の係数があるので三角形の内部とは限りませんが、平面上であることは変わりません。図2のように P を辺 AB のある側から AC と反対側へ延ばした位置に取れます。

次に R の和は次の値です。

1/2 + 3/4 + 1/4 = 3/2

1ではないので R は平面 ABC 上にありません。図2の平面から離れた点として考えられます。別の確認として、もし R が平面上なら AR を AB と AC の和で表せますが、その場合 a, b, c の係数の和は1になるため、今の和 3/2 と矛盾します。独立性があるので別の係数の組へ勝手に置き換えることもできません。

標準例題：直線と対面の交点

非退化四面体 OABC で a, b, c を O からの各頂点へのベクトルとします。点 D, E を次で定めます。直線 DE と平面 ABC の交点 X について、ベクトル OX を a, b, c で表し、係数を分数で答えてください。

ベクトル OD = 2a + b
ベクトル OE = b + 2c

D と E は異なります。等しいとすると独立性から a の係数 2 と 0 が等しくなるからです。直線上の点 X を実数 t を使って表します。

ベクトル OX = ベクトル OD + t・ベクトル DE
             = (1 - t)(2a + b) + t(b + 2c)
             = (2 - 2t)a + b + 2tc

係数の和が1となる条件を解きます。

(2 - 2t) + 1 + 2t = 1
3 = 1

これは成り立ちません。実は D と E の係数の和はどちらも3なので、直線上では和がずっと3です。したがって交点 X は存在しません。問題が交点の表示を求める形でも、存在を先に調べる必要があります。D, E は平面上にない一方、方向ベクトルの係数の和が0なので、直線 DE は平面 ABC と平行です。答えは「交点なし」です。

この場合に 0 で割って t を求めることはできません。一般に D の係数和を u、E の係数和を v とすると、直線上の和は u + t(v − u) です。v − u が0でなければ t = (1 − u)/(v − u) で交点が1つあります。v − u が0で u = 1 なら直線全体が平面上、u が1でなければ交点なしです。分母を作る前にこの3通りを分けると、存在しない点を答えにする失敗を防げます。

発展例題：原点を移した表示を使う

非退化四面体 OABC で a, b, c を O からの位置ベクトルとします。点 Q, P は次のように定められています。直線 QP と平面 ABC の交点 X のベクトル OX を、a, b, c の係数を分数として求めてください。

ベクトル OQ = (1/2)a + (1/2)b
ベクトル OP = 2a - b + 2c

Q の係数の和は1なので Q は平面 ABC 上です。P の係数の和は3なので P は平面上にありません。特に P と Q は異なり、直線 QP は定まります。Q 自身が交点ですが、原点を移した式でも確かめます。

ベクトル QP = ベクトル OP - ベクトル OQ
             = (3/2)a - (3/2)b + 2c

直線上の点 Y をベクトル QY = t・ベクトル QP とします。O からの表示に戻すと次の通りです。

ベクトル OY = ベクトル OQ + t・ベクトル QP
             = (1/2 + 3t/2)a + (1/2 - 3t/2)b + 2tc

係数の和を1とおきます。

1/2 + 3t/2 + 1/2 - 3t/2 + 2t = 1
1 + 2t = 1
t = 0

よって X = Q で、求める表示は次の通りです。

ベクトル OX = (1/2)a + (1/2)b + 0c

元の条件に戻すと X は直線上で t = 0 に対応し、係数の和も1です。また t の係数が2で0ではないので、ほかに交点はありません。Q を原点にすると平面は Q を通りますが、QA, QB, QC による表示の任意の係数和を判定条件にしてはいけません。上の計算は非退化四面体の頂点 O に戻してから和を調べています。

誤答をほどく：平面上の原点

図3のように A, B, C が一直線上になく、Q が線分 AB の中点であるとします。P を A とします。Q を原点にしたとき、ベクトル QA と QB は逆向きで同じ長さなので、QA + QB は零ベクトルです。

誤答は「QP = 2QA + QB で係数の和が3だから、P は平面 ABC 上にない」というものです。P は A そのものなので明らかに平面上です。式自体は正しくても、係数和1の必要性を適用した根拠がありません。

ベクトル QP = ベクトル QA
             = 2・ベクトル QA + ベクトル QB + 0・ベクトル QC

後者の係数和は3です。一方、1・QA + 0・QB + 0・QC なら和は1です。同じ点に異なる係数の組がある原因は、QA と QB が独立でないことです。平面上の3本のベクトルから和を判定する場合、表示の一意性を省略できません。

修正すると、和が1の表示が見つかれば、原点 Q がどこであっても P が平面 ABC 上だと示せます。逆に、和が1でない表示が見つかっただけでは平面外とはいえません。平面外の原点 O を選び、OABC が非退化であることを確認したうえで一意な表示の和を調べます。あるいは A を基準に AP が AB と AC の実数倍の和になるかを直接調べます。

練習：まず条件を置いてから計算する

以下の問題はすべて自作です。1〜4では OABC を非退化四面体とし、a, b, c をそれぞれベクトル OA, OB, OC とします。分数は既約分数で答えてください。

ベクトル OP = (2/5)a − (1/5)b + (4/5)c のとき、P が平面 ABC 上にあるか判定してください。
ベクトル OD = 2a + 2b、ベクトル OE = b + c です。直線 DE と平面 ABC の交点 X のベクトル OX を求めてください。
ベクトル OU = 2a − b、ベクトル OV = -a + 2b です。直線 UV と平面 ABC の共通部分を答えてください。
ベクトル OT = 3a + kb − c です。T が平面 ABC 上にあるような実数 k を求めてください。
A, B, C は一直線上になく、Q は線分 AC の中点です。P = C とします。ベクトル QP を QA, QB, QC の実数倍の和として、係数の和が1でない形を1つ示してください。

練習の解答と解き方

1. 負の係数と平面

非退化の条件から係数表示は一意です。係数の和は次のように1です。

2/5 - 1/5 + 4/5 = 1

よって P は平面 ABC 上です。元の点の条件に戻し、A からのベクトルを調べます。

ベクトル AP = -(3/5)a - (1/5)b + (4/5)c
             = -(1/5)・ベクトル AB + (4/5)・ベクトル AC

2方向の実数倍で表せました。b の係数が負でも平面への所属には支障がありません。

2. 係数和が変わる直線

D と E の表示は異なり、独立性から異なる点です。直線上の X を D から E へ向かう係数 t で表します。

ベクトル OX = (1 - t)(2a + 2b) + t(b + c)
             = (2 - 2t)a + (2 - t)b + tc

平面上の条件を解きます。

(2 - 2t) + (2 - t) + t = 1
4 - 2t = 1
t = 3/2

したがって答えは次の通りです。

ベクトル OX = -a + (1/2)b + (3/2)c

t = 3/2 なので X は直線 DE 上ですが線分 DE の外です。係数の和は -1 + 1/2 + 3/2 = 1 で、平面の条件にも戻ります。直線を求める問題なので t を0から1に制限しません。

3. 直線全体が含まれる場合

U, V の係数の和はいずれも1です。2点は係数が異なり、独立性より異なる点です。直線上の点を (1 − t)・OU + t・OV で表すと係数和は (1 − t) + t = 1 です。よって共通部分は直線 UV 全体です。逆に直線の各点が和1を満たすので、途中の点を見落としていません。

4. 未知係数の決定

T の平面所属と係数の和1は同値です。そこで次の一次方程式を解きます。

3 + k - 1 = 1
k = -1

元の表示に戻すと 3 − 1 − 1 = 1 です。さらに AT = -AB − AC と表せるので、求めた k で平面上にあることも確かめられます。

5. 和1でない表示を作る

Q は AC の中点なので QA + QC は零ベクトルです。P = C であることに戻して、次を得ます。

ベクトル QP = ベクトル QC
             = ベクトル QA + 0・ベクトル QB + 2・ベクトル QC

係数の和は3です。右辺は QA + QC が零ベクトルなので確かに QC に戻ります。別の表示 0・QA + 0・QB + 1・QC の和は1です。同じ点の表示が複数あることに注目してください。

手元に残す要点

非退化四面体 OABC では、O からの3係数の和が1であることと平面 ABC 上にあることは同値です。
和1の表示は原点を移しても同じ係数で成立します。
原点が平面上にある場合、和1以外の表示があっても平面外とは限りません。
直線の判定では係数和の変化が0かどうかを先に分けます。

つまずいた式の点検

係数の和が1にならなかったときは、すぐに平面外と決めず、原点と3頂点の4点が同一平面上にないか図に印をつけます。直線との問題なら、媒介変数の係数が0のときに矛盾になるか恒等式になるかも確認します。個別指導で質問するときは、使った原点、3つの係数、和を1と置いた理由を並べて示すと、どの条件が不足していたかを検討できます。原点を変えても点の位置は変わらず、表示の一意性が判定の根拠を支えます。