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高校数学C 空間の位置ベクトル—原点を選び直して辺の表示を整理する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 空間ベクトルを掘り下げる

原点を移すと位置ベクトルから何を引くのか、二点を結ぶ辺の差と元の座標への復元を使って確かめられます。

よくあるのは、空間の図で原点を選び直した後も、同じ点の位置ベクトルを以前のまま書いてしまう場面です。点そのものは動かしていませんが、位置ベクトルの始点は変わります。図に矢印を書き足してから、どこからどこへの移動を表しているかを言葉にすると、符号の混乱を防げます。

数学Cで位置を3次元の座標やベクトルとして表すときも、出発点は平面で学んだ原点からの矢印です。ここでは基準点からの位置、2点を結ぶ辺、基準点の変更に絞り、距離や角度の計算には立ち入りません。

要点（結論から）

ベクトル AB は B の位置ベクトルから A の位置ベクトルを引きます。
Q を新しい原点とする P の位置は、もとの位置 p から q を引いた p − q です。
古い位置へ戻すには q を足し、各成分を元の条件と照合します。

どの始点から見るか

位置ベクトルの問いには、少なくとも次の3つの型があります。いずれも最初に始点を明示すると、同じ規則で整理できます。

原点 O から見た2点の位置が与えられ、辺 AB を求める型です。終点 B の位置から始点 A の位置を引きます。
点 A を新しい原点として、同じ点 B の位置を表す型です。新しい位置は辺 AB そのものです。
いくつかの辺の関係から未知の点を求め、原点を変えても辺が同じか確かめる型です。逆向きの辺には負号を付けます。

答えに必要なのは成分だけではありません。どの点を原点としたベクトルなのかが違えば、同じ記号を同じ意味で使えないからです。成分を計算する前に、矢印の出発点と到着点を確認します。

位置と移動を区別する

空間の定点 O を原点とすると、点 P に対してベクトル OP を P の位置ベクトルといいます。O 自身の位置ベクトルは零ベクトルです。以下では a、b、p をベクトルとし、O を原点とした A、B、P の位置ベクトルをそれぞれ a、b、p とします。

図1のように、A から B へ移る道は、A から O に戻って O から B へ進む道と始点・終点が同じです。ベクトルの和は道順に沿ってつなげられるので、ベクトル AB = -a + b = b − a です。点が空間のどこにあっても、この関係には三角形が特別な形であるという条件は要りません。A と B が一致すれば結果は零ベクトルです。

図1では O、A、B の位置を固定しています。A を原点に選ぶと、B の位置ベクトルはベクトル AB = b − a です。一方、以前の原点 O の位置ベクトルはベクトル AO = -a です。新しい原点自身の位置ベクトルは零ベクトルになります。

一般に新しい原点を Q とし、O を原点とする Q の位置ベクトルを q とします。P の新しい位置ベクトルはベクトル QP = p − q です。逆に新しい位置を p′ と書けば、p = q + p′ と戻せます。原点の移動を表す q を引くのか足すのか迷ったときは、Q から O、O から P の順にたどってください。

成分でも同じです。O を原点とした P の座標が (x, y, z)、Q の座標が (u, v, w) なら、Q から P へのベクトルは (x − u, y − v, z − w) です。軸の向きと目盛りを変えずに原点を Q に移すと、この3成分が新しい座標になります。軸まで回転させる場合には、この引き算だけで新しい座標を決めることはできません。

基本例題: 辺から新しい位置へ

O を原点とする座標で A(2, 1, 0)、B(4, 3, 1) とします。軸の向きと目盛りを保ち、原点を A に移します。ベクトル AB と、移動後の B および O の座標をそれぞれ成分で求めてください。

まずベクトル OA = (2, 1, 0)、ベクトル OB = (4, 3, 1) です。図2のように、A から B への移動は各成分の差で表します。

ベクトル AB = ベクトル OB - ベクトル OA
             = (4, 3, 1) - (2, 1, 0)
             = (2, 2, 1)

したがって新しい原点 A から見た B の座標は (2, 2, 1) です。古い原点 O の新しい座標も同様に計算します。

ベクトル AO = ベクトル OO - ベクトル OA
             = (0, 0, 0) - (2, 1, 0)
             = (-2, -1, 0)

O の新しい座標は (-2, -1, 0) です。図2では A を始点とする2本の矢印を区別しています。投影された図の長さや角度は、空間での長さや角度と同じとは限りません。

元に戻して確かめます。A の古い座標に B の新しい座標を足すと (2, 1, 0) + (2, 2, 1) = (4, 3, 1) で、B の古い座標に一致します。O についても (2, 1, 0) + (-2, -1, 0) = (0, 0, 0) です。座標が変わっても A と B の位置関係は変わっていません。

標準例題: 辺をつないで点を復元する

O を原点として A(1, -2, 3)、B(3, 1, 2) とします。ベクトル BC = 2ベクトル AB を満たす点 C の座標と、B を原点にした C の座標を求めてください。軸の向きと目盛りは変えません。

条件は、B から C への移動が A から B への移動の2倍という意味です。まず AB を計算します。

ベクトル AB = (3, 1, 2) - (1, -2, 3)
             = (2, 3, -1)
ベクトル BC = 2(2, 3, -1)
             = (4, 6, -2)

O から C へは O から B、次に B から C と進めます。この順番で和を取ると、次のようになります。

ベクトル OC = ベクトル OB + ベクトル BC
             = (3, 1, 2) + (4, 6, -2)
             = (7, 7, 0)

C の座標は (7, 7, 0) です。B を原点にした C の座標は、すでに計算したベクトル BC の成分 (4, 6, -2) です。戻して調べると、(7, 7, 0) − (3, 1, 2) = (4, 6, -2) であり、確かに AB の2倍です。

この問題で C の座標を単に AB の2倍とすると、B から出発する条件を落とします。点の位置を求めるときは、移動量の前に出発点の位置を足す必要があります。また、もし AB が零ベクトルでも、与えられた等式は BC を零ベクトルと決め、C = B となります。辺の向きに角度を与える必要はありません。

発展例題: 原点を変更して条件を解く

O を原点として A(1, 2, -1)、B(4, 0, 2)、C(-1, 3, 1) とします。点 P はベクトル AP = 2ベクトル AB − ベクトル AC を満たします。P の O を原点とする座標と、B を原点とする座標を求めてください。軸の向きと目盛りは保ちます。

A を基準とする辺を先に求めます。3点が一直線上にあるかどうかは、以下の和と差の計算に必要な条件ではありません。

ベクトル AB = (4, 0, 2) - (1, 2, -1)
             = (3, -2, 3)
ベクトル AC = (-1, 3, 1) - (1, 2, -1)
             = (-2, 1, 2)
ベクトル AP = 2(3, -2, 3) - (-2, 1, 2)
             = (6, -4, 6) - (-2, 1, 2)
             = (8, -5, 4)

AP は A からの移動です。O からの位置を得るには OA を足します。

ベクトル OP = ベクトル OA + ベクトル AP
             = (1, 2, -1) + (8, -5, 4)
             = (9, -3, 3)
ベクトル BP = ベクトル OP - ベクトル OB
             = (9, -3, 3) - (4, 0, 2)
             = (5, -3, 1)

求める座標は順に (9, -3, 3)、(5, -3, 1) です。別の道順でも確かめます。B から A を経て P に進むと、ベクトル BP = -ベクトル AB + ベクトル AP = (5, -3, 1) です。また求めた P から A を引くと (8, -5, 4) となり、問題の右辺に戻ります。

式を文字のまま整理すると、ベクトル OP = a + 2(b − a) − (c − a) = 2b − c です。ここで c は O から C への位置ベクトルです。a の項が消えるのは、この条件で係数を整理した結果です。どんな辺の式でも基準点の項が消えると考えず、各辺を終点の位置から始点の位置を引く形に戻してください。

誤答を図で直す

基本例題で原点を A に移したとき、B の座標を (4, 3, 1) のままにする誤りを考えます。これは O から B への移動を答えており、求められた A から B への移動ではありません。図3のように同じ B へ向かう2本でも、始点が異なります。

図3で新しい原点 A から古い原点 O に戻り、そこから B に進むと、正しい移動は (-2, -1, 0) + (4, 3, 1) = (2, 2, 1) です。誤った答えに A の古い座標を足すと (6, 4, 1) となり、もとの B に戻りません。この戻す検査は、引く向きが逆になったときにも役立ちます。

もう1つの失敗は、A を新原点とする O の座標を (2, 1, 0) とすることです。この数は O から A へ向かうベクトル OA です。求める AO は反対向きなので (-2, -1, 0) になります。始点と終点を逆にすると成分の符号がすべて反転し、0成分は0のままです。

自分で試す5問

いずれも座標軸の向きと目盛りは原点の変更前後で保ちます。答えはベクトルの成分または点の座標で示してください。

O を原点として A(3, -1, 2)、B(-1, 2, 5) とします。ベクトル AB を求めてください。
O を原点として Q(-2, 4, 1)、P(1, 0, -3) とします。原点を Q に移したときの P と O の座標を求めてください。
O を原点として A(0, 2, -1)、B(1, -1, 3) とします。ベクトル BC = -ベクトル AB を満たす C の座標を求めてください。
O を原点として Q(2, -3, 4) とします。Q を原点とする P の座標が (-1, 5, 2) のとき、O を原点とする P の座標を求めてください。
O を原点として A(2, 0, 1)、B(-1, 2, 0)、C(3, -1, 2) とします。ベクトル AP = ベクトル AB + ベクトル AC を満たす P の座標と、C を原点とする P の座標を求めてください。

5問の解答と戻す確認

終点から始点を引きます。

ベクトル AB = (-1, 2, 5) - (3, -1, 2)
             = (-4, 3, 3)

A にこの移動を加えると (3, -1, 2) + (-4, 3, 3) = (-1, 2, 5) で、B に着きます。逆向き BA と取り違えていないことも確認できます。

Q からの位置をそれぞれ引き算で求めます。

ベクトル QP = (1, 0, -3) - (-2, 4, 1)
             = (3, -4, -4)
ベクトル QO = (0, 0, 0) - (-2, 4, 1)
             = (2, -4, -1)

P の新しい座標は (3, -4, -4)、O の新しい座標は (2, -4, -1) です。各座標に Q の古い座標を加えると、それぞれ (1, 0, -3)、(0, 0, 0) に戻ります。

辺 AB を求め、反対向きに進みます。

ベクトル AB = (1, -1, 3) - (0, 2, -1)
             = (1, -3, 4)
ベクトル BC = (-1, 3, -4)
ベクトル OC = (1, -1, 3) + (-1, 3, -4)
             = (0, 2, -1)

C は (0, 2, -1) で A と一致します。実際に C から B を引くと (-1, 3, -4) で、AB の反対向きです。点が一致する場合も位置ベクトルの式は有効です。

新しい原点 Q への位置に、Q から P への移動を加えます。

ベクトル OP = (2, -3, 4) + (-1, 5, 2)
             = (1, 2, 6)

P の古い座標は (1, 2, 6) です。ここから Q の古い座標を引くと (-1, 5, 2) となり、与えられた新しい座標に戻ります。

A を基準に2本の辺を求めます。

ベクトル AB = (-1, 2, 0) - (2, 0, 1)
             = (-3, 2, -1)
ベクトル AC = (3, -1, 2) - (2, 0, 1)
             = (1, -1, 1)
ベクトル AP = (-3, 2, -1) + (1, -1, 1)
             = (-2, 1, 0)
ベクトル OP = (2, 0, 1) + (-2, 1, 0)
             = (0, 1, 1)
ベクトル CP = (0, 1, 1) - (3, -1, 2)
             = (-3, 2, -1)

P の古い座標は (0, 1, 1)、C を原点とする座標は (-3, 2, -1) です。P から A を引けば (-2, 1, 0) で、2本の辺の和に戻ります。さらに C に CP を加えると P の古い座標になります。