高校数学C 空間の二点間距離—三成分の差から長さと等距離条件を求める｜武蔵野個別指導塾

高さ以外のずれも含めた距離を三平方で導き、軸上の等距離点を場合分けして、二点間距離を捉え直します。

よくあるのは、理系の高3が空間の2点を見て、高さの差だけを距離として計算する場面です。高さが同じ点でも、横に離れていれば距離は0ではありません。逆に、横の位置が同じなら高さの差だけで十分です。何が変化しているかを成分ごとに確かめると、この2つを同じ式で扱えます。

ここでは直交する3つの座標軸を使い、2点間の長さと、座標軸上で2点から等距離にある点を求めます。数学Cでは座標とベクトルを平面から空間へ拡張します。平面への距離や球面の方程式には進まず、三平方の定理と距離の二乗に焦点を当てます。

どんな問いで使うか

1つ目は、与えられた2点の座標から線分の長さを求める問いです。各座標の差を求め、差の二乗の和から非負の平方根を取ります。点が一致する場合も含めて、答えは0以上です。

2つ目は、長さが指定されたときに未知の座標を求める問いです。距離の式を二乗して解きますが、座標が2通り、1通り、あるいは存在しないことがあります。得られた値を元の距離に戻し、指定された長さと一致するか確かめます。

3つ目は、座標軸上の点が2つの定点から等距離となる条件です。軸上の点を文字で置き、2つの距離の二乗を等しくします。文字の二乗が消えた後、係数が0なら割らずに、条件を満たす点がない場合と軸上の全点が満たす場合を分けます。

3方向のずれを1本の長さに戻す

点 A(x₁, y₁, z₁)、点 B(x₂, y₂, z₂) を考えます。ベクトル AB の成分は終点から始点を引いた (x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁) です。各差は負でも構いません。長さを求めるときにはそれぞれを二乗するので、符号が正か負かで寄与の大きさは変わりません。

図1のように、A から x 方向、y 方向、z 方向の順に移る補助線を考えます。最初の2方向は互いに直交するので、その平面内の対角線の長さを d とすると、三平方の定理から d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² です。この対角線は z 方向と垂直です。もう一度三平方の定理を使えば、次の式を得ます。

AB² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²
AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

図1の折れ線は計算を助ける補助線で、求めたい距離は A と B を直接結ぶ線分の長さです。図は空間を平面に投影しているため、見かけの角度や長さを実際の値として測りません。3方向が直交するという座標の条件に基づいて式を作ります。

順序をすべて逆にしても差はそれぞれ反対符号になり、二乗は変わりません。ただし、1つの差の中で一方の点の座標を別の軸の座標と混ぜてはいけません。表に始点、終点、差を並べると取り違えを見つけやすくなります。

たとえば高さの差が0でも、x または y の差が0でなければ距離は正です。一方、3つの差がすべて0なら2点は一致し、距離は0です。三平方は直角を含む三角形に使う定理なので、斜めの補助線同士が垂直だと見た目だけで決めないことも必要です。

基本例題：高さと横のずれを合わせる

点 A(1, 1, 1)、B(4, 5, 13) の距離 AB を根号を用いずに求めてください。

図2のように、x、y、z の差は順に 3、4、12 です。3方向は互いに直交するので、まず水平な2方向から長さを作り、続いて高さを合わせます。

x の差 = 4 - 1 = 3
y の差 = 5 - 1 = 4
z の差 = 13 - 1 = 12
水平な対角線の二乗 = 3² + 4² = 25
AB² = 25 + 12²
     = 169
AB = √169
   = 13

図2で高さの差 12 は AB の一部を直交方向に取り出した長さです。水平なずれもあるため、AB を 12 とすることはできません。平方根には正負がありますが、長さは非負なので 13 を選びます。

答えを場面に戻すと、水平な対角線は5、高さの差は12であり、5² + 12² = 13² です。したがって求めた13は、元の3方向のずれから作った直角三角形に合います。2点を逆順に引いても差は -3、-4、-12 となり、同じ長さになります。

標準例題：距離から座標を探す

点 C(2, -1, 3)、D(t, 3, -2) が CD = √50 を満たすとき、実数 t をすべて求めてください。答えは整数で表してください。

座標軸は直交し、指定された距離 √50 は正です。したがって距離の二乗を使えます。未知数を含まない2成分の寄与を先に計算すると、残る差が見えます。

CD² = (t - 2)² + (3 - (-1))² + (-2 - 3)²
     = (t - 2)² + 16 + 25
CD² = 50
(t - 2)² + 41 = 50
(t - 2)² = 9
t - 2 = 3 または t - 2 = -3
t = 5 または t = -1

答えは t = 5、-1 です。t = 5 なら x の差は3、t = -1 なら -3 です。どちらも差の二乗は9で、残る16と25を足すと50に戻ります。距離は非負なので、二乗が50であることから元の距離も √50 と確定します。

負の差を捨てると片方の点を落とします。また、たとえば指定距離の二乗が41より小さければ、非負の (t − 2)² が負になるので解はありません。41に等しければ t = 2 の1通りです。先に既知の成分が距離の二乗をどれだけ占めるかを見ると、計算前に解の個数を予想できます。

発展例題：軸上の等距離点と例外

2点 E(2, 1, -1)、F(-4, 1, -1) から等距離にある x 軸上の点 P の座標と、その距離を求めてください。座標は整数、距離は根号を用いて表してください。

x 軸上では y 座標と z 座標が0なので P(p, 0, 0) と置けます。距離はどちらも非負ですから、PE = PF と PE² = PF² は同値です。平方根を含む式を直接変形する前に、二乗で比較します。

PE² = (p - 2)² + (0 - 1)² + (0 - (-1))²
    = (p - 2)² + 2
PF² = (p + 4)² + 1² + 1²
    = (p + 4)² + 2
(p - 2)² + 2 = (p + 4)² + 2
p² - 4p + 6 = p² + 8p + 18
-12p = 12
p = -1
PE² = (-1 - 2)² + 1 + 1
    = 11
PE = √11

答えは P(-1, 0, 0)、距離 √11 です。F への差は (3, -1, 1) で、その二乗の和も11です。元の2点にそれぞれ戻して、両距離が √11 であることを確かめられます。

一般に E(a, b, c)、F(d, e, f) に対して同じ手順を進めると、等距離条件は次の一次式に整理されます。

2(d - a)p = d² + e² + f² - a² - b² - c²

ここで d − a が0でなければ、左右をその係数で割って p を1つ決められます。d = a のときは割れません。右辺が0でなければ等式は成り立たず、軸上に該当点はありません。右辺も0なら任意の p で等式が成り立ち、軸上の全点が等距離です。2点が一致する場合も最後の分類に含まれます。二乗を比較している2つの量は実際の距離なので非負であり、二乗が等しいことから元の距離も等しいといえます。

誤答をほどく：高さの差は斜辺ではない

基本例題で「z 座標の差は 13 − 1 = 12 なので AB = 12」とする答えを考えます。高さの差を正しく引けていても、x と y のずれが抜けています。図3のように、高さに平行な辺と2点を結ぶ辺は異なります。

図3では水平な差の合成が5、高さの差が12です。この2辺は直交するので、斜辺の二乗は 5² + 12² = 169 となります。修正した距離は13です。高さの差が距離に等しくなるのは、残りの2成分の差がともに0のときです。

別の間違いとして、差を足してから二乗し、(3 + 4 + 12)² とすることがあります。直交する成分は同一直線上の長さではないので、この和を距離にできません。各差を二乗してから足す理由を、2回の三平方に戻って説明してください。さらに、軸上の等距離点を探すときに一次式の係数が0になったら、機械的に割ることもできません。等式そのものが矛盾か恒等式かを調べます。

練習：まず5問を通して考える

各問の座標軸は互いに直交します。距離は非負とし、根号は簡単にしてください。

1. G(-2, 1, 4)、H(2, -2, 4) の距離を整数で求めてください。
2. J(1, 2, -1)、K(3, -1, 5) の距離を整数で求めてください。
3. L(0, 2, 1)、M(2, q, 3) が LM = 3 を満たすとき、実数 q をすべて整数で求めてください。
4. N(1, 2, 0)、R(5, 0, 2) から等距離にある x 軸上の点の座標を整数で、距離を根号で求めてください。
5. S(2, 1, 0)、T(2, 0, 2) から等距離にある x 軸上の点をすべて求めてください。また、T を U(2, 0, -1) に置き換えた場合も答えてください。

練習の答えと戻して確かめる手順

1

高さの差が0でも、残りの成分が変わっています。直交する3成分の差に距離の式を適用します。

GH² = (2 - (-2))² + (-2 - 1)² + (4 - 4)²
    = 16 + 9 + 0
    = 25
GH = 5

答えは5です。元の差は4、-3、0であり、二乗の和は25です。高さの差0を距離とする答えは、横のずれを落としていると判定できます。

2

各成分の差は2、-3、6です。3方向は直交するので、二乗を加えて非負の平方根を取ります。

JK² = (3 - 1)² + (-1 - 2)² + (5 - (-1))²
    = 4 + 9 + 36
    = 49
JK = 7

答えは7です。元の2点で x と y の差の二乗の和は13、高さの差の二乗は36です。合わせて49なので、距離7を二乗して戻した値と一致します。

3

距離3は非負ですから、距離の二乗を9として解けます。既知の差が占める二乗は8です。

LM² = (2 - 0)² + (q - 2)² + (3 - 1)²
    = 8 + (q - 2)²
8 + (q - 2)² = 9
(q - 2)² = 1
q - 2 = 1 または q - 2 = -1
q = 3 または q = 1

答えは q = 3、1 です。どちらでも y の差の二乗が1になり、元の3成分の差の二乗の和は9です。したがって距離は指定どおり3です。

4

x 軸上の点を V(v, 0, 0) と置きます。2つの距離は非負なので、二乗が等しい条件に直せます。

VN² = (v - 1)² + 4
VR² = (v - 5)² + 4
(v - 1)² + 4 = (v - 5)² + 4
v² - 2v + 5 = v² - 10v + 29
8v = 24
v = 3
VN² = (3 - 1)² + 4 = 8
VN = 2√2

答えは V(3, 0, 0)、距離 2√2 です。R への差は (-2, 0, -2) で、二乗の和も8です。2√2 は非負でその二乗が8なので、2つの元の距離に一致します。

5

x 軸上の点を W(w, 0, 0) と置きます。S と T の x 座標は同じなので、w を含む項が消えることに注意します。

WS² = (w - 2)² + 1
WT² = (w - 2)² + 4
WS² = WT² なら 1 = 4

最後の等式は成り立たないため、S と T に等距離の x 軸上の点はありません。たとえば w を変えても両者に共通の (w − 2)² が増減するだけで、二乗の差3は残ります。

U に替えると WU² = (w − 2)² + 1 です。これは WS² と任意の実数 w について等しく、距離も非負なので等しくなります。答えは x 軸上の全点 W(w, 0, 0) です。共通の x 座標からの差と、残る2成分の二乗の和が各点について一致することが、元の条件の確認になります。

持ち帰る式

距離の二乗は、対応する3成分の差の二乗の和です。
距離はその非負の平方根です。
等距離は非負の距離の二乗を比べます。
軸上の未知点では、残り2成分を0に置きます。
一次式の係数が0なら、矛盾か恒等式かを分けます。

手が止まったときの確認

答えが高さの差と同じになったら、x と y の差も0か調べてください。差を求める段階で迷うなら、2点の座標を上下に並べ、同じ列で終点から始点を引きます。符号が負の列も二乗する前には残しておくと、引き算の誤りを追えます。

個別指導で確認するなら、図に水平な補助線と高さを描き、どの直角三角形に三平方を使ったかを言葉にします。等距離の問題では、軸上の点の置き方と、割る前の係数を指さして説明します。求めた座標を両方の距離に戻せば、計算の筋道と例外を同時に点検できます。3方向の差をそろえることが、空間の長さを正しく捉える出発点です。